Je±li potramy opisa¢ t¦ pr¦dko±¢ jako funkcj¦ A0(B) to wystarczy j¡ scaªkowa¢, by uzyska¢ zale»no±¢ funkcyjn¡ A(B)

Cz¦sto zdarza si¦, »e poszukuj¡c zale»no±ci pomi¦dzy wielko±ciami ekonomicznymi (np.

A i B) napotykamy na informacje dotycz¡ce pr¦dko±ci wzrostu wielko±ci A w stosunku do wielko±ci B. Je±li potramy opisa¢ t¦ pr¦dko±¢ jako funkcj¦ A⁰(B) to wystarczy j¡

scaªkowa¢, by uzyska¢ zale»no±¢ funkcyjn¡ A(B). Jednak zdarza si¦, »e mamy tylko pewne informacje o A⁰(B) przedstawione w formie równania, a nie sam wzór. Takie równanie, którego niewiadom¡ jest funkcja i w którym wyst¦puj¡ pochodne tej funkcji nazywamy równaniem ró»niczkowym. Czasem takie równania si¦ da rozwi¡za¢ i o tego typu równaniach jest ten rozdziaª.

Dodam jeszcze, »e równania ró»niczkowe maj¡ powa»ne zastosowania w jakichkolwiek badaniach naukowych, w których wyst¦puje ruch lub zmiana warunków (tzw. ukªad dynamiczny). Na nich opiera si¦ caªa klasyczna zyka, a coraz cz¦±ciej s¡ konieczne do modelowania zjawisk z dziedzin innych nauk przyrodniczych i spoªecznych.

I. Podstawowe oznaczenia i denicje. Istnienie rozwi¡za«

W tym rozdziale rozwa»amy funkcje ró»niczkowalne jednej zmiennej y(x), gdzie y : R ⊃ Dy → R. Pochodn¡ takiej funkcji oznaczali±my przez y⁰, jednak w tym roz- dziale wyj¡tkowo b¦dziemy zazwyczaj u»ywa¢ bardziej zycznej notacji _dx^dy (ze wzgl¦dów

mnemotechnicznych - jak zobaczymy, taki zapis uªatwi nam rozwi¡zywanie pewnych typów równa«).

Denicja 1. Niech f : Rⁿ⁺² ⊃ D_f → R. Wtedy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym rz¦du n nazywamy równanie f(x, y(x), y⁰(x), y⁰⁰(x), . . . , y⁽ⁿ⁾(x)) = 0, w któ- rym niewiadom¡ jest funkcja jednej zmiennej y i w którym wyst¦puje pochodna rz¦du n tej funkcji (y⁽ⁿ⁾(x)) i mog¡ wyst¦powa¢ pochodne ni»szych rz¦dów, sama funkcja y i zmienna niezale»na x. Rozwi¡zaniem (lub caªk¡) takiego równania jest n-krotnie ró»niczkowalna funkcja y, która je speªnia dla ka»dego x w swojej dziedzinie.

Sªowo zwyczajny w denicji odró»na te równania od równa« ró»niczkowych cz¡stko- wych, które odpowiadaj¡ za poszukiwanie funkcji wielu zmiennych na podstawie infor- macji o ich pochodnych cz¡stkowych. Takie równania s¡ o wiele bardziej skomplikowane i nie b¦dziemy si¦ nimi zajmowa¢. Warto zauwa»y¢, »e równanie ró»niczkowe z denicji dane jest w postaci uwikªanej ze wzgl¦du na wszystkie zmienne.

Przykªad (II zasada dynamiki Newtona).

Zasad¦ dynamiki Newtona znaj¡ Pa«stwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siª¡ dziaªaj¡c¡ na ciaªo, a - przyspieszeniem, jakiego ciaªo nabiera pod wpªywem tej siªy, a m - mas¡ ciaªa. Zauwa»my, »e je±li przez x(t) oznaczymy poªo»enie ciaªa w czasie t to F mo»e by¢ dowoln¡ funkcj¡ zale»n¡ od x i t, a(t) jest drug¡ pochodn¡ funkcji x, a m jest staª¡. Dlatego je±li zdeniujemy f(t, x(t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = F (x(t), t) − m · x⁰⁰(t), to f (t, x(t), x⁰(t), x⁰⁰(t)) = 0jest równaniem ró»niczkowym drugiego stopnia. Je±li zaªo»ymy,

