Definicja 1. Niech V i W b¸ ed¸ a przestrzeniami liniowymi nad tym samym cia lem K. Funkcj¸e T : V → W nazywamy odwzorowaniem liniowym (homo- morfizmem), je˙zeli dla dowolnych wektor´ ow u, v ∈ V i ka˙zdego λ ∈ K spe lnione s¸ a warunki:

1 Podstawowe poj¸ ecia dotycz¸ ace przekszta lce´ n liniowych. Macierze przekszta lce´ n liniowych

Definicja 1. Niech V i W b¸ ed¸ a przestrzeniami liniowymi nad tym samym cia lem K. Funkcj¸e T : V → W nazywamy odwzorowaniem liniowym (homo- morfizmem), je˙zeli dla dowolnych wektor´ ow u, v ∈ V i ka˙zdego λ ∈ K spe lnione s¸ a warunki:

1. T (u + v) = T (u) + T (v);

2. T (λ · u) = λ · T (u).

Przyk lad 1. • Odwzorowanie T : R ² → R ² , T (u ₁ , u ₂ ) = (u ₁ − u ₂ , u ₁ + 2u ₂ ) jest odwzorowaniem liniowym.

• Odwzorowanie

T : R ² → R ³ , T (a, b) = (a, b, a + b) jest liniowe.

• Odwzorowanie

T : R ² → R ³ , T (a, b) = (a, b, a + b + 1) NIE jest liniowe.

• Odwzorowanie Odwzorowanie

T : R → R, T (a) = a ² NIE jest liniowe.

Definicja 2. Niech T : V → W b¸ edzie odwzorowaniem liniowym. Zbi´ or wszys- tkich wektor´ ow v ∈ V takich, ˙ze

T (v) = θ W

nazywamy j¸ adrem odwzorowania T i oznaczamy Ker(T ).Zatem Ker(T ) := {v ∈ V | T (v) = θ W }.

Przyk lad 2. • Dla odwzorowania T : R ³ → R ³ , danego wzorem T (x, y, z) = (x, y, 0),

Ker(T ) = {(0, 0, z) | z ∈ R}.

• Dla odwzorowania T : R ² → R ³ , danego odwzorowania T (x, y) = (x − 2y, 0, −y)

Ker(T ) = {(0, 0)}.

Twierdzenie 1. J¸ adro odwzorowania liniowego T : V → W jest podprzestrzeni¸ a przestrzeni liniowej V .

1

Dow´ od. Ker(T ) 6= ∅, bo θ V ∈ Ker(T ). Rzeczywi´scie T (θ V ) = T (θ V + θ V ) = T (θ V ) + T (θ V ), czyli T (θ V ) = θ W . Ponadto, dla u, v ∈ Ker(T ), λ ∈ K

T (u + v) = T (u) + T (v) = θ W + θ W = θ W , czyli u + v ∈ Ker(T );

T (λ · u) = λ · T (u) = λ · θ _W = θ _W , czyli λ · u ∈ Ker(T ).

Definicja 3. Obrazem odwzorowania liniowego T : V → W nazywamy zbi´ or T (V ) i oznaczamy Im(T ). Dok ladniej,

Im(T ) := {T (v) | v ∈ V }.

Przyk lad 3. Dla odwzorowania T : R ⁵ → R ³ , danego wzorem T (a, b, c, d, e) = (a − 2b, 0, d),

Im(T ) = {(x, 0, z)|x, z ∈ R} = Lin((1, 0, 0), (0, 0, 1)).

Twierdzenie 2. Obraz Im(T ) odwzorowania liniowego T : V → W jest pod- przestrzeni¸ a przestrzeni liniowej W .

Dow´ od. Im(T ) 6= ∅, bo θ _W ∈ Im(T ) (przecie˙z T (θ _V ) = θ _W ). Za l´ o˙zmy, ˙ze w, w ⁰ ∈ Im (T ). Istniej¸ a wtedy wektory v, v ⁰ ∈ V takie, ˙ze T (v) = w, T (v ⁰ ) = w ⁰ . Wtedy

T (v + v ⁰ ) = T (v) + T (v ⁰ ) = w + w ⁰ , czyli w + w ⁰ ∈ Im (T ). Ponadto dla λ ∈ K,

T (λ · v) = λ · T (v) = λ · w, czyli λ · w ∈ Im (T ).

Twierdzenie 3. Niech T : V → W b¸ edzie odwzorowaniem liniowym z n- wymiarowej przestrzeni wektorowej V w przestrze´ n wektorow¸ a W . Wtedy

dim V = n = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )).

Twierdzenie 4. Niech T : V → W b¸ edzie odwzorowaniem liniowym. T jest odwzorwaniem r´ o˙znowarto´ sciowym wtedy i tylko wtedy, gdy Ker(T ) = {θ _V }.

