Funkcj, e ξ : V × W → R, nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, je˙zeli (i) ∀a,b∈R∀α,β∈V ∀γ∈W ξ(a ◦ α + b ◦ β, γ

Wyk lad 13

Funkcjona ly dwuliniowe

1 Izomorfizmy kanoniczne

Definicja 13.1. Niech V i W bed_, a przestrzeniami liniowymi. Funkcj_, e ξ : V × W → R_, nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, je˙zeli

(i) ∀_a,b∈R∀_α,β∈V ∀_γ∈W ξ(a ◦ α + b ◦ β, γ) = a · ξ(α, γ) + b · ξ(β, γ) oraz (ii) ∀_a,b∈R∀_γ∈V ∀_α,β∈W ξ(γ, a ◦ α + b ◦ β) = a · ξ(γ, α) + b · ξ(γ, β).

Zbi´or wszystkich funkcjona l´ow dwuliniowych z V × W w R oznaczamy przez L(V, W ; R).

Stwierdzenie 13.2. L(V, W ; R) jest podprzestrzenia liniow_, a przestrzeni R_, ^{V ×W} przekszta lce´n ze zbioru V × W w cia lo R.

Dow´od. Przede wszystkim zauwa˙zmy, ˙ze zbi´or L(V, W ; R) jest niepusty, bo np. prze- kszta lcenie zerowe Θ(α, β) = 0 dla wszystkich α ∈ V , β ∈ W jest funkcjona lem dwuliniowym z V × W w R.

Niech ξ, η ∈ L(V, W ; R), a ∈ R. Wyka˙zemy, ˙ze ξ + η ∈ L(V, W ; K) oraz a · ξ ∈ L(V, W ; R).

W tym celu we´zmy dowolne α, β ∈ V , γ ∈ W , b, c ∈ R. Wtedy

(ξ + η)(b ◦ α + c ◦ β, γ) = ξ(b ◦ α + c ◦ β, γ) + η(b ◦ α + c ◦ β, γ) =

= b · ξ(α, γ) + c · ξ(β, γ) + b · η(α, γ) + c · η(β, γ) =

= b · (ξ + η)(α, γ) + c · (ξ + η)(β, γ) oraz

(a · ξ)(b ◦ α + c ◦ β, γ) = a · ξ(b ◦ α + c ◦ β, γ) =

= a · (b · ξ(α, γ) + c · ξ(β, γ)) = b · (a · ξ)(α, γ) + c · (a · ξ)(β, γ).

W ten spos´ob wykazali´smy liniowo´s´c przekszta lce´n ξ + η i a · ξ na pierwszej wsp´o lrzednej._, Analogicznie dowodzimy liniowo´sci tych przekszta lce´n na drugiej wsp´o lrzednej._, 2

Uwaga 13.3. Niech ξ ∈ L(V, W ; R). Dla dowolnego ustalonego α ∈ V okre´slamy prze- kszta lcenie ξ⁰(α) : W → R k ladac_,

(ξ⁰(α))(β) = ξ(α, β) dla β ∈ W. (1)

W´owczas dla dowolnych a1, a2 ∈ R, β1, β2∈ W

(ξ⁰(α))(a1◦ β₁+ a2◦ β₂) = ξ(α, a1◦ β₁+ a2◦ β₂) =

= a₁· ξ(α, β₁) + a₂· ξ(α, β₂) = a₁· (ξ⁰(α))(β₁) + a₂· (ξ⁰(α))(β₂).

Zatem ξ⁰(α) ∈ W^∗. W ten spos´ob mamy okre´slone przekszta lcenie ξ⁰: V → W^∗.

Analogicznie, dla dowolnego ustalonego β ∈ W okre´slamy przekszta lcenie ξ”(β) : V → R k ladac_,

(ξ”(β))(α) = ξ(α, β) dla α ∈ V. (2)

W´owczas dla dowolnych a1, a2 ∈ R, α1, α2 ∈ V

(ξ”(β))(a1◦ α₁+ a2◦ α₂) = ξ(a1◦ α₁+ a2◦ α₂, β) =

= a1· ξ(α₁, β) + a2· ξ(α₂, β) = a1· (ξ”(β))(α₁) + a2· (ξ”(β))(α₂).

