Przekształcenia całkowe

Przekształcenia całkowe

Wykład 4

fragmenty

Przekształcenie Laplace’a

Definicja 1:

Funkcję zespoloną zmiennej rzeczywistej t nazywamy oryginałem, jeżeli spełnione są trzy warunki:

1. wraz z pierwszą pochodną jest przedziałami ciągła dla (tzn. i mają w każdym skończonym przedziale co najwyżej skończoną ilość punktów nieciągłości rodzaju pierwszego),

f t ( )

f t ( )

f t ( ) _{f ′} ( ) _t

f ′ ( ) t 0 ≤ < ∞ t

Przekształcenie Laplace’a

Przekształcenie Laplace’a

2. ,

3. jest funkcją rzędu wykładniczego o wskaźniku ,

tzn. istnieją takie dwie stałe , że dla każdego t spełniona jest nierówność:

( ) ₀

f t =

f t ( ) λ

0

0

0

λ ≥

>

( ) _e

f t < M

Definicja 2:

Przekształceniem lub transformatą Laplace’a nazywamy takie przekształcenie, które każdemu oryginałowi– funkcji

przyporządkowuje funkcję zespoloną zmiennej zespolonej

s

f t ( ) _Φ ( ) _s

( ) ( )

0

st

d

s f t e t

∞ −

Φ = ∫

gdzie:

(2)

Przekształcenie Laplace’a

s = + λ i ω

Uwaga:

Jeżeli jest oryginałem o wskaźniku , to całka po prawej stronie powyższego równania (2) jest bezwzględnie zbieżna w półpłaszczyźnie .

λ

Re s = λ > λ

f t ( )

Przekształcenie Laplace’a

Funkcję określoną wzorem (2) nazywamy również obrazem funkcji . Przekształcenie dokonane na funkcji

za pomocą całki (2) oznaczamy krótko :

( )

Φ

( )

L f

( ) ( ) ( ) ( )

0

e

d L L

s f t t f t f

∞ −

⎡ ⎤

Φ = ∫ ≡ ⎣ ⎦ =

f t ( ) f t ( )

(3)

Własności transformaty Laplace’a

Własność 1:

Transformata Laplace’a jest funkcją zmiennej zespolonej s, holomorficzną w półpłaszczyźnie , gdzie jest wskaźnikiem wzrostu funkcji .

Re s = λ > λ

λ

f t ( )

Przekształcenie Laplace’a

Własność 2:

Jeżeli jest transformatą Laplace’a funkcji , będącej oryginałem, to:

( ) _s

Φ _{f t} ( )

Przekształcenie Laplace’a

( )

Re

lim 0

s

s

=λ→∞

Φ =

Własność 3 (jednorodność):

gdzie

c

( ) ( )

L cf t

⎡ ⎣ ⎤ ⎦ =

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

Dowód:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

e

d e

d

L cf t cf t t c f t t cL f t

∞ ∞

− −

⎡ ⎤ = = = ⎡ ⎤

⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎣ ⎦

Przekształcenie Laplace’a

Własność 4 (addytywność):

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

L ⎡ ⎣ f t + f t ⎤ ⎦ = L ⎣ ⎡ f t ⎤ ⎦ + L ⎣ ⎡ f t ⎤ ⎦ Dowód:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

0

1 2 1 2

0 0

e d

e d e d

st

st st

L f t f t f t f t t

f t t f t t L f t L f t

∞ −

∞ ∞

− −

⎡ + ⎤ = ⎡ + ⎤ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = ⎣ ⎦ + ⎣ ⎦

∫

∫ ∫

Własność 5 (liniowość):

gdzie - dowolne stałe.

