Grupy – SL(2, C) i SU(2).

Grupy - Lorentza i Poincarego.

Grupy – SL(2, C) i SU(2).

Algebry – Liego i Clifforda.

*********************************************************************************************

Data powstania tekstu : 2014-01-10 Ostatnie poprawki : 2014-01-20

*********************************************************************************************

Jako teksty wstępne :

Rozdział XV. Teoria grup i jej zastosowania w fizyce Podstawy Szczególnej Teorii Względności (STW)

Wprowadzenie.

W niniejszym tekście skupiam ogólnie uwagę na pojęciach grupy i algebry Liego grupy Lorentza, uwypuklając pojęcia matematyczne – grupy, algebry i reprezentacji ( zobacz punkt, I, II ).

Jak wiadomo zbiór przekształceń Lorentza ( Poincarego – niejednorodnych przekształceń Lorentza ) tworzy grupę jako obiekt matematyczny ( zbiór elementów wraz z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami )

Grupę tę oznacza się zazwyczaj ( choć nie ma tutaj kanonu ) jako SO(3, 1).

Jak wiemy z punktu widzenia matematyki grupa ta wiąże się z symetriami ( izometriami ) przestrzeni Minkowskiego ( 4 –wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej o metryce lorentzowskiej )

Grupa ta na cześć fizyka holenderskiego A. Lorentza, została nazwana grupą Lorentza ( lub grupą Poincarego lub pełną grupą Lorentza – dla niejednorodnych przekształceń Lorentza ). Jak wiemy ( zobacz punkt III ) grupa ta może być rozbita na podgrupy, z fizycznego punktu widzenia najbardziej interesująca jest podgrupa, tworząca tzw.

„przekształcenia właściwe Lorentza” ( przekształcenia ortochroniczne – przekształcenia Lorentza właściwe ) Dalej, wykorzystując odpowiednie konstrukcje matematyczne, powiemy, że grupa Lorentza jest 6 wymiarową grupą Liego ( 10 wymiarową – dla grupy Poincarego ), a jej generatory tworzą algebrę Liego, grupy Lorentza.

Algebry grup zazwyczaj oznacza małymi literkami np. algebrę grupy SU(n) oznacza się jako su(n), zatem algebrę grupy Lorentza oznaczymy jako so(3, 1).

Jak się okazuje grupa Lorentza ma bardzo ciekawe reprezentacje spinorowe (unitarne ), których klasyfikacja stanowi punkt wyjścia dla relatywistycznych teorii pól kwantowych.

Podstawowym faktem na którym opiera się formalizm spinorowy w fizyce jest lokalny izomorfizm właściwej grupy Lorentza i grupy SL(2, C ) – unimodularnych macierzy zespolonych 2 × 2 ( tj. macierzy o wyznaczniku równym 1 ).

Mówiąc ściśle, grupa SL(2, C ) jest dwukrotnie nakrywającą grupą dla grupy Lorentza O(1, 3). ( zobacz punkt IV i punkt V. )

W dalszej kolejności definiuje pojęcie algebry Clifforda na przestrzenią Minkowskiego. ( punkt VI )

Ogólny schemat zależności grupowo, algebraicznych wynikający dla przekształceń Lorentza.

Przekształcenia Lorentza ( Poincarego ) → Grupa Lorentza (Poincarego ) SO(3, 1 ) → dekompozycje grupy Lorentza → grupa przekształceń właściwych Lorentza → pojęcie ciągłości ( ogólnie topologii na grupie ) →

→ algebra Liego grupy Lorentza so(3, 1 ) – operatory infinitezymalne i generatory grupy, operatory Casmira →

→ grupy nakrywające ( uniwersalna grupa nakrywająca ) SU(2) ⇔ SO(3) ; SO(3,1 ) ⇔ SL(2, C) → reprezentacje grup – reprezentacje nieredukowalne – grupa SU(2) – izomorfizmy i homomorfizmy dla grup SO(3, 1 ), SL(2, C) i SU(2) → klasyfikacja Wignera oparta na reprezentacji – reprezentacja wektorowa, tensorowa i spinorowa grupy Lorentza → równania Diraca jako konsekwencja reprezentacji spinorowej → spinory – spinory Diraca, Weyla, Majorany.

Algebra Clifforda nad przestrzenią Minkowskiego.

Najważniejsze kwestie.

Grupa SL(2, C) jest lokalnie izomorficzna z grupą właściwych przekształceń Lorentza. Globalnie te grupy są homomorficzne. Zatem możemy zapisać :

sl(2, C ) ≈ o( 3, 1 ) tj. ma miejsce również izomorfizm algebr Liego Grupy SU(2) i SO(3) są lokalnie izomorficzne.

Lokalnie SL(2, C) ≅ SU(2) ⊗ SU(2)

Generatory grupy SL(2, C ) ≅ generatory obrotów i pchnięć.

Za pomocą operatorów Casimira możemy numerować reprezentacje nieredukowalne danej grupy.

Grupa SL(2, C) ma dwa operatory Casimira – istnieją dwie 2-wymiarowe nierównoważne reprezentacje tej grupy, oznaczamy je standardowo :

( ½ , 0 ) i ( 0, ½ )

Z powyższego faktu wynika obecność tzw. spinorów kropkowanych i niekropkowanych. Z takich spinorów zbudowane są np. spinory Diraca – bispinory.

Polecana literatura (więcej w tekście ).

1) Spinory - S. Brzezowski ; UJ 1995 2) Rachunek spinorów - J. Łopuszański ; 1985 PWN 3) Grupy oraz ich reprezentacje - A. Trautman , IFT UW 2011 z zastosowaniami w fizyce

4) Teoria grup w zastosowaniu - M. Hamermesh ; PWN 1968 do zagadnień fizycznych

5) Teoria grup i jej zastosowania w fizyce - G. J. Lubarski ; PWN 1961

6) Theory of gropu reprezentations - A. O. Barut, R. Rączka ; PWN 1977 and applications ( tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1980 )

I. Grupy.

Definicja 1.1 Grupą (grupą multiplikatywną ) nazywamy zbiór G, w którym określona jest operacja (działanie ) mnożenia, posiadająca następujące własności :

1) Dla wszystkich a, b, c ∈G słuszne jest (ab)c = a(bc)

2) Istnieje element jednostkowy e ∈ G, taki, że dla wszystkich a ∈G słuszne jest ae = ea = a 3) Istnieje element odwrotny a–1∈ G dla każdego a ∈G, taki, że a–1a = aa–1= e

Jeśli działanie mnożenia jest przemienne ( tj. ab = ba dla wszystkich a, b ∈ G ), to grupę nazywamy abelową, w przeciwnym wypadku mówimy o grupie nieabelowej.

Grupy G1, G2 są izomorficzne, jeśli zachodzi odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne f : G1 → G2 zgodne z działaniem mnożenia :

f (g1g2 ) = f (g1 ) f (g2 ) , f (g –1 ) = [f( g )]–1

Izomorfizm grup możemy zapisać jako G1= G2 ( często nie rozróżnia się grup izomorficznych ).

Podgrupą H grupy G nazywamy podzbiór H w, który sam jest grupą względem działania mnożenia, określonego w G. Innymi słowy dla h, h1, h2 ∈ G określony jest iloczyn h1h2 oraz element odwrotny h–1, wymagamy aby h1h2 i h –1 były elementami zbioru H, jeśli h, h1, h2 ∈ H

Przykłady.

1) Grupa U(1) – zbiór liczb zespolonych z, takich, że | z | = 1.

Mnożenie w U(1) jest to mnożenie liczb zespolonych ( ponieważ przy | z1 | = | z2 | = 1 mamy | z1z2 | = 1 ) elementem jednostkowym jest z = 1, elementem odwrotnym do

z ∈U(1) to element z –1 ( z –1∈ U(1), ponieważ | z –1 | = 1 przy | z | = 1 )

2) Grupa Zn – zbiór liczb całkowitych modulo n tj. utożsamiamy liczby całkowite k i (k + n) ( innymi słowy zbiór Zn składa się z n liczb całkowitych 0, 1, ... , (n – 1).

