18DRAP - Wektory losowe: dystrybuanta, sploty
Definicja. 1. Dystrybuantą wektora losowego (X, Y ) o wartościach w R2 nazywamy funkcję F(X,Y ): R2→ R określoną zależnością F(X,Y )(s, t) = P(X ¬ s, Y ¬ t) = P(X,Y )((−∞, s] × (−∞, t]).
Twierdzenie. 1. Dystrybuanta F(X,Y ) wektora losowego ma następujące własności : (i) F(X,Y )(s, t) jest niemalejąca względem każdego argumentu.
(ii) F(X,Y )(s, t) → 0, jeżeli min(s, t) → −∞ oraz F(X,Y )(s, t) → 1, jeżeli min(s, t) → +∞.
(iii) F(X,Y ) prawostronnie ciągła.
(iv) Jeżeli s ¬ u oraz t ¬ w, to F(X,Y )(u, w) − F(X,Y )(u, t) − F(X,Y )(s, w) + F(X,Y )(s, t) 0.
Uwaga 1. Gdy rozkład jest ciągły, gęstość jest pochodną mieszaną dystrybuanty: f (x, y) = ∂2F
∂x∂y(x, y) dla p.w. (x, y).
Twierdzenie. 2. Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn o wartościach w R, określone na (Ω, F, P) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczb t1, t2, . . . , tn liczb rzeczywistych zachodzi równość
F(X1,X2,...,Xn)(t1, t2, . . . , tn) = FX1(t1) · FX2(t2) · . . . · FXn(tn).
Twierdzenie. 3. Niech X1 i X2będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach ciągłych o gęstościach, odpowiednio, f1 i f2. Wtedy zmienna losowa X = X1+ X2 ma rozkład ciągły z gęstością będącą splotem gęstości f1 i f2
(f1∗ f2)(z) = Z +∞
−∞
f1(z − y)f2(y)dy.
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Z trójkąta z wierzchołkami o współrzędnych (0,2),(4,0) i (4,4) wylosowano jeden punkt (X, Y ). Wyznacz F(X,Y )(2, 2), FX(2) i FY(2). Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
Zadanie A.2. Dana jest funkcja gęstości wektora losowego (X, Y )
f (x, y) =
(x + y dla x ∈ [0, 1] oraz y ∈ [0, 1], 0 w przeciwnym przypadku.
Znajdź dystrybuantę wektora losowego (X, Y ). Znajdź dystrybuanty rozkładów brzegowych. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
Zadanie A.3. X1i X2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie z gęstością f (u) =
(2u dla u ∈ [0, 1];
0 w.p.p.
Wyznacz gęstość zmiennej losowej Y = X1+ X2.
Zadanie A.4. Zmienne losowe X i Y są niezależne z rozkładem geometrycznym z parametrem 1/4
P ({i}) = 1 4
3 4
i−1
, i = 1, 2, 3, . . . .
Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = X + Y . Czy to jakiś słynny rozkład? Dlaczego?
Zadanie A.5. Niech funkcja F : R2→ R będzie określona w sposób następujący:
F (x, y) =
(1 dla x + y 1, x 0 oraz y 0, 0 dla pozostałych (x, y).
Rozstrzygnij, czy funkcja F może być dystrybuantą jakiegoś wektora losowego (X, Y )?
Zadanie A.6. Dystrybuanta wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem
F (x, y) =
(1 − e−x− e−y+ e−x−y dla x > 0, y > 0,
0 w przeciwnym przypadku.
Znajdź gęstość wektora losowego (X, Y ), rozkłady brzegowe, dystrybuanty brzegowe i sprawdź, czy zmienne losowe są niezależne.
1
Zadanie A.7. Zmienne losowe X1, . . . , Xn są niezależne i mają ten sam rozkład. Jaką mają dystrybuantę zmienne losowe Y = max(X1, . . . , Xn) oraz Z = min(X1, . . . , Xn)? Co stanie się w szczególnym przypadku, gdy X1, . . . , Xn mają rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]? Wyznacz wtedy gęstość Y i Z.
Zadanie A.8. Zmienne losowe X i Y są niezależne o rozkładach jednostajnych na odcinku [2, 4]. Wyznacz dystrybuantę ich rozkładu łącznego.
B Zadania domowe
ZADANIA PODSTAWOWE Zadanie B.1. Dana jest funkcja
f (x, y) = (1
10(x2+ y2) dla x ∈ [0, 1] oraz y ∈ [0, 3],
0 w przeciwnym przypadku.
a. Znajdź dystrybuantę wektora losowego (X, Y ).
b. Korzystając z dystrybuanty oblicz prawdopodobieństwo P(−1/2 < X ¬ 1/2, 1 < Y ¬ 5).
c. Wyznacz dystrybuanty rozkładów brzegowych i na tej podstawie zdecyduj, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.
Zadanie B.2. Niech X i Y będą niezależne o rozkładzie jednostalnym na zbiorze a. {0, 1, . . . , 10}
b. [0, 10]
Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = X + Y . Narysuj histogram (w (a)) i funcją gęstości (w (b)) rozkładu. Porównaj wykresy.
Zadanie B.3. X1 i X2 są niezależnymi zmiennymi losowymi. X1 ma rozkład wykładniczy z parametrem 1 a X2 ma rozkład jednostajny na odcinku (0;1).
a. Podaj gęstość łączną i dystrybuantę wektora losowego (X, Y ). Wskazówka: nie trzeba w rozwiązaniu liczyć podwójnych całek.
b. Podaj gęstość zmiennej losowej Z = X + Y .
ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI Zadanie B.4. Dla wektora losowego z gęstością
f (x, y) =
(6xy(2 − x − y) dla x ∈ [0, 1] oraz y ∈ [0, 1],
0 w przeciwnym przypadku
wyznacz jego dystrybuantę.