»e F jest staªe i _m^F = a ∈ R to rozwi¡zanie tego równania b¦dzie znanym ze szkoªy wzorem na poªo»enie ciaªa w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Teraz, do ko«ca tego rozdziaªu, skupimy si¦ na równaniach ró»niczkowych zwyczajnych pierwszego rz¦du, czyli zawieraj¡cych tylko zmienn¡ niezale»n¡, funkcj¦ oraz jej pierwsz¡

pochodn¡. Najcz¦±ciej równania te b¦d¡ w postaci rozwikªanej ze wzgl¦du na pierwsz¡

pochodn¡, czyli tzw. normalnej.

Denicja 2. Posta¢ normalna równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du to równanie postaci ^dy_dx = g(x, y(x)), gdzie Dg ⊂ R².

Rozwi¡zywanie równania ró»niczkowego jest w pewnym sensie uogólnionym caªkowaniem.

Dlatego równanie ró»niczkowe najcz¦±ciej ma niesko«czenie rozwi¡za«. Aby otrzyma¢

pojedyncze rozwi¡zanie, narzuca si¦ dodatkowe warunki np. warto±¢ w pewnym punkcie pocz¡tkowym.

1

Denicja 3. Zagadnienie Cauchy'ego (lub zagadnienie pocz¡tkowe) to zadanie polegaj¡ce na wyznaczeniu rozwi¡zania równania ró»niczkowego speªniaj¡cego warunek:

(y⁰(x) = g(x, y(x)) y(x₀) = y₀ .

Takie zagadnienie, przy pewnych niezbyt restrykcyjnych zaªo»eniach, ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.

Twierdzenie 1 (Peano-Picarda). Je±li g : R² → R jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w pew- nym otoczeniu (x0, y₀) to zagadnienie Cauchy'ego zadane tak jak w denicji 3 posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie y w pewnym otoczeniu x0.

II. Przykªady ekonomiczne

Przykªad (Model Friedmana oczekiwa« inacyjnych)

W warunkach dªugotrwaªej inacji ludzie przyjmuj¡ pewne oczekiwania inacyjne (czyli przewiduj¡ przyszª¡ inacj¦ na pewnym poziomie), co wpªywa na ich zachowania rynkowe.

Milton Friedman modelowaª te oczekiwania za pomoc¡ prostego równania ró»niczkowego:

dπ

dt = a(p − π),

gdzie a ∈ (0, 1], π(t) oznacza oczekiwan¡, a p(t) rzeczywist¡ stop¦ inacji w momencie t. Model powstaª na bazie nast¦puj¡cej obserwacji: je±li w danej chwili p > π to stopa oczekiwana b¦dzie rosn¡¢ (czyli ^dπ_dt > 0), za± je±li p < π to stopa oczekiwana b¦dzie male¢

(czyli ^dπ_dt < 0).

Przykªad (Model wzrostu Domara)

Budujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpªywu wiel- ko±ci inwestycji (I) na dochód narodowy (Y ). Inwestycje w modelu wpªywaj¡ na dochód w przyszªo±ci, ale zale»¡ od dochodu obecnego.

Inwestycje (I) z denicji to stopa przyrostu kapitaªu (K): I = ^dK_dt . Zakªadamy, »e po- tencjaª produkcyjny (Υ), czyli najwi¦kszy produkt narodowy mo»liwy do wytworzenia w chwili t jest proporcjonalny do posiadanego kapitaªu: Υ(t) = ρK(t), gdzie ρ jest wspóª- czynnikiem proporcjonalno±ci. Je±li potencjaª produkcyjny jest w peªni wykorzystany (wtedy mówi si¦, »e gospodarka jest w stanie równowagi), to mo»emy zaªo»y¢, »e Y (t) = Υ(t). Z kolei, je±li s jest kra«cow¡ skªonno±ci¡ do oszcz¦dzania dochodu narodowego (czyli cz¦±ci¡ tego dochodu, która zostaje zaoszcz¦dzona:

zakªadamy, »e jest staªa) to mo»emy zapisa¢ s^dY_dt = ^dI_dt. Š¡cz¡c te równo±ci otrzymu- jemy:

dI

dt = ρsI.