Iloczyn w Zn jest to dodawanie liczb całkowitych modulo n ( innymi słowy, jeśli 0 ≤ k1 ≤ n – 1 , 0 ≤ k2 ≤ n –1, to : ( k1 + k2 ) (mod n ) = { k1 + k2 przy ( k1 + k2 ) ≤ n – 1

{ k1 + k2 – n przy ( k1 + k2 ) > n – 1

Analogicznie określamy działanie odejmowania modulo n. Zauważmy, że dodawanie modulo n jest przemienne.

Jedynka w Zn – to k =0, element odwrotny do k : ( -k ) ( mod k ) = { 0 przy k = 0

{ n – k przy 0 < k ≤ n – 1

3) Grupa GL(n, C ) – zbiór macierzy zespolonych n × n o wyznaczniku różnym od zera.

Iloczyn w GL(n, C ) jest to iloczyn macierzy, jedynka grupowa to macierz jednostkowa, element odwrotny do M ∈ GL(n, C ) – jest to macierz odwrotna M –1

( istnieje ona zawsze ponieważ det M ≠ 0 zgodnie z definicją grupy GL(n, C ) )

Grupy U(1) , Zn , GL(1, C ) – są grupami abelowymi, grupy GL(n, C ) n ≥ 2 to grupy nieabelowe.

4) Grupa GL(n, R ) – jest to grupa macierzy rzeczywistych o wyznaczniku różnym od zera . 5) Grupa U(n) – grupa macierzy unitarnych n × n tj. takich że :

U†U = 1 (1.1)

Zauważmy, że z (1.1) wynika :

| det U |2 = det U det U† = 1

tj. | det U | = 1 dla wszystkich U ∈ U(n).

6) Grupa SU(n) – grupa macierzy unitarnych o wyznaczniku równym jeden ( jest jasne, że SU(n) jest podgrupą U(n) ).

To, że grupowe operacje ( iloczyn i odwracanie macierzy ) nie wyprowadzają z SU(n) ( tj. SU(n) jest istotnie grupą ), wynika z równości :

det ( U1U2 ) = det U1 det U2 = 1 det U-1 = ( det U )-1 = 1

przy det U1 det U2 = det U = 1

7) Grupa O(n) – grupa macierzy rzeczywistych, ortogonalnych tj. takich, że :

OTO = 1 (1.2)

Jest jasne, że O(n) jest podgrupą GL(n , R ), jak również to, że O(n) jest podgrupą U(n).

Zauważmy, że z (1.2) wynika det O = ± 1, ponieważ : det OTO = det OT det O = ( det O )2 = 1

Zatem grupa O(n) może być rozbita na dwa nie przecinające się podzbiory ( det O = + 1 i det O = –1 ) 8) Grupa SO(n) – podgrupa grupy O(n), składająca się z macierzy O dla których det O = +1.

Zauważmy, że podzbiór w O(n), składający się z macierzy o det O = – 1 nie jest podgrupą grupy O(n).

W istocie, jeśli

det O1 = det O2 = – 1, to det ( O1O2 ) = +1 tj. wskazany podzbiór nie jest zamknięty względem iloczynu macierzowego.

Podstawowe grupy macierzowe.

Zbiór wszystkich macierzy odwracalnych ( tj. o niezerowym wyznaczniku ) stopnia n nad ustalonym ciałem K będziemy oznaczali symbolem GL (n, K)

Można dowieść, że zbiór ten wraz z operacją mnożenia macierzy tworzy grupę (ze względu na mnożenie macierzowe).

Grupa GL(n, K) nazywa się „ogólną grupą liniową”. Ciało K może być ciałem liczb rzeczywistych R, wtedy zapisujemy GL(n, R) lub ciałem liczb zespolonych i wtedy zapisujemy GL(n, C).

Elementem neutralnym grupy GL jest oczywiście macierz jednostkowa : diag ( 1, 1, ... , 1)

Podgrupą grupy GL(n, K) jest „specjalna grupa liniowa” oznaczana jako SL(n, K) – jest to zbiór macierzy unimodularnych tj. macierzy o wyznaczniku równym 1.

Podgrupą grupy GL(n, R) jest grupa ortogonalna – grupa składająca się z macierzy ortogonalnych, oznaczamy ją jako : O(n). Natomiast podgrupą grupy O(n) jest grupa „specjalna ortogonalna”

( grupa specjalna macierzy ortogonalnych ) :

SO(n) w której to grupie zbiór macierzy jest zbiorem macierzy ortogonalnych dla których det =1.

Podgrupą grupy GL(n, C) jest grupa unitarna ( grupa macierzy unitarnych) : U(n).

Natomiast podgrupą grupy U(n) jest grupa „specjalna unitarna” SU(n) w której to grupie zbiór macierzy jest zbiorem macierzy unitarnych dla których det =1.

Strukturę tą możemy zobrazować następująco :

Elementem neutralnym grupy GL jest oczywiście macierz jednostkowa : diag ( 1, 1, ... , 1)

Podgrupą grupy GL(n, K) jest „specjalna grupa liniowa” oznaczana jako SL(n, K) – jest to zbiór macierzy unimodularnych

tj. Macierzy o wyznaczniku równym 1.

Podgrupą grupy GL(n, R) jest grupa ortogonalna – grupa składająca się z macierzy ortogonalnych, oznaczamy ją jako : O(n). Natomiast podgrupą grupy O(n) jest grupa „specjalna ortogonalna” ( grupa specjalna macierzy ortogonalnych ) :

SO(n) w której to grupie zbiór macierzy jest zbiorem macierzy ortogonalnych dla których det =1.

Podgrupą grupy GL(n, C) jest grupa unitarna ( grupa macierzy unitarnych) : U(n).

Natomiast podgrupą grupy U(n) jest grupa „specjalna unitarna” SU(n) w której to grupie zbiór macierzy jest zbiorem macierzy unitarnych dla których det =1.

Strukturę tą możemy zobrazować następująco : GL(n , K) → GL(n, R) → SL(n, R)

→ O(n) → SO(n) → GL(n, C) → SL((n, C)

→ U(n) → SU(n) Przykład 10.1 U(1) = { [ eiφ ] , 0 ≤ φ 2π }

SO(2) = { [ cosφ - sinφ ] , 0 ≤ φ 2π } { [ sinφ cosφ ] } Grupy SO(1) i SU(1) są izomorficzne

Grupy SO(2) i SU(1) są izomorficzne

Grupa SU(2) jest topologicznie równoważna, czyli homeomorficzna z trójwymiarową sferą S3 w przestrzeni R4.

Grupa SU(2) jest grupą nakrywającą grupy SO(3), zatem grupa ta jest grupą obrotów przestrzeni R3.

( grupy SU(2) i SO(3) są homeomorficzne )

Każdej macierzy SU(2) odpowiada pewien obrót w przestrzeni trójwymiarowej.

Geometrycznie liczby zespolone eiφ dla 0 ≤ φ < 2π zapełniają okrąg jednostkowy S1 na płaszczyźnie zespolonej.

Mówimy, że grupa SO(2) i okrąg S1 są topologicznie równoważne ( homeomorficzne).

Grupy „rzeczywiste” : GL(n), SL(n), O(n), SO(n), jak również grupy „zespolone” U(n), SU(n) odgrywają bardzo ważną rolę teorii reprezentacji i podstawą wielu teorii w fizyce teoretycznej ( np. teorii cząstek elementarnych ). Są one przykładem tzw. „grup klasycznych”

Dalsze definicje.

Definicja 1.2 Centrum grupy G, nazywamy zbiór w G, składający się z wszystkich elementów w ∈ G, które komutują ze wszystkimi elementami grupy tj. takich , że dla wszystkich g ∈ G jest słuszne :

wg = gw (1.3)

Definicja 1.3 Centrum grupy W ⊂ G jest podgrupą w G. Istotnie, mamy bowiem dla w1, w2 ∈ W następującą zależność :

(w1w2 ) g = w1(w2 g) = w1g w2 = g ( w1w2 ) zatem w1w2 ∈ W.

Mnożąc (3.3) przez w–1 lewo i prawostronnie, otrzymamy : g w–1 = w–1g

Zatem zbiór W jest zamknięty względem grupowych operacji.