Dow´ od. Je˙zeli T jest odwzorowaniem r´ o˙znowarto´ sciowym, to T (v) = θ w wtedy i tylko wtedy, gdy v = θ v . Za l´ o˙zmy, ˙ze Ker(T ) = {θ V } oraz, ˙ze T (u) = T (v).

Mamy

T (u − v) = T (u) − T (v) = T (u) − T (u) = θ W , czyli u − v ∈ Ker(T ), a zatem u − v = θ V , a st¸ ad u = v.

2

Twierdzenie 5. Niech T : V → W b¸ edzie odwzorowaniem liniowym, W przestrzeni¸ a sko´ nczenie wymiarow¸ a. T jest surjekcj¸ a wtedy i tylko wtedy, gdy dim(Im(T )) = dim W .

Definicja 4. Odwzorowanie liniowe T : V → W , kt´ ore jest bijekcj¸ a nazy- wamy izomorfizmem. Je˙zeli pomi¸ edzy przestrzeniami wektorowymi V i W ist- nieje izomorfizm, to naywamy je izomorficznymi.

Twierdzenie 6. Sko´ nczenie wymiarowe przestrzenie wektorowe V i W s¸ a izomor- ficzne wtedy i tylko wtedy, gdy maj¸ a ten sam wymiar.

Przyk lad 4. Wszystkie wymienione poni˙zej przestrzenie wektorowe s¸ a parami izomorficzne.

• R ⁴ ;

• M 2 (R);

• M 4×1 (R);

• R 3 [x];

Oserwacja 1. Je˙zeli przestrze´ n wektorowa V jest sko´ nczenie wymiarowa, to odwzorowanie liniowe T : V → W jest okre´ slone, i to w spos´ ob jednoznaczny, poprzez wskazanie jego warto´ sci na wektorach dowolnie ustalonej bazy B = {e 1 , . . . , e n } ⊂ V . Rzeczywi´scie, je˙zeli znane s¸ a nam warto´ sci T (e 1 ), . . . , T (e n ), to dla dowolnego

v = α 1 · e 1 + . . . + α n · e n

znamy ju˙z warto´ s´ c T (v), bo

T (v) = T (α 1 · e 1 + . . . + α n · e n ) = α 1 · T (e 1 ) + . . . + α n · T (e n ).

Z drugiej strony, je˙zeli T ⁰ : V → W tak˙ze jest odwzorowaniem liniowym i T (e _i ) = T ⁰ (e _i ) dla i = 1, . . . , n, to

T ⁰ (v) = α 1 · T ⁰ (e 1 ) + . . . + α n · T ⁰ (e n ) = α 1 · T (e 1 ) + . . . + α n · T (e n ) = T (v), czyli T = T ⁰ .

Definicja 5. Niech B = {e 1 , . . . , e n }, B ⁰ = {g 1 , . . . , g m } b¸ed¸ a bazami przestrzeni wektorowych odpowiednio V i W (nad cia lem K). Je˙zeli T : V → W jest odw- zorowaniem liniowym i

T (e ₁ ) = λ ₁₁ g ₁ + λ ₂₁ g ₂ + . . . + λ _m1 g _m T (e ₂ ) = λ ₁₂ g ₁ + λ ₂₂ g ₂ + . . . + λ _m2 g _m

.. .

T (e n ) = λ 1n g 1 + λ 2n g 2 + . . . + λ mn g m ,

3

to macierz

A BB

=









λ 11 λ 12 . . . λ 1n

λ 21 λ 22 . . . λ 2n

. . . . . . . . . . . . λ m1 λ m2 . . . λ mn







 nazywamy macierz¸ a odwzorowania T w bazach B i B ⁰ .

Przyk lad 5. Dla odwzorowania liniowego T : R ³ → R ² danego wzorem T (x, y, z) = (2x + y, −z)

i B = {(2, 1, 0), (0, 2, 3), (0, 1, 0)}, B ⁰ = {(1, 0), (0, 1)} mamy T (2, 1, 0) = (5, 0) = 5 · (1, 0) + 0 · (0, 1) T (0, 2, 3) = (2, −3) = 2 · (1, 0) + (−3) · (0, 1)

T (0, 1, 0) = (1, 0) = 1 · (1, 0) + 0 · (0, 1) a zatem

A B,B

(T ) =

 5 2 1

0 −3 0



Twierdzenie 7. Je˙zeli A B,B

(T ) = [a ij ] ∈ M m×n (K) jest macierz¸a odwzorowa- nia liniowego T : V → W w bazach B ⊂ V, B ⁰ ⊂ W , to

1. dim Im(T ) = rz A B,B

(T );

2. dim Ker(T ) = n − rz A B,B

(T ).

4