Zatem ξ”(β) ∈ W^∗. W ten spos´ob mamy okre´slone przekszta lcenie ξ” : W → V^∗.

Twierdzenie 13.4. Je˙zeli V i W sa przestrzeniami liniowymi, to przekszta lcenie ξ 7→ ξ_, ⁰ jest izomorfizmem przestrzeni liniowej L(V, W ; R) na przestrze´n L(V ; W^∗) oraz przekszta lcenie ξ 7→ ξ” jest izomorfizmem przestrzeni liniowej L(V, W ; R) na przestrze´n L(W ; V^∗).

Dow´od. Dla dowolnych a, b ∈ R, α, β ∈ V , γ ∈ W mamy, ˙ze (ξ⁰(a ◦ α + b ◦ β))(γ) = ξ(a ◦ α + b ◦ β, γ) = a · ξ(α, γ) + b · ξ(β, γ) = (a · ξ⁰(α))(γ) + (b · ξ⁰(β))(γ) = (a · ξ⁰(α) + b · ξ⁰(β))(γ), skad wobec dowolno´_, sci γ mamy, ˙ze

ξ⁰(a ◦ α + b ◦ β) = a · ξ⁰(α) + b · ξ⁰(β).

Zatem przekszta lcenie ξ 7→ ξ⁰ jest liniowe.

Dla f ∈ L(V ; W^∗) oznaczmy przez ¯f przekszta lcenie V × W w R dane wzorem

f (α, β) = (f (α))(β) dla α ∈ V, β ∈ W.¯ (3) Sprawdzimy, ˙ze ¯f ∈ L(V, W ; R). Aby wykaza´c prawdziwo´s´c warunku (i) definicji 13.1 we´zmy dowolne a, b ∈ R oraz dowolne α, β ∈ V , γ ∈ W . Wtedy ¯f (a ◦ α + b ◦ β, γ) = (f (a ◦ α + b ◦ β))(γ) = (a · f (α) + b · f (β))(γ) = a · (f (α))(γ) + b · (f (β))(γ) = a · ¯f (α, γ) + +b · ¯f (β, γ), czyli warunek ten zachodzi.

Teraz wyka˙zemy, ˙ze spe lniony jest warunek (ii) definicji 13.1. W tym celu we´zmy dowolne a, b ∈ R oraz dowolne γ ∈ V , α, β ∈ W . Wtedy ¯f (γ, a ◦ α + b ◦ β) = (f (γ))(a ◦ α + b ◦ β) = a · (f (γ))(α) + b · (f (γ))(β) = a · ¯f (γ, α) + b · ¯f (γ, β), wiec warunek ten te˙z jest spe lniony._,

Zatem ¯f ∈ L(V, W ; R) i otrzymujemy odwzorowanie f 7→ ¯f przestrzeni L(V ; W^∗) w prze- strze´n L(V, W ; R).

Udowodnimy, ˙ze ( ¯f )⁰ = f dla dowolnego f ∈ L(V ; W^∗). Dla dowolnych α ∈ V , β ∈ W : ((( ¯f )⁰)(α))(β) = ¯f (α, β) = (f (α))(β), skad wobec dowolno´_, sci β, (( ¯f )⁰)(α) = f (α), a wiec wobec_, dowolno´sci α, ( ¯f )⁰ = f .

Teraz udowodnimy, ˙ze dla dowolnego ξ ∈ L(V, W ; R) jest ¯ξ⁰ = ξ. W tym celu we´zmy dowolne α ∈ V , β ∈ W . Wtedy ( ¯ξ⁰)(α, β) = (ξ⁰(α))(β) = ξ(α, β), skad wobec dowolno´_, sci α i β uzyskujemy, ˙ze ¯ξ⁰ = ξ.

Zatem przekszta lcenie f 7→ ¯f jest odwrotne do przekszta lcenia ξ 7→ ξ⁰, czyli przekszta lcenie ξ 7→ ξ⁰jest bijekcja i ostatecznie jest ono izomorfizmem. W szczeg´_, olno´sci przekszta lcenie f 7→ ¯f jest izomorfizmem przestrzeni liniowej L(V ; W^∗) na przestrze´n L(V, W ; R).