Dowód:

[

]

[

]

[

]

L c f t ( ) + c f t ( ) = c L f t ( ) + c L f t ( )

1

,

c c

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 1 2 2

0

1 1 2 2 1 1 2 2

0 0

e d

e d e d

st

st st

L c f t c f t c f t c f t t

c f t t c f t t c L f t c L f t

∞ −

∞ ∞

− −

⎡ + ⎤ = ⎡ + ⎤ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = ⎣ ⎦ + ⎣ ⎦

∫

∫ ∫

Przekształcenie Laplace’a

Własność 6 (różniczkowanie oryginału):

Przekształcenie Laplace’a

[ ( ) ] [ ^{( )} ] ^{( )} ( ) ( )

L

′

=

L

−

0 = Φ

−

0

[ ( ) ]

( ) ( ) ( )

L f ′′ t = Φs s − s f 0 − f ′ 0

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n

n n n n n

L f t

s s s ⁻ f s ⁻ f s ⁻ f f ⁻

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦

′ ′′

= Φ − − − − −

Własność 7 (całkowanie oryginału):

n-krotne całkowanie oryginału

( ) [ ] ^{( )}

0

L d 1L ( )

t s

f u u f t

s s

⎡ ⎤ = = Φ

⎢ ⎥

⎣

∫

Przekształcenie Laplace’a

( ) ( )

0 0 0 0

d d d ... d

t t t t

n n

L u u u f u u s

s

−

⎡ ⎤ Φ

⎢ ⎥ =

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

krotne całkowanie oryginału

Własność 8 (różniczkowanie obrazu):

Przekształcenie Laplace’a

( ) ( )

Własność 9 (całkowanie obrazu):

Jeżeli jest oryginałem, to ze związku

wynika wzór:

_{f t} ( ) _{/ t} ^{L f t} [ ^{( )} ] ^{= Φ ( )}

( ) ( )

L d

s

f t s s

t

⎡ ⎤ ∞

⎢ ⎥ = Φ

⎣ ⎦

∫

gdzie

( ) ( )

d Relim d

p

p

s s

s s s s

∞

Φ = →∞ Φ

∫ ∫

Własność 10 (podobieństwo):

gdzie .

Własność 11 (przesunięcie oryginału):

dla dowolnego .

[

]

L s

f at a a

= Φ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠

0 a >

( )

[ ] ^{( )}

L f t − a = e^−as Φ s

0 a >

Przekształcenie Laplace’a

Przekształcenie Laplace’a

Własność 12 (przesunięcie obrazu):

gdzie - dowolna liczba zespolona.

( )

L e⎡⎣ ^−as f t ⎤ = Φ +⎦ s a

a

Własność 13:

Dla dowolnego oryginału i jego obrazu prawdziwy jest związek graniczny:

_{f t} ( ) _{Φ ( )}

( ) ( )

lim

lim

t

f t

s s

→ +

=

Φ

Własność 14:

Jeżeli istnieje granica oryginału , gdy , to

_{f t} ( ) t →∞

Przekształcenie Laplace’a

( ) ( )

lim lim

t

f t

s t

→∞

=

Φ

Tablica przekształceń Laplace’a

Przekształcenie Laplace’a

! t

n

1 s

e

_{s −} ¹ _a

f t ( ) ^L [ ^{f t ( )} ] ^{= L} ( ) ^f

1 ¹

s

2

1

t s

Tablica przekształceń Laplace’a c.d

Przekształcenie Laplace’a

f t ( ) ^L [ ^{f t ( )} ] ^{= L} ( ) ^f

e

t

n

e

t

sin at cos at

( )

1 s − a

( )

!

n

n

s − a

2 2

a s + a

2 2

s

s + a

Tablica przekształceń Laplace’a c.d

Przekształcenie Laplace’a

[ ( ) ] ( )

L f t = L f

f t ( )

e cos

bt

e sin

bt

(

)

2as

+

( )

2 2

2 2 2

s a

s a

− +

sin

t at

cos

t at

Tablica przekształceń Laplace’a c.d

Przekształcenie Laplace’a

f t ( ) ^L [ ^{f t} ( ) ] ^{= L ( ) f}

( ) ( ) ₀ sF s − f

f ′ ( ) t

( ) ( ) ( )

2

0 0

s F s − s f − f ′ f ′′ ( ) t

f ′′′ ( ) t _{s F s}

^{( )} − _{s f}

^{( )} ₀ − _sf ′ ^{( )} ₀ − _f ′′ ^{( )} ₀

( )

( ) ₀

( ) ₀

n n n

s F s − s

f − − … f

( )ⁿ

( )

f t