Zadanie B.5. Dana jest funkcja gęstości wektora losowego (X, Y )
f (x, y) = 1
π2(1 + x2)(1 + y2) dla x, y ∈ R.
a. Wyznacz dystrybuantę wektora losowego (X, Y ).
b. Korzystając z dystrybuanty oblicz P(0 < X ¬ 1, 0 < Y ¬ 1).
Zadanie B.6. Zmienne losowe X i Y są niezależne, X o rozkładzie wykładniczym z parametrem 3 a Y o rozkładzie wykładniczym z parametrem 4.
a. Podaj gęstość łączną i dystrybuantę wektora losowego (X, Y ). Wskazówka: nie trzeba w rozwiązaniu liczyć podwójnych całek.
b. Podaj gęstość zmiennej losowej Z = X + Y .
Zadanie B.7. Niech X będzie wybrana z odcinka [0, 1] zgodnie z rozkładem jednostajnym a Y (niezależnie od X) z przedziału [2, 4] zgodnie z rozkładem jednostajnym.
a. Podaj gęstość łączną i dystrybuantę wektora losowego (X, Y ). Wskazówka: nie trzeba w rozwiązaniu liczyć podwójnych całek.
b. Podaj gęstość zmiennej losowej Z = X + Y .
2
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Wektor (X, Y ) został wybrany losowo ze zbioru {(x, y) : x2+ y2¬ 1}. Znajdź rozkład zmiennej losowej X i rozkład zmiennej losowej Y . Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
Zadanie C.2. Punkt (X, Y ) został wybrany losowo z koła jednostkowego {(x, y) : x2+ y2 ¬ 1}. Jego współrzędne biegunowe to Φ ∈ [0, 2π) oraz R ∈ [0, 1]; innymi słowy X = R cos Φ oraz Y = R sin Φ. Znajdź rozkład zmiennej losowej Φ oraz rozkład zmiennej losowej R. Znajdź dystrybuantę wektora losowego (Φ, R). Czy Φ oraz R są niezależne? Czy wektor losowy (Φ, R) ma gęstość? Jaką?
Zadanie C.3. Zad. 7, §5.1.
Zadanie C.4. Zad. 4, §5.4.
Zadanie C.5. Zad 7, §5.4 (bez obliczania wartości oczekiwanych).
Zadanie C.6. Zad. 9, §. 5.4.
Zadanie C.7. Zad. 12, §. 5.4.
Zadanie C.8. Zad. 21, §. 5.4.
Zadanie C.9. Zmienne losowe X i Y są niezależne z rozkładem wykładniczym z parametrem λ. Znajdź rozkład zmiennej losowej V = X+YX .
Zadanie C.10. Rozważ trzy niezależne zmienne losowe: X z rozkładem jednostajnym na [0, 3], Y z rozkładem jednostajnym na [1, 4] i Z z rozkładem jednostajnym na [2, 5]. Z jakim prawdopodobieńswtem zachodzi zdarzenie {X < Y < Z}? Zrób to bez liczenia całek.
3
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.1 (a)
F (s, t) =
1
30st(s2+ t2) dla (s, t) ∈ [0, 1] × [0, 3]
1
10s(s2+ 9) dla (s, t) ∈ [0, 1] × (3, +∞)
1
30t(1 + t2) dla (s, t) ∈ (1, +∞) × [0, 3]
1 dla (s, t) ∈ (1, +∞) × (3, +∞)
0 w przeciwnym przypadku
(b) 53/120
(c) nie są niezależne B.2
a) P (Z = k) = (k+1
121 dla k = 0, 1, . . . , 10
21−k
121 dla k = 11, 12, . . . , 20
b) fZ(z) =
z
100 dla z ∈ [0, 10]
20−z
100 dla z ∈ (10, 20]
0 dla z /∈ [0, 20].
B.3 a)
f (x, y) =
(e−x dla x > 0 i y ∈ (0, 1);
0 w.p.p. F (s, t) =
0 gdy x < 0 lub y ¬ 0;
y(1 − e−x) gdy x 0 i y ∈ (0, 1);
1 − e−x gdy x 0 i y 1.
b)
fZ(z) =
0 dla z ¬ 0;
1 − e−z dla 0 < z < 1;
(e − 1) · e−z dla z 1;
B.4
F (s, t) =
s2t2(3 − s − t) dla (s, t) ∈ [0, 1] × [0, 1]
s2(2 − s) dla (s, t) ∈ [0, 1] × (1, +∞) t2(2 − t) dla (s, t) ∈ (1, +∞) × [0, 1]
1 dla (s, t) ∈ (1, +∞) × (1, +∞)
0 w przeciwnym przypadku
B.5 X i Y to niezależne zmienne losowe o rozkładzie Cauchy’ego.
B.6 a)
f (x, y) =
(12e−3x−4y dla x, y > 0;
0 w.p.p. F (s, t) =
((1 − e−3s)(1 − e−4t) dla s, t > 0;
0 w.p.p.
b) f (z) = 12e−3z(1 − e−z) dla z > 0 i f (z) = 0 dla z ¬ 0.
B.7 a)
f (x, y) = (1
2 dla (x, y) ∈ [0; 1] × [2; 4];
0 w.p.p. F (s, t) =
0 gdy s < 0 lub t < 2;
s(12t − 1) dla (s, t) ∈ [0; 1] × [2; 4];
s dla s ∈ [0; 1], t > 4;
1
2t − 1 dla s > 1, t ∈ [2; 4];
1 gdy s > 1 i t > 4.
b) f (u) =
u
2 − 1 dla u ∈ [2; 3];
1
2 dla u ∈ (3; 4];
−u2+52 dla u ∈ (4; 5];
0 w p.p.
4