Dla dowolnych a, b ∈ R, α, β ∈ W , γ ∈ V mamy, ˙ze

(ξ”(a ◦ α + b ◦ β))(γ) = ξ(γ, a ◦ α + b ◦ β) = a · ξ(γ, α) + b · ξ(γ, β) =

= (a · ξ”(α))(γ) + (b · ξ”(β))(γ) = (a · ξ”(α) + b · ξ”(β))(γ), skad wobec dowolno´_, sci γ mamy, ˙ze

ξ”(a ◦ α + b ◦ β) = a · ξ”(α) + b · ξ”(β).

Zatem przekszta lcenie ξ 7→ ξ” jest liniowe. Podobnie jak w (i) dowodzimy, ˙ze jest ono bijekcja._, Zatem przekszta lcenie ξ 7→ ξ” jest izomorfizmem przestrzeni liniowej L(V, W ; R) na przestrze´n L(W ; V^∗). 2

Uwaga 13.5. Izomorfizm ξ 7→ ξ⁰ nazywamy kanonicznym izomorfizmem przestrzeni L(V, W ; R) na przestrze´n L(V ; W^∗). Natomiast izomorfizm f 7→ ¯f nazywamy kanonicznym izomorfizmem przestrzeni L(V ; W^∗) na przestrze L(V, W ; R).

2 Przypadek przestrzeni sko´nczenie wymiarowych

Twierdzenie 13.6. Niech V i W bed_, a sko´_, nczenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi i niech ξ ∈ L(V, W ; R). Przy naturalnym uto˙zsamieniu przestrzeni V^∗∗ z przestrzenia V oraz_, przestrzeni W^∗∗ z przestrzenia W mamy, ˙ze ξ_, ⁰ = (ξ”)^∗ i ξ” = (ξ⁰)^∗. Ponadto dim ξ⁰(V ) = dim ξ”(W ).

Dow´od. Naturalne uto˙zsamienie przestrzeni V^∗∗ z przestrzeni V polega na uto˙zsamieniu wektora α ∈ V z przekszta lceniem α^∗∗ danym wzorem α^∗∗(ϕ) = ϕ(α) dla ϕ ∈ V^∗. Zatem dla dowolnych α ∈ V , β ∈ W mamy, ˙ze ((ξ”)^∗(α^∗∗))(β) = (α^∗∗◦ ξ”)(β) = α^∗∗(ξ”(β)) =

= ξ”(β)(α) = ξ(α, β) = ξ⁰(α)(β), skad wobec dowolno´_, sci β, (ξ”)^∗(α^∗∗) = ξ⁰(α). Ale α^∗∗ ≡ α, wiec wobec dowolno´_, sci α, (ξ”)^∗ = ξ⁰. Stad dim ξ_, ⁰(V ) = dim(ξ”)^∗(V^∗∗).

Analogicznie pokazujemy, ˙ze (ξ⁰)^∗ = ξ”. Ponadto, na mocy twierdzenia 12.13 mamy, ˙ze dim(ξ”)^∗(V^∗∗) = dim ξ”(W ), wiec dim ξ_, ⁰(V ) = dim ξ”(W ). 2

Definicja 13.7. Rzedem funkcjona lu dwuliniowego ξ ∈ L(V, W ; R) nazywamy rz_, ad prze-_, kszta lcenia liniowego ξ⁰ ∈ L(V ; W^∗), czyli wymiar podprzestrzeni ξ⁰(V ) (a wobec twierdzenia 13.6 jest to wymiar podprzestrzeni ξ”(W )).

Stwierdzenie 13.8. Je˙zeli V i W sa sko´_, nczenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi, to dim L(V, W ; R) = dim V · dim W .

Dow´od. Z twierdzenia 13.4, dim L(V, W ; R) = dim L(V ; W^∗). Ponadto dim W < ∞, wiec z_, twierdzenia 12.2, dim W^∗ = dim W . Ale dim V < ∞, wiec dim L(V ; W_, ^∗) = dim V · dim W^∗ = dim V · dim W . Zatem dim L(V, W ; R) = dim V · dim W . 2

Twierdzenie 13.9. Niech V i W bed_, a przestrzeniami liniowymi. Niech (α_{, 1}, . . . , α_n) bedzie_, uporzadkowan_, a baz_, a przestrzeni V i niech (β_{, 1}, . . . , β_m) bedzie uporz_, adkowan_, a baz_, a przestrzeni W ._, W´owczas dla dowolnych i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m przekszta lcenie ξij: V ×W → R dane wzorem

ξij n

X

k=1

x_k◦ α_k,

m

X

l=1

y_l◦ β_l

!