Definicja 1.3 Iloczynem prostym G1× G2 , grup G1× G2 nazywamy zbiór par {g, h} , gdzie g ∈ G1, h ∈G2 ,w który operacja iloczynu i wzięcia odwrotności danego elementu mają postać :

{ g , h} { g’ , h’ } = { gg’ , hh’ } , { g , h }-1 = { g –1, h-1 }

jedność to para {e1, e2 } , gdzie e1 i e2 są jednościami odpowiednio w G1i G2.

Zatem G1× G2 – jest grupą.

Zauważmy, że G1jest podgrupą G1× G2 ,ściślej G1 jest izomorficzna podgrupie grupy G1× G2 , składającej się z elementów {g , e1 }.

Definicję tą możemy wykorzystać następująco – jeśli udaje się wyjaśnić, że jakaś grupa G jest iloczynem prostym dwóch innych grup G1i G2 , to własności grupy G można otrzymać, badając własności grup G1i G2 ,oddzielnie.

Definicja 1.4 Homomorfizmem grup nazywamy odwzorowanie f grupy G w grupę G’ zgodne z operacją iloczynu tj. dla wszystkich

g , g1, g2∈ G jest słuszne : f (g1g2 ) = f(g1) f (g2)

( iloczyn g1g2 rozumiemy w sensie iloczynu w G, a iloczyn f(g1) f (g2) – w sensie iloczynu w G’ ) f (e) = e’

( e, e’ – jedności w odpowiednio G i G’ ) f ( g-1 ) = [ f(g ) ]–1

( wzięcie elementu odwrotnego w lewej i prawej części powyższej równości określone jest w sensie, odpowiednio grupy G i G ‘)

Przykłady homomorfizmów :

1) Homomorfizm SU(2) w SU(3), przy którym macierzy g o wymiarze 2 × 2 ( g ∈ SU(2) ) przyporządkuje się macierz 3 × 3 o postaci :

( 0 ) (1.4)

( g 0 ) ( 0 0 1 )

należącą, oczywiście do grupy SU(3).

2) Homomorfizm grupy G1× G2 w grupę G1, przy którym elementowi {g, h} przyporządkowano g ∈ G1.

Dalej wprowadzimy pojęcie ( prawej ) przestrzeni ilorazowej G/H, grupy G względem jej podgrupy H.

Definicja 1.5 Niech H będzie podgrupą G. Zdefiniujmy relacje równoważności w G : przyjmujemy, że g1 jest równoważne g2

( g1 ~ g2 ) jeśli g1= g2 h dla pewnego h ∈ H. Przypomnijmy, że dla relacji równoważności powinny być spełnione następujące własności :

1) jeśli g1 ~ g2 to g2 ~ g1

2) jeśli g1 ~ g2 a g1 ~ g3 to g1 ~ g3

W naszym przypadku własności te możemy łatwo sprawdzić : 1) jeśli g1= g2 h to g2 = g1 h-1 , tj. g2 ~ g1 ponieważ h-1∈ H

2) jeśli g1= g2 h12 , g2 = g3 h23 to g1 = g3 ( h23 h12 ) i g1 ~ g3 ponieważ h23 h12 ∈ H Relacja równoważności pozwala rozbić zbiór G na nie przecinające się podzbiory ( warstwy ) :

do jednej warstwy wchodzą wszystkie elementy G, równoważne między sobą. Zauważmy, że warstwa jedności e ∈ G – jest to podgrupa H.

Zbiór warstw nazywamy (prawostronną ) przestrzenią ilorazową G/H.

Możliwe jest wprowadzenie innej definicji równoważności : g1 ~ g2 jeśli g1 = h g2 dla pewnego h ∈ H.

Za jej pomocą zdefiniowalibyśmy lewostronną przestrzenią ilorazową G/H.

Z przestrzenią ilorazową G/H są ściśle związane „przestrzenie jednorodne”.

Definicja 1.6 Zbiór A nazywamy przestrzenia jednorodną względem grupy G, jeśli grupa G działa tranzytywnie w A, tj. każdemu g ∈ G przyporządkowano odwzorowanie odwrotne F(g), przestrzeni A w siebie, takie że :

a' = F(g) a

Przy tym wymagamy, aby operacja F była zgodna z operacjami grupowymi tj. :

F (g1g2 )a = F(g1)F(g2) a (1.5)

F(e)a = a , F( g-1)a = [ F(g) ]-1a (1.5)

Gdzie : F–1 – odwzorowanie A → A, odwrotne do odwzorowania F, a – dowolny element z A ; g , g1, g2 – dowolne elementy grupy G.

Oprócz tego wymagamy, aby dla dowolnych dwóch a, a’ ∈ A istniał taki element g ∈ G, że : a' = F(g)a

( tranzytywność działania grupy )

Stacjonarna podgrupa H elementu a0 ∈ A składa się ze wszystkich elementów h ∈ G, pozostawiających a0 na miejscu :

F(h) a0 = a0

To, że ten zbiór jest w istocie podgrupą, możemy sprawdzić za pomocą (1.5), przykładowo jeśli h1, h2 ∈ H, to :

F (h1h2 )a0 = F(h1)F(h2)a0 = F(h1)a0 = a0 tj. h1h2 ∈ H.

Dla przestrzeni jednorodnej stacjonarne podgrupy dla wszystkich elementów a∈ A są jednakowe.

Definicja 1.7 Podgrupę H grupy G nazywamy „dzielnikiem normalnym”, grupy G, jeśli dla dowolnych h ∈ H i dowolnych g ∈ G słuszne jest :

ghg -1 ∈ H

Jeśli H jest dzielnikiem normalnym, to K = G/H jest grupą.

II. Algebry i grupy Liego.

Definicja 2.8 Algebrą Liego ( oznaczymy ją ℘ ) nazywamy przestrzeń liniową (wektorową ) L nad ciałem K (liczb rzeczywistych lub zespolonych ), jeżeli określona jest w niej operacja biliniowa

L × L ∋ (a, b) → [ a , b ] ∈ L

zwana nawiasem Liego ( iloczynem Liego ) spełniająca warunki : a) [ a, b ] = – [ b, a ] lub [ a , a ] = 0

b) [ a, [ b, c ] ] + [ b, [ c, a ] ] + [ c, [ a, b ] ] = 0 ( tożsamość Jakobiego ) c) [ αa + βb , c ] = α[ a, b] + β[ b , c ] ; α, β ∈ K

Dla K będącego ciałem liczb rzeczywistych (zespolonych ) ℘ nazywamy rzeczywista ( zespoloną ) algebrą Liego.

Algebrę Liego nazywamy abelowa lub komutatywną, jeśli [ a, b ] = 0 dla dowolnych a , b ∈ L.

Dla pól wektorowych operacja [ . , . ] ta nazywana jest komutatorem, a w mechanice analitycznej nawiasem Poissona. Pojęcie algebry Liego jest ważne z tego względu, że z każdą grupą Liego ściśle związana jest pewna skończenie wymiarowa algebra Liego, a na własnościach tej algebry odbijają się własności samej grupy Liego.

Zatem badanie ( lokalnie) grup Liego możemy sprowadzić do zagadnienia prostszego, jakim jest badanie odpowiadających im algebr.

Przykład 2.1 Przestrzeń wektorowa, pól wektorowych na rozmaitości M ( np. przestrzeń styczna), jest algebrą Liego względem nawiasu Liego takich pól. Nawias Liego – komutator określamy następująco :

[ X ,Y ] = XY – YX , X ,Y – dowolne pola wektorowe Jest to przykład nieskończenie wymiarowej algebry Liego.

Twierdzenie 2.2 Jeżeli pola wektorowe X, Y należą do przestrzeni stycznej rozmaitości M to ich komutator również należy do tej przestrzeni.

Wniosek. Pola wektorowe styczne do pewnej rozmaitości tworzą podalgebrę Liego wszystkich pól wektorowych.

