xdla x ∈ (−π, π) (poza tym okresowej z okresem 2π) i wykorzystuj¡c go znale»¢ warto±ci szeregów ∞ X k=0 (−1)k 2k + 1 oraz ∞ X k=1 1 k2 Odpowiedzi: f(x

Matematyka III 2019/20Z Zadania domowe , seria 3 Zad. 1. Znale¹¢ szereg Fouriera funkcji

f (x) = xdla x ∈ (−π, π)

(poza tym okresowej z okresem 2π) i wykorzystuj¡c go znale»¢ warto±ci szeregów

∞

X

k=0

(−1)^k

2k + 1 oraz

∞

X

k=1

1 k² Odpowiedzi: f(x) = P^∞n=0

−2(−1)ⁿ

n sin(nx), ^π₄, ^π₆² Zad. 2. Znale¹¢ szereg Fouriera funkcji

f (x) = |x|dla x ∈ [−π, π]

(poza tym okresowej z okresem 2π) i wykorzystuj¡c go znale»¢ warto±ci szeregów

∞

X

k=0

1

(2k + 1)² oraz

∞

X

k=0

1 (2k + 1)⁴ Odpowiedzi: f(x) =^π₂+P∞

n=1

2((−1)ⁿ−1)

πn² cos(nx) = ^π₂+P∞ k=0

−4

π(2k+1)²cos ((2k + 1)x),

π² 8, ^π₉₆⁴

Zad. 3. Znale¹¢ transformat¦ Fouriera funkcji f (x) = 1

x²+ 1 Odpowied¹: ˜f (k) = πe^−|k|

Zad. 4. Znale¹¢ transformat¦ Fouriera funkcji f (x) = min{1

e, e^−|x|} Odpowied¹: ˜f (k) =_e(1+k² 2) cos k +^{sin k}_k

Zad. 5. Obliczy¢ caªki

Z ∞

−∞

δ(x³− x)e^−ikxdx Z ∞

−∞

θ(x³− x)e^−|x|dx Odpowiedzi: 1 + cos k, 1

1

Zad. 6. Obliczy¢ caªk¦

Z Z

R²

δ (xy − 1) 1

|x + y|dxdy Odpowied¹: π

Zad. 7. Obliczy¢ caªk¦

Z Z Z

R³

δ x²+ y²+ z²− R²
x²dxdydz R > 0

Odpowied¹: ^2π₃R³

2