= xiyj (4)

jest funkcjona lem dwuliniowym oraz uk lad (ξ_ij)_i=1,...,n

j=1,...,m

jest baza przestrzeni L(V, W ; R)._,

Dow´od. Z uwagi 12.4 wynika, ˙ze (β₁^∗, . . . , β_m^∗) jest baza przestrzeni W_, ^∗. Zatem, z twierdzenia 10.2, uk lad (ϕ_ji)_i=1,...,n

j=1,...,m

, gdzie

ϕ_ji(α_k) =

( Θ, gdy k 6= i,

β_j^∗, gdy k = i. (5)

jest baza przestrzeni L(V ; W_, ^∗). Z dowodu twierdzenia 13.4 wynika zatem, ˙ze uk lad ( ¯ϕji)_i=1,...,n

j=1,...,m

jest baza przestrzeni L(V, W ; R). Ponadto_,

¯ ϕji

n

X

k=1

xk◦ α_k,

m

X

l=1

yl◦ β_l

!

= ϕji n

X

k=1

xk◦ α_k

!! _m X

l=1

yl◦ β_l

!

= (xi· β_j^∗)

m

X

l=1

yl◦ β_l

!

= x_iy_j· β_j^∗(β_j) = x_iy_j, dla dowolnych i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_m∈ R. Stad_,

¯

ϕ_ji = ξ_ij dla wszystkich i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m i uk lad (ξ_ij)_i=1,...,n

j=1,...,m

tworzy baze przestrzeni_, L(V, W ; R). 2

Definicja 13.10. Macierz [ξ(αi, βj)] ∈ Mn×m(R) nazywamy macierza funkcjona lu dwulinio-_, wego ξ ∈ L(V, W ; R) w bazach (α1, . . . , α_n), (β₁, . . . , β_m).

Uwaga 13.11. Niech A = [a_ij] ∈ M_n×m(R) bedzie macierz_, a funkcjona lu dwuliniowego ξ ∈_, L(V, W ; R) w bazach (α1, . . . , αn), (β1, . . . , βm). Udowodnimy, ˙ze w´owczas ξ =

n

X

i=1 m

X

j=1

aijξij. Dla dowolnych x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_m ∈ R na mocy wzoru (4)





n

X

i=1 m

X

j=1

a_ijξ_ij





n

X

k=1

x_k◦ α_k,

m

X

l=1

y_l◦ β_l

!

=

n

X

i=1 m

X

j=1

a_ijx_iy_j oraz z dwuliniowo´sci ξ mamy

ξ

n

X

k=1

x_k◦ α_k,

m

X

l=1

y_l◦ β_l

!

=

n

X

i=1 m

X

j=1

x_iy_jξ(α_i, α_j), wiec_,

ξ

n

X

k=1

xk◦ α_k,

m

X

l=1

yl◦ β_l

!

=

n

X

i=1 m

X

j=1

aijxiyj. (6)

Zatem rzeczywi´scie ξ =

n

X

i=1 m

X

j=1

aijξij. Na odwr´ot, dla dowolnych aij ∈ R, i = 1, . . . , n,

j = 1, . . . , m przekszta lcenie ξ : V × W → R dane wzorem (6) jest r´owne

n

X

i=1 m

X

j=1

a_ijξ_ij na mocy pierwszej cze´_,sci naszej uwagi, a wiec ξ ∈ L(V, W ; R) i [a_, ij] ∈ M_n×m(R) jest macierza ξ_, w bazach (α1, . . . , αn), (β1, . . . , βm). Zatem ka˙zdy funkcjona l dwuliniowy ξ ∈ L(V, W ; R) jest dany wzorem (6).

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze przy uto˙zsamieniu macierzy [a] ze skalarem a ∈ R wz´or (6) mo˙zna zapisa´c w postaci:

ξ

n

X

k=1

x_k◦ α_k,

m

X

l=1

y_l◦ β_l

!