Przykład 2.1 Algebra Liego SO(3, R ) – grupy obrotów trójwymiarowej przestrzeni. Wybierzmy następującą bazę tej algebry :

e1 = ( 0 0 0 ) ; e2 = ( 0 0 1 ) ; e3 = ( 0 -1 0 ) ( 0 0 -1 ) ( 0 0 0 ) ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( -1 0 0 ) ( 0 0 0 ) [ e1 , e2 ] = e3 , [ e2 , e3 ] = e1 , [ e3 , e1 ] = e2

Definicja 2.2 Niech {ei } będzie bazą skończenie wymiarowej algebry Liego. Rozkładając komutatory [ ei , ej ] względem tej bazy otrzymamy zależność :

[ ei , ej ] = Ck ij ek

nazywamy ją równaniem strukturalnym algebry Liego, liczby Ckij nazywamy stałymi strukturalnymi. Zależą one od wyboru bazy i przy zmianie bazy przekształcają się tensorowo.

Obliczenie komutatora dowolnej pary wektorów X, Y może być dokonane zgodnie ze wzorem : [ X, Y ] = Ckij Xi Yj ek

Mając na uwadze własności komutatora stałe strukturalne powinny spełniać następujące warunki : Ckij = – Ck

ji , Cs ij Cm

sk + Cs ki Cm

sj + Cs jk Cm

si = 0

Grupy Liego.

Grupy Liego są szczególnym przypadkiem grup topologicznych (grup ciągłych ). Pojęcie topologii i grupy są właściwie od siebie niezależne ich połączenie daje nam bardzo silne narzędzie matematyczne zwane właśnie teorią grup topologicznych.

Definicja. Zbiór G nazywamy grupą topologiczną, jeżeli :

a) G jest grupą

b) G jest przestrzenią topologiczną

c) odwzorowanie α : G × G → G jest ciągłe.

Równoważnie - Mówimy, że G jest grupa Liego, jeśli jest to grupa będącą rozmaitością (gładka) i odwzorowania G × G ∋ (g; h) → gh ∈ G

G ∋ g → g–1 ∈ G są gładkie.

Grupy topologiczne charakteryzują się zarówno własnościami topologicznymi ( w szczególności : zwartość, spójność ) jak i grupowymi.

Definicja. Przestrzeń topologiczną T nazywamy „jednorodną”, jeżeli dla dowolnej pary punktów a, b ∈ T istnieje taki homomorfizm h : T → T , że h(a) = b.

Stwierdzenie. Grupa topologiczna jest przestrzenią jednorodną. Stad wynika, że przy badaniu własności lokalnych, grupy topologicznej wystarczy ograniczyć się do otoczenia dowolnego punktu np. otoczenia elementu

jednostkowego tej grupy.

Definicja. Grupą Liego nazywamy grupę topologiczną w której otoczenie elementu jednostkowego jest homeomorficzne z n-wymiarową przestrzenią euklidesową.

Liczbę n nazywamy wymiarem ( rzędem grupy Liego ).

Z fizycznego punktu widzenia najbardziej interesujące są grupy Liego które są : spójne i można zdefiniować na nich dowolny układ współrzędnych tj. mają również strukturę rozmaitości różniczkowej.

Grupy i algebry Liego.

Dla uproszczenia w dalszej części będziemy rozpatrywali grupy macierzowe, tj. grupy których elementami są macierze ( inaczej mówiąc będziemy rozpatrywali podgrupy grupy GL( n, C ) ).

W przestrzeni macierzy n × n w sposób naturalny możemy wprowadzić pojęcie bliskości dwóch macierzy ( pojęcie topologiczne ), mianowicie dwie macierze są bliskie, jeśli wszystkie ich elementy są bliskie.

Wprowadzamy również różniczkowanie zbioru macierzy M(t) względem parametru rzeczywistego t, elementami macierzy ( dM/dt )ij są pochodne d/dt Mij (t) elementów macierzowych Mij (t).

Ogólnie, przestrzeń wszystkich macierzy zespolonych n × n możemy rozpatrywać jako 2n2-wymiarową (rzeczywistą ) przestrzeń Euklidesa R2n2

, współrzędnymi której jest 2n2 elementów macierzowych Re Mij oraz Im Mij. Gładkie zbiory macierzy przedstawiają sobą powierzchnie ( rozmaitości ), włożone w tą przestrzeń Euklidesa.

Przykładowo, gładki zbiór macierzy M(t), zależny od parametru rzeczywistego t, przedstawia sobą krzywą w R2n2 , a dM/dt odpowiada wektorowi stycznemu do tej krzywej.

Gładkie (macierzowe) grupy – są to takie grupy, które przedstawiają sobą rozmaitości gładkie w opisanej wyżej przestrzeni R2n2

. Takie grupy będziemy nazywali grupami Liego.

Najprostszym, nie trywialnym przykładem grupy Liego jest grupa U(1). Możemy ją również uważać za grupę macierzową przyjmując liczby zespolone jako macierze 1 × 1. Grupa U(1) przedstawia sobą okrąg na płaszczyźnie liczb zespolonych ( na dwuwymiarowej rzeczywistej przestrzeni macierzy 1 × 1 ).

Dla każdego punktu ( zakrzywionej ) rozmaitości o wymiarze k w 2n2–wymiarowej przestrzeni Euklidesa można określić przestrzeń styczną do tej rozmaitości w tym punkcie, jest to przestrzeń wektorowa rzeczywista o wymiarze k, składająca się z wektorów stycznych do rozmaitości w danym punkcie.

Przestrzenią styczną dla grupy Liego w jedności jest „algebra Liego” tej grupy ( jedność grupy - macierz jednostkowa jest jednym z punktów rozmaitości grupowej ).

Inaczej mówiąc, dowolna krzywa g(t) w grupie Liego G w otoczeniu jedności może być przedstawiona w postaci :

g(t) = 1 + At + O( t2 ) (2.1)

gdzie : 1 – macierz jednostkowa, złożenie jest złożeniem macierzy A należącej do algebry Liego grupy G.

W dalszym ciągu algebrę Liego grupy G będziemy oznaczali jako AG.

Zależność (2.1) można rozpatrywać jako definicje algebry AG , jej elementami są wszystkie takie macierze A, że (2.1) jest krzywą w G w otoczeniu jedności.

W algebrze Liego określony jest komutator macierzy [ A1, A2 ] = A1A2 – A2A1 który również należy do algebry AG, jeśli A1, A2 ∈ AG.

Oczywiście powyższa definicja nie jest jedyną możliwą.

Definicja. Niech będzie dana grupa Liego G. Przy ustalonym a i zmiennym g – przebiegającym całą grupę G, a, g ∈ G równanie : g = ag określa ciągłe odwzorowanie G → G. Odwzorowanie to nazywamy przesunięciem lewostronnym, I oznaczamy La , Lag = ag

Definicja. Pole wektorowe v(x) określone na grupie Liego nazywamy lewoinwariantnym, jeśli jest ono inwariantne przy przesunięciach ( translacjach) lewostronnych : Lav(x) = v(ax).

Niech v = v(e) będzie wartością pola wektorowego w jedności grupowej e. Z definicji wynika, że każde

lewoinwariantne pole wektorowe można otrzymać z jego wartości początkowej ( np. w jedności grupowej ) poprzez przesunięcia lewostronne v(x) Lav.

Definicja. Niech g będzie zbiorem wszystkich pól wektorowych lewoinwariantnych na G. Jest to podprzestrzeń wektorowa ℘ ⊂ T(G) w algebrze Liego wszystkich gładkich pól wektorowych określonych na G.

Ponieważ La [ v(x), u(x) ] = [ Lav(x), Lau(x) ] to ℘ jest algebrą Liego o komutatorze [ v(x), u(x) ].

Nazywamy ją algebra Liego grupy Liego. Algebra ta ma wymiar taki jaki jest wymiar odpowiadającej jej grupy Liego

Rozmaitość macierzowa i grupowa.

Każdą macierz m × n możemy rozpatrywać jako punkt w przestrzeni (rzeczywistej lub zespolonej – w zależności od rodzaju rozpatrywanych macierzy ) mn wymiarowej tj. Rmn lub Cmn. Współrzędne tego punktu są składowymi rozpatrywanej macierzy.

Przykładowo macierz A : ( a11 a12 a13 ) , aij∈ R ( a21 a22 a23 )

( a31 a32 a33 )

może być przedstawiona jako punkt w przestrzeni R9, o współrzędnych ( a11 ,a12 ,a13 ,a21 ,a22 ,a23 ,a31 ,a32 ,a33 )

Jeżeli macierz A jest macierzą ortogonalną to jak wiemy współczynniki powinny spełniać następujące warunki : ( zobacz tekst pt. „Macierze i wyznaczniki” ) ( warunki ortogonalności macierzy )

a11 + a22 + a33 = 1

a12 a12 + a21a23 + a32 a33 = 0

Otrzymana trójwymiarowa powierzchnia w przestrzeni R9, opisywana przez powyższe zależności nazywamy rozmaitością grupy O(3) ( rozmaitość macierzowa ). Zazwyczaj będą nas interesowały własności topologiczne takich powierzchni, są one bowiem ściśle związane ze strukturami zadających je grup.

Jeśli rozpatrujemy macierze których elementy zależą w sposób ciągły od parametru przykładowo : ( a11(t) a12(t) a13(t) ) , t∈[ a, b]

( a21(t) a22(t) a23(t) ) ( a31(t) a32(t) a33(t) )

to, odpowiednio na przestrzeni rozmaitości macierzowej otrzymamy pewną krzywą.

Przypomnijmy, że generatorami grupy Liego nazywamy operatory określone zależnością : I = ∂a(α )/∂αm | α1 , ... ,αr = 0

gdzie : a(α) – elementy macierzowej reprezentacji grupy Liego.

Reprezentują one wektory styczne do rozmaitości grupowej w punkcie α = 0. Liczba generatorów grupy pokrywa się z liczbą jej parametrów. Generatory obrazują algebrę Liego danej grupy Liego.

Opiszemy teraz algebrę Liego pewnych grup.

1) Algebra U(n). Macierze unitarne, bliskie jedności, powinny posiadać następującą własność :

( 1 + At + O( t2 ) ) ( 1 + A† t + O( t2 ) ) = 1 Stąd :

A† = - A

tj. algebra Liego grupy U(n) – jest algebrą wszystkich macierzy antyhermitowskich.

2) Algebra SU(n). Oprócz unitarności, macierze z SU(n), bliskie jedności, powinny spełniać następująca własność : det ( 1 + At + O( t2 ) ) = 1

Ponieważ dla małych t słuszne jest : det ( 1 + At ) = 1 + ( Tr A ) t + O( t2 ), to mamy : Tr A = 0

Algebra SU(n) – jest to algebra wszystkich macierzy antyhermitowskich o zerowym śladzie.

3) Algebra SO(n) – jest to algebra wszystkich macierzy rzeczywistych, spełniających warunek : AT = – A

( inaczej mówiąc, macierze z algebry SO(n) – są to macierze rzeczywiste, antysymetryczne )

Ponieważ każda macierz antyhermitowską można przedstawić w postaci iA, gdzie A – macierz hermitowska, Przypominam, że macierz hermitowska to taka macierz której współczynniki spełniają zależność :

αij = α*ij , * - sprzężenie zespolone.

Macierz antyhermitowska to taka macierz której współczynniki spełniają zależność : αij = - α*ij

Algebry Liego SU(n) w fizyce często określa się jako algebry macierzy hermitowskich o zerowym śladzie, a elementy bliskie jedności grupy SU(n) zapisuje się w postaci :

g = 1 + iAt + O( t2 )

Dwie algebry Liego są izomorficzne, jeśli istnieje między nimi odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna, zachowująca złożenie, iloczyn przez liczby rzeczywiste oraz komutator.

Można pokazać, że algebry Liego SU(2) i SO(3) są izomorficzne.

Istotnie mamy bowiem następujące zależności :

U = ( eiα/2 0 ) ↔ R = ( cos(α) sin(α) 0 )

( 0 e-iα/2 ) ( −sin(α) cos(α) 0 ) ( 0 0 1 )

U = ( cos( ½β ) sin( ½β ) ) ↔ R = ( cos( β ) 0 – sin(β ) ) ( −sin( ½β ) cos( ½β ) ) ( 0 1 0 )

( sin( β ) 0 cos(β ) )

U = ( cos( ½γ ) i sin( ½γ ) ) ↔ R = ( 1 0 0 ) ( i sin( ½γ ) cos( ½γ ) ) ( 0 cos(γ) sin(γ) )

( 0 −sin(γ ) cos(γ ) )

Podane odpowiedniości między grupami SU(2) i O(3) oznacza, że te grupy powinny posiadać analogiczną strukturę, a zatem ich generatory powinny spełniać jednakowe zależności komutacyjne. W istocie, jak łatwo się przekonać macierze Pauliego spełniają następujące zależności :

[ ½σx , ½σy ] = i ½σz + permutacje cykliczne

Jak jednakże można się przekonać elementy U i −U grupy SU(2) odpowiadają jednemu obrotowi R grupy O(3).

Istnieje zatem 2-w-1 – odwzorowanie elementów grupy SU(2) w elementy grupy O(3).

Mówimy również, że grupa SU(2) jest grupą podwójnie nakrywającą dla grupy O(3) W szczególności :

Wymiar przestrzeni wektorowej, którą przedstawia algebra Liego, nazywamy „wymiarem algebry”. Jest on równy wymiarowi rozmaitości grupowej odpowiedniej grupy Liego.

Wymiar algebry SU(n) jest równy ( n2 – 1 ).

Wymiar algebry SO(n) jest równy ½ n (n − 1)

W algebrze Liego jak i w przestrzeni wektorowej można wybrać bazę. Elementy tej bazy stanowią k macierzy Ti ( i = 1, ... , k ) k – wymiar algebry. Macierze te nazywamy generatorami algebry Liego i odpowiadającej je grupy Liego.

Ponieważ komutator [ Ti , Tj ] należy do algebry, to może on być rozłożony względem generatorów tj. : [ Ti , Tj ] = Cijk Tk

gdzie : Cijk – stałe strukturalne algebry , lub co równoważne stałe strukturalne grupy, wielkości antysymetryczne względem dwóch pierwszych indeksów, przyjmujące wartości rzeczywiste, których wartości zależą od wyboru bazy.

Przykładowo, w przestrzeni macierzy hermitowskich 2 × 2 możemy wybrać bazę w postaci Ti = − ½ τi , τi – macierze Pauliego :

Stałe strukturalne algebry SU(2) otrzymujemy z zależności : [ τi , τj ] = 2i εijk τk

są one równe εijk. Jednakże algebrę SU(2) w fizyce często określa się jako algebrę macierzy hermitowskich 2 × 2, a jej generatory ( bazę w tej algebrze ) wybiera się w postaci :

Ti = ½ τi

Przy tym stałe strukturalne są liczbami urojonymi, zależność komutacyjna dla generatorów ma postać : [ Ti , Tj ] = iεijk Tk

Generatory algebry SU(3) ( w fizyce ją również określamy jako algebrę macierzy hermitowskich bezśladowych ) wybieramy w postaci : Ta = ½ λa , a = 1, 2, ... , 8 , λa - macierze Gell-Manna :

Podalgebrą Liego algebry Liego A, nazywamy rzeczywistą podprzestrzeń wektorową w A, zamknięta względem operacji komutacji ( tj. podprzestrzeń, która sama jest algebrą Liego ).

Przykładowo, podalgebrą w algebrze SU(3) jest zbiór macierzy o postaci : ( 0 )

( A 0 ) ( 0 0 0 )

gdzie : A – macierz 2 × 2 należąca do algebry SU(2).

Ta podalgebra, jest oczywiście izomorficzna algebrze SU(2).

Niech A i B będą dwiema algebrami Liego o wymiarach NA i NB ; T1A .... TNAA – całkowity zbiór generatorów algebry A, T1A .... TNBA – całkowity zbiór generatorów algebry B. Przyjmiemy, że elementy algebry A to macierze

nA× nA , elementy algebry B, to macierze nB× nB . Zbudujemy zbiór ( NA + NB ) macierzy ( nA + nB ) × ( nA× nB ), w taki sposób aby pierwsze NA macierzy miało postać :

( TiA OnA × nB ) , i = 1 , ... NA ( OnB × nA OnB × nB )

gdzie : Ok × m – macierz zerowa k × m.