= [x₁, . . . , x_n] · A · [y₁, . . . , y_m]^T. (7)

Twierdzenie 13.12. Niech A bedzie macierz_, a funkcjona lu dwuliniowego ξ ∈ L(V, W ; R)_, danego wzorem (6) w bazach (α₁, . . . , α_n), (β₁, . . . , β_m). Wtedy A^T jest macierza przekszta lcenia_, liniowego ξ⁰ w bazach (α1, . . . , αn) i (β₁^∗, . . . , β_m^∗). W szczeg´olno´sci rzad funkcjona lu ξ jest r´_, owny rzedowi macierzy A._,

Dow´od. Dla i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m mamy, ˙ze (ξ⁰(α_i))(β_j) = ξ(α_i, β_j) = a_ij oraz

m

X

k=1

a_ik· β_k^∗

!

(β_j) = a_ij na mocy okre´slenia przekszta lcenia ξ⁰ oraz wzoru (1) z wyk ladu 12.

Stad ξ_, ⁰(αi) =

m

X

k=1

aik· β_k^∗ dla i = 1, . . . , n. Zatem wsp´o lrzedne wektora ξ_, ⁰(αi) tworza i-ty_, wiersz macierzy A, czyli tworza i-t_, a kolumn_, e macierzy A_, ^T. Stad macierz_, a przekszta lcenia_, liniowego ξ⁰ w bazach (α₁, . . . , α_n) i (β₁^∗, . . . , β_m^∗) jest macierz A^T. Z twierdzenia 10.8 mamy, ˙ze dim ξ⁰(V ) = r(A^T). Ale r(A^T) = r(A), wiec rz_, ad funkcjona lu ξ jest r´_, owny r(A). 2

3 Zmiana bazy a funkcjona ly dwuliniowe

Twierdzenie 13.13. Niech A bedzie macierz_, a funkcjona lu dwuliniowego ξ ∈ L(V, W ; R) da-_, nego wzorem (6) w bazach (α1, . . . , αn), (β1, . . . , βm). Niech P bedzie macierz_, a przej´_, scia od bazy (α₁, . . . , α_n) do bazy (α⁰₁, . . . , α⁰_n) oraz niech Q bedzie macierz_, a przej´_, scia od bazy (β₁, . . . , β_m) do bazy (β₁⁰, . . . , β_m⁰ ). W´owczas P^T · A · Q jest macierza ξ w bazach (α_, ⁰₁, . . . , α⁰_n), (β₁⁰, . . . , β_m⁰ ).

Dow´od. Ze wzoru (7), z definicji macierzy przej´scia oraz z definicji 13.7 wynika, ˙ze dla dowolnych i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m ξ(α⁰_i, β_j⁰) = (i − ta kolumna P )^T · A · (j − ta kolumna Q) =

= (i − ty wiersz P^T) · A · (j − ta kolumna Q). Ale z definicji iloczynu macierzy A · (j − ta kolumna Q) = j − ta kolumna (A · Q), wiec ξ(α_, ⁰_i, β⁰_j) = [P^T · A · Q]_ij, skad mamy tez_, e._, 2

Korzystajac ze wzoru (7) oraz z definicji macierzy endomorfizmu liniowego w bazie i z definicji_, 13.7 mo˙zna udowodni´c w podobny spos´ob nastepuj_, ace twierdzenie._,

Twierdzenie 13.14. Niech A bedzie macierz_, a funkcjona lu dwuliniowego ξ ∈ L(V, W ; R)_, danego wzorem (6) w bazach (α1, . . . , αn), (β1, . . . , βm). Niech P bedzie macierz_, a endomorfizmu_, f przestrzeni V w bazie (α1, . . . , αn) oraz niech Q bedzie macierz_, a endomorfizmu g przestrzeni_, W w bazie (β₁, . . . , β_m). W´owczas ξ₁: V × W → R dane wzorem

ξ₁(α, β) = ξ(f (α), g(β)) dla α ∈ V, β ∈ W

jest funkcjona lem dwuliniowym i jego macierza w bazach (α_, 1, . . . , αn), (β1, . . . , βm) jest P^T·A·Q.

2