Pozostałe NB macierzy wybierzemy w postaci : ( OnA × nA OnA × nB ) , q = 1 , ... NA ( OnB × nA TqB )

Rzeczywistą przestrzeń wektorową rozpiętą na ten zbiór złożony z NA + NB macierzy ( stanowiący jej bazę ) nazywamy „sumą prostą algebr A i B i oznaczamy A + B. Jest jasne, że badanie sumy prostej dwóch algebr Liego sprowadza się do badania każdej z algebr oddzielnie.

Podalgebra Liego C w algebrze Liego A nazywa się „algebrą inwariantną” ( lub ideałem ), jeśli dla wszystkich c ∈C a ∈ A jest słuszne :

[ c, a ] ∈ C

Zatem, lokalnie ( i tylko lokalnie ) własności grup Liego wygodnie jest badać, rozpatrując odpowiadające im algebry Liego. Podstawowe pojęcia teorii grup przy tym podejściu mają swoje analogi w teorii algebr Liego. Warto dodać, że wynika to z tego, że algebry Liego są prostszymi niż grupy Liego obiektami – są one przestrzeniami liniowymi.

Kompleksyfikacja.

Niech teraz L – będzie algebrą nad R o wymiarze rzeczywistym dimR L = n. Rozszerzając ciało R do C otrzymamy algebrę Liego LC nad C o wymiarze zespolonym dimC LC = n, którą nazywamy kompleksyfikacją algebry L.

Oczywiście LC = L ⊕ iL ( suma prosta przestrzeni wektorowych nad R ) R

Przykład. Rozpatrzmy rzeczywista algebrę prostą Liego ℘ = so(3, 1 ), będącą algebrą Liego grupy Lorentza G = SO(3, 1).

Wybierzmy w ℘ bazę standardową { li , nj } ( i, j = 1, 2, 3 ) spełniającą zależności komutacyjne :

[ li , lj ] = εijk lk , [ li , nj ] = εijk nk , [ ni , nj ] = - εijk lk (*) Podalgebra rozciągnięta na elementach lj , ( j = 1, 2, 3 ) jest algebrą so(3) i odpowiada obrotom przestrzennym.

Wybierzmy w ℘C = so(3, 1)C bazę {ui , vj } gdzie : ui = ½ ( li + ini ) , vj = ½ ( lj – inj ) . Łatwo sprawdzić, że :

[ ui , uj ] = εijk uk , [ vi , vj ] = εijk uk , [ ui , vj ] = 0 tj. powłoki liniowe elementów { ui } i { vi } ( i= 1, 2, 3 ) są ideałami w ℘C izomorficznymi so(3, C ).

To oznacza , że :

so(1, 3)C = so(3, C ) ⊕ so(3, C ) ( zobacz tablica 5.2 )

Przykład . Niech ℘= sl(2, C ), weźmy bazę {- ½ iτj } ( j = 1, 2, 3 ) , gdzie τi – macierz Pauliego.

Po urzeczywistnieniu bazę w ℘R wybierzemy w postaci {li , nj } , gdzie : li = - ½ iτi , nj = ½ iτj . Łatwo sprawdzić, że zależności komutacyjne w takiej bazie pokrywają się z zależnościami (*).

Odpowiednio, zatem : sl(2, C )R ≅ so(3, 1 )

Reprezentacje grup i algebr Liego.

Reprezentacją T grupy G w przestrzeni liniowej V nazywamy odwzorowanie, które każdemu elementowi g ∈ G przyporządkowuje operator liniowy T(g) działający w V, odwzorowanie to powinno być zgodne z operacjami grupowymi, zatem powinno być takie, ze jedności grupy G przyporządkowano operator jednostkowy, jak również spełnione są równania :

T(g1g2 ) = T(g1) T(g2 ) , T( g-1 ) = [ T(g) ]-1

Reprezentacją T algebry Liego AG w przestrzeni V nazywamy odwzorowanie, które każdemu elementowi A ∈ AG przyporządkowuje operator liniowy T(A), przy czym odwzorowanie to zgodne jest z operacjami w algebrze AG tj. :

T( A + B ) = T(A) + T(B)

T(αA) = αT(A)

T( [ A, B ] ) = [ T(A) , T(B) ]

Dla wszystkich A, B ∈ AG i dowolnych liczb rzeczywistych α.

Komutator dwóch operatorów działających w V jest dany zależnością : [ T(A) + T(B) ] = T(A) T(B) – T(B) T(A)

Jeśli T(G) jest reprezentacją grupy Liego G w przestrzeni V, to za jej pomocą możemy zbudować reprezentacje T(AG) odpowiadającą algebrze Liego AG w przestrzeni V zgodnie ze wzorem :

T( 1 + εA ) = 1 + εT(A) (*)

Gdzie : ε – mały parametr.

Po lewej stronie stoi operator, odpowiadający bliskiemu jedności elementowi grupy ( 1 + εA) ∈G, a po prawej stoi operator T(A) odpowiadający elementowi algebry A ∈ AG. Zauważmy, że nie każda reprezentacja algebry generowana jest przez reprezentacje grupy ( zobacz poniższe zadanie )

Jeśli V jest rzeczywistą przestrzenią wektorową ( tj. w V określone jest mnożenie wektorów jedynie przez liczby rzeczywiste ) to reprezentacja w niej grupy lub algebry Liego nazywamy „reprezentacją rzeczywistą”.

Jeśli T(g) jest operatorem unitarnym dla wszystkich g ∈ G, to reprezentacje grupy nazywamy „reprezentacją unitarną”.

Dla reprezentacji unitarnej grupy , reprezentacja określona wzorem (*) odpowiadająca algebrze Liego składa się z operatorów antyhermitowskich :

[ T(A)]† = – T(A) dla wszystkich A ∈ AG.

Reprezentacje grup ( lub algebr ) T(G) i T’(G) w jednej i tej samej przestrzeni nazywamy „równoważnymi“, jeśli istnieje operator odwrotny S, działający w V, taki , że :

T’(G) = ST(g) S-1 Dla wszystkich g ∈ G.

Niech W będzie podprzestrzenią liniową V. Nazwiemy ją „podprzestrzenią inwariantną” reprezentacji T(G), działającej w V, jeśli dla wszystkich ψ ∈ W i g ∈ G słuszne jest :

T(g)ψ ∈ W

tj. działanie dowolnego operatora T(g) nie wyprowadza z podprzestrzeni W.

Trywialne inwariantne podprzestrzenie , to sama przestrzeń V i podprzestrzeń, składająca się z jednego elementu – wektora zerowego. Reprezentację T(G) nazywamy „nieredukowalną” reprezentacją grupy G w V jeśli w V nie istnieją nietrywialne inwariantne podprzestrzenie.

Przykłady reprezentacji grup Liego.

1) Reprezentacja podstawowa ( fundamentalna).

Niech G będzie grupą Liego, składającą się z macierzy n × n , np. SU(n) lub SO(n), V niech będzie n-wymiarową przestrzenią kolumn :

( ψ1 ) (**)

ψ = ( ... ) ( ψn )

Reprezentacja fundamentalna T(g) działa w tej przestrzeni V w następujący sposób : ( T(g) ψ )i = gij ψj

Można byłoby podać jeszcze inne określenie – niech V będzie n-wymiarową przestrzenią , ei – niech będzie bazą w tej przestrzeni, wtedy działanie operatora T(g) na wektor ei ma postać :

T(g) ei = gij ej

Reprezentacje podstawowe grup SU(n) i SO(n) są nie redukowalne.

2) Reprezentacja sprzężona z fundamentalną – jest to reprezentacja grupy macierzy n × n w n-wymiarowej przestrzeni kolumn (**), określona zależnością :

( T(g) ψ )i = g*ij ψj

Definicja równoważna : reprezentacja sprzężona z fundamentalną jest to reprezentacja w przestrzeni wierszy φ = ( φ1 , ..., φn )

taka , że : ( T(g) φ )i = φj g†

ji

3) Reprezentacja dołączona Ad(G) grupy Liego G. Niech AG będzie algebrą Liego grupy G, przyjmiemy, że podobnie jak grupa G, tak i algebra AG składa się z macierzy n × n. Algebra AG jest to rzeczywista przestrzeń wektorowa, która jest również przestrzenią reprezentacji dołączonej. Działanie operatora liniowego Ad(g) odpowiadającego elementowi

g ∈ G, na macierz A ∈ AG określamy w następujący sposób : Ad(g)A = gAg-1

Aby była to reprezentacja, wymagamy w pierwszej kolejności, aby gAg -1 był elementem algebry AG dla wszystkich

A ∈ AG i g ∈ G. Aby się o tym przekonać, zbudujemy krzywą w grupie G o postaci : h(t) = ggA(t)g -1

gdzie gA(t) = 1 + tA + ... – krzywa określająca element A ∈ AG.

Mamy : h(0) = 1 oraz h(t) = 1 + tAh + ...

gdzie : Ah – pewien element należący do algebry AG.

Z drugiej strony : h(t) = 1 + tgAg -1 + ...

dlatego gAg –1 = Ah ∈ AG, co właśnie jest wymagane.

Macierze reprezentacji dołączonej algebry Liego pokrywają się ze stałymi strukturalnymi. Z definicji macierzy reprezentacji wynika bowiem :

ad( ti )tj = Tij(i) tk

gdzie : tk – generatory ( elementy bazy ) w AG , Tij(i) – macierz operatora liniowego, odpowiadającego generatorowi ti

Z drugiej strony :

ad( ti )tj = [ ti , tj ] = Cijk tk

gdzie : Cijk – stałe strukturalne algebry AG.

Odpowiednio zatem :

Tij(i) = Cijk

Reprezentacja dołączona jest zawsze rzeczywista.

Zwarte grupy i algebry Liego.

Grupy Liego przedstawiają sobą rozmaitości gładkie ( macierzowe grupy Liego – są to podrozmaitości w przestrzeni wszystkich macierzy o określonym wymiarze, zobacz podrozdział 3.2 ).

Zwartymi grupami Liego nazywamy takie grupy Liego, których rozmaitości są zwarte.

Grupy SU(n) i SO(n) są zwarte, a grupy GL( n , C ) i GL( n , R ) są niezwarte.

Zwarte algebry Liego są to algebry Liego, odpowiadające zwartym grupom Liego.

Zachodzi następujące twierdzenie :

Algebra Liego jest zwarta wtedy i tylko wtedy kiedy istnieje w niej ( dodatnio określony ) iloczyn skalarny, inwariantny względem działania reprezentacji dołączonej grupy.

Innymi słowy, w każdej zwartej i tylko w zwartej algebrze Liego AG mamy formę biliniową (A, B), taką ,że dla wszystkich g ∈ G i wszystkich A, B ∈ AG jest słuszne :

( Ad(g)A, Ad(g)B ) = (A, B)

przy tym dla wszystkich A ∈ AG jest słuszne : ( A, A ) ≥ 0

a równość zachodzi jedynie dla elementu zerowego algebry A = 0.

Dla grup macierzowych iloczyn skalarny w odpowiedniej dla nich algebrze jest to ślad macierzy : ( A, B ) = − Tr(AB)

Jego inwariantność względem reprezentacji dołączonej jest oczywista z możliwości cyklicznej permutacji macierzy pod znakiem śladu :

( gAg –1, gBg –1 ) = - Tr ( gAg –1, gBg –1 ) = - Tr (AB)

Nietrywialną częścią tego twierdzenia dla algebr macierzowych jest dodatnia określoność – Tr ( A2 ) dla zwartych i tylko zwartych macierzowych algebr Liego.

Istnienie w algebrze Liego dodatnio określonego iloczynu skalarnego, inwariantnego względem reprezentacji dołączonej, jest bardzo ważne dla teorii z cechowaniem, dlatego właśnie zwarte grupy i algebry Liego wykorzystywane są przy ich budowie.

W algebrze można wybrać generatory w ten sposób, aby tworzyły one bazę ortounormowaną. Zwykle normalizacje wybieramy w następujący sposób :

Tr ( ti tj ) = – ½ δij (***)

W bazie takiej stałe strukturalne są antysymetryczne względem wszystkich trzech indeksów. Z definicji mamy bowiem :

[ ti , tj ] = Cijk tk

i zależności (***) wynika :

Cijk = – 2 Tr[ ti , tj ] tk = – 2 [ Tr ( ti tj tk ) – Tr ( tj ti tk ) ]

Porównamy do tego wyrażenia wielkość w której przestawiono indeksy k, j : Cikj = – 2 [ Tr ( ti tk tj ) – Tr ( tk ti tj ) ]

Dokonując przestawienia cyklicznego pod znakiem śladu otrzymamy : Cikj = - 2 [ Tr ( tj ti tk ) – Tr ( ti tj tk ) ]

Co pokrywa się z - Cijk.

Zatem :

Cikj = – Cijk

A wielkość Cijk jest całkowicie antysymetryczne na mocy jej antysymetryczności względem dwóch pierwszych indeksów.

Wszystkie abelowe zwarte algebry Liego są sumami prostymi algebr U(1).

Zwarta algebra Liego nazywa się „półprostą” jeśli nie zawiera ona abelowych inwariantnych podalgebr. Zwarta algebra Liego nazywa się „prostą”, jeśli nie zawiera ona w ogóle inwariantnych podalgebr.

Zachodzi następujące twierdzenie : każda zwarta algebra Liego może być reprezentowana w sposób jednoznaczny w postaci sumy prostej pewnej skończonej ilości podalgebr U(1) i algebr prostych :

A = U(1) + U(1) + ... + U(1) + A1+ ... + An

Gdzie : An – algebry proste.

Zatem, badanie zwartych algebr Liego sprowadza się do badania prostych algebr Liego. Lokalnie każda zwarta grupa Liego jest reprezentowana w jednoznaczny sposób w postaci iloczynu prostego :

G = U(1) × U(1) × ... × U(1) × G1 × ... × Gn

Gdzie : Gn – proste grupy ( proste grupy Liego są to takie grupy, którym przyporządkowano proste algebry ) Globalna ( tj. słuszna dla grupy globalnie ) wersja tego twierdzenia jest bardziej złożona, nie będziemy się nim posługiwali i dlatego nie będziemy go wprowadzali

W przypadku prostej, zwartej algebry Liego istnieje tylko jeden inwariantny, dodatnio określony iloczyn skalarny ( z dokładnością do iloczynu przez liczbę ). Jeśli algebra jest półprosta, to cały zbiór inwariantów opisywany jest następująco. Niech przykładowo :

A = A1+ A2

Tak, że dowolny wektor B ∈ A ma postać :

A = B1+ B2 ; B1∈ A1 , B2 ∈ A2

Niech : ( , )1 – będzie inwariantnym iloczynem skalarnym w A1 , ( , )2 – będzie inwariantnym iloczynem skalarnym w A1.

Wtedy wszystkie inwariantne iloczyny skalarne wektorów o postaci (3.24) mają postać : ( B , B’ ) = α1( B1, B’1 )1 + α2 ( B2 , B’2 )2

gdzie : α1, α2 – dowolne liczby dodatnie.

Innymi słowy, dodatnie kwadratowe inwarianty ( względem reprezentacji dołączonej ) w sumie algebr prostych – to liniowe kombinacje inwariantów kwadratowych w każdej z prostych algebr z dowolnymi dodatnimi

współczynnikami.

Zwarte proste algebry Liego są opisane całkowicie. Oprócz znanych już nam algebr SU(n) , n = 2, 3 , ..., n i SO(n) n = 5, 7, 8 ( SO(3) i SO(4) sprowadzają się do SU(2), a SO(6) do SU(4) ) mamy jeszcze nieskończony zbiór algebr macierzowych Sp(n , C ) , n = 3, 4, ... oraz skończona liczbę ( pięć ) tzw. algebr sporadycznych G2, F4 ,E6 ,E7 ,E8.

Przy budowie modeli w fizyce cząstek najczęściej wykorzystuje się grupy SU(n).

Dla reprezentacji słuszne jest następujące twierdzenie :

dowolna reprezentacja zwartej grupy Liego jest równoważna reprezentacji unitarnej, a reprezentacje algebr Liego są równoważne reprezentacją antyhermitowskim.

Rozpatrując grupę SU(n) w fizyce, zwykle wykorzystuje się generatory hermitowskie ( a nie

antyhermitowskie ) ( jeśli A jest macierzą antyhermitowską, to A = iB , gdzie B – macierz hermitowska ) Wtedy każdy element algebry możemy reprezentować w postaci :

A = iAa ta

gdzie : ta – macierze hermitowskie , Ai – współczynniki rzeczywiste.

Element grupy Liego bliski jedności zapiszemy w postaci : g = 1 + iεa ta

gdzie : εa – małe parametry rzeczywiste.

Zależności między generatorami zawierają jawnie jednostkę urojoną : [ ta , tb ] = iCabc tc

gdzie : Cabc – całkowicie antysymetryczne stałe strukturalne algebry.

Dla reprezentacji zespolonych SU(n) i innych algebr również wykorzystuje się generatory hermitowskie T(ta ) ≡ Ta , takie, że :

[ Ta , Tb ] = iCabc Tc

III. Grupa i algebra Lorentza ( Poincarego ).

Generalnie, symetrie występujące w przyrodzie możemy podzielić na :

a) Symetrie czasoprzestrzenne – niezmienniczość teorii fizycznych ( pól fizycznych ) względem grupy Poincarego.

Grupa Poincarego jest niezwartą grupą Liego. ( parametr – prędkość należy do przedziału otwartego [ 0, c ) ) Ten typ symetrii nie jest łamany ( mówimy, że symetria czasoprzestrzenna nie jest naruszana )

b) Symetrie wewnętrzne – niezmienniczość teorii fizycznych ( pól fizycznych ) względem obrotów w pewnej ustalonej przestrzeni ( np. izotopowej ) np. symetrie postaci SU(N).

Grupa SU(N) jest zwarta ( parametr – kąt należy do przedziału zamkniętego [0, 2π ] )

Symetrie te mogą być globalne albo lokalne. Teorie z cechowaniem będą wykorzystywały symetrie lokalne.

Symetrie tego typu nazywa się również symetriami unitarnymi ( oczywiście nie każda symetria wewnętrzna jest symetrią unitarną, ale odwrotnie tak )

c) Supersymetrie – połączone nietrywialnie, symetrie czasoprzestrzenne i wewnętrzne.

Przykład. Grupa obrotów O(2) – dwu wymiarowa grupa ortogonalna ( grupa obrotów płaszczyzny ) ( x’ ) = ( cosθ sinθ ) ( x )

( y’ ) ( -sinθ cosθ ) ( y ) Zapis w postaci macierzowej : X’ = OX

Zapis w postaci indeksowej : xi’ = Oij (θ) xj , x1 = x, x2 = y Dla małych kątów :

δx = θy , δy = -θx lub

δxi = θ εij xj , gdzie εij – macierz antysymetryczna parametrów infinitezymalnych ε12 = - ε21 = 1 Oczywiście :

Oij Oik = δjk lub symbolicznie OT1O = 1

Grupę O(2) możemy przedstawić w postaci dwu wymiarowych macierzy ortogonalnych, rzeczywistych.

Każdą macierz ortogonalną możemy zapisać jako eksponent pewnej macierzy antysymetrycznej : ∞

O(θ) = eθτ ≡

ΣΣΣΣ

τ = ( 0 1 ) (-1 0 ) Mamy, bowiem :

eθτ = cosθ 1 + τ sinθ = ( cosθ sinθ ) ( - sinθ cosθ )

Każdy element grupy O(2) jest parametryzowany przez jeden parametr θ ( kąt obrotu ), mówimy, zatem, że grupa O(2) jest grupą jednoparametrową. Oczywiście det O(2) = ± 1, jeżeli przyjmiemy det O(2) = 1, to mówimy o grupie SO(2).

Grupa przekształceń czasoprzestrzeni.

Jak wiemy symetrie czasoprzestrzenne, to symetrie zachowujące metrykę Minkowskiego.

Przestrzeń Minkowskiego M jest to 4 wymiarowa rzeczywista przestrzeń wektorowa wyposażona w metrykę ( pseudometrykę ):

3 3

ds2 =

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

ds2 = ηµν dxµ dxν - zapis z zastosowaniem umowy sumacyjnej (4.1a) x0 ≡ ct, x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z

Uwaga! możliwy również zapis o konwencji : x0 ≡ x, x1 ≡ y, x2 ≡ z, x3 ≡ ct , jak również przy użyciu wskaźników kowariantnych tj. x0 ≡ ct, x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z

ηµν – tensor metryczny przestrzeni Minkowskiego ( przestrzeń pseudoeuklidesowa )

ηµν = ( 1 0 0 0 ) = diag ( 1 –1 –1 –1 ) ( sygnatura ( + - - - ) ) (4.2) ( 0 −1 0 0 )

( 0 0 −1 0 ) ( 0 0 0 –1 )

Uwaga! Możliwy również zapis o konwencji : ηµν = diag ( -1 1 1 1 ) ( sygnatura (- + + + ) ) Pseudoeuklidesowy iloczyn skalarny dwóch 4-wektorów :

x = ( x0, x1, x2, x3 ) = (ct, x ) ; gdzie x = ( x1, x2, x3 ) y = ( y0, x1, x2, x3 ) = (ct, y ) ; gdzie y = ( y1, y2 , y3 x • y = ηµν xµ yν )

Ogólne przekształcenie działające w przestrzeni Minkowskiego ma, postać :

X’µ = Λµν Xν + Bµ (D1.1) ( niezerowy wektor translacji Bµ odpowiada przekształceniu Poincarego i wprowadza afiniczną przestrzeń

Minkowskiego ) Gdzie :

( Λ00 , Λ0 1 , Λ0

2 , Λ0

3 ) - macierz 4× 4 obrotów i odbić przestrzennych oraz pchnięć lorentzowskich (Λ10 , Λ1

1 , Λ1 2 , Λ1

3 ) Λµν = ( Λ20 , Λ2

1 , Λ2 2 , Λ2

3 ) (Λ30 , Λ3

1 , Λ3 2 , Λ3

3 ) det Λ = ± 1

W szczególności możemy zapisać następujące macierze Λ :

( 1, 0, 0, 0 ) - macierz transformacji odbicia przestrzennego ( 0, -1, 0, 0 )

ΛP = ( 0, 0, -1, 0 ) ( 0 , 0, 0, 0 )

( -1, 0, 0, 0 ) - macierz transformacji odbicia – odwrócenia czasu ( 0, 1, 0, 0 )

ΛT = ( 0, 0, 1, 0 ) ( 0 , 0, 0, 1 )

Bµ = ( B0 ) - macierz kolumnowa translacji czasoprzestrzennych ( B1 )

( B2 ) ( B3 )

jest znaną już macierzą Lorentza L. Macierz ta jest macierzą ortogonalną, zatem :

( macierz Λµν „odpowiada” za obroty czasoprzestrzenne i odbicia , macierz wyrazów wolnych Bµ odpowiada za translacje – przesunięcia czasoprzestrzenne )

LT η L = η ; η = diag ( 1, -1, -1, -1 ) (D1.2)

Wzór (D1.1) określa ogólną postać transformacji przestrzeni M. Transformację o tej postaci nazywa się :

„Transformacją Poicarego”. Jednorodne przekształcenia Poincarego tj. przekształcenia o postaci :

X’µ = Λµν Xν (D1.3) Nazywamy „ogólnymi przekształceniami Lorentza”. Zbiór wszystkich transformacji Poincarego tworzy grupę ( grupa transformacji Poincarego ), zbiór wszystkich jednorodnych transformacji Poincarego również tworzy grupę ( podgrupę grupy Poincarego – nazywamy ją grupą Lorentza ).

( 1, 0 , 0 , 0 )