III. Podstawowe typy równa« ró»niczkowych i sposoby ich rozwi¡zywania Zasadniczo, przygniataj¡cej wi¦kszo±ci równa« ró»niczkowych nie da si¦ rozwi¡za¢ ana- litycznie, a przynajmniej przedstawi¢ algorytmu, który w sko«czonej liczbie kroków da- waªby ich rozwi¡zanie. W wielu wypadkach równie» rozwi¡zania numeryczne (czyli przy- bli»one, obliczone za pomoc¡ komputerów) nie zdaj¡ egzaminu ze wzgl¦du na tzw. siln¡

zale»no±¢ od warunków pocz¡tkowych (popularniejszymi, acz mniej ±cisªymi okre±leniami tego zjawiska s¡ chaos lub efekt motyla), czyli fakt, »e maªa niedokªadno±¢ pomiaru stanu pocz¡tkowego ukªadu, który dane równanie ró»niczkowe modeluje, mo»e powodowa¢ po pewnym czasie dowolnie du»¡ ró»nic¦ mi¦dzy przewidywaniami modelu a stanem rzeczy- wistym.

Poni»ej zajmiemy si¦ jedynie kilkoma najprostszymi rodzajami równa« ró»niczkowych, które akurat da si¦ rozwi¡za¢.

A. Najprostsze równania ró»niczkowe to równania postaci:

dy

dx = f (x), gdzie f jest pewn¡ funkcj¡ zale»n¡ tylko od zmiennej x.

Ich rozwi¡zania s¡ oczywi±cie wyra»one wzorem y(x) = R f(x)dx + C.

B. Do prostych równa« ró»niczkowych zalicza si¦ te» równania o rozdzielonych zmiennych

f (y)dy

dx = g(x)

Rozwi¡zujemy je mno»¡c obie strony przez dx i nast¦pnie caªkuj¡c:

f (y)dy

dx = g(x) =⇒ [f (y)dy = g(x)dx] =⇒

Z

f (y)dy = Z

g(x)dx

Oczywi±cie, zapis w nawiasie kwadratowym powy»ej jest zupeªnie niepoprawny (przynajmniej wedªug naszej wiedzy), bo samo dx b¡d¹ dy nie ma zdeniowanego znaczenia. To mno»enie jest tylko mnemotechniczn¡ sztuczk¡, dzi¦ki której mo-

»emy ªatwo zapami¦ta¢ sposób rozwi¡zywania równania o zmiennych rozdzielonych, a nie jakim± znanym nam dziaªaniem. Dlatego, zanim ¢wiczeniowiec/wykªadowca si¦

zorientuje, »e robimy z tym równaniem co± nieprzyzwoitego, musimy dopisa¢ szybko caªk¦ po obu stronach i ju» wszystko jest w porz¡dku.

Przykªad Dla staªego p, model Friedmana oczekiwa« inacyjnych jest zadany rów- naniem ró»niczkowym o zmiennych rozdzielonych.

C. Rozdzielaj¡c zmienne mo»emy rozwi¡za¢ w szczególno±ci równania liniowe jedno- rodne postaci:

dy

dx + f (x)y = 0,

przenosz¡c na drug¡ stron¦ i dziel¡c przez y (tu musimy zauwa»y¢, »e funkcja y = 0 speªnia równanie, wi¦c mo»na zaªo»y¢ y 6= 0 i dzieli¢):

Z 1

y dy = − Z

f (x) dx.

Dostaniemy rozwi¡zanie postaci ln |y| = −F (x) + c, czyli y(x) = Ce^{−F (x)}, gdzie F (x) jest funkcj¡ pierwotn¡ dla f(x), a C  dowoln¡ staª¡. Oczywi±cie pami¦tamy, »e funkcja dana wzorem y(x) = 0 te» jest rozwi¡zaniem.

Przykªad Model wzrostu Domara jest oparty na równaniu ró»niczkowym liniowym jednorodnym.

D. Metoda uzmienniania staªej, przydaje si¦ przy dostosowaniu poprzedniej metody do rozwi¡zywania równa« liniowych niejednorodnych postaci:

dy

dx + f (x)y = g(x).

Post¦pujemy nast¦puj¡co: rozwi¡zujemy najpierw równanie jednorodne dy

dx + f (x)y = 0

metod¡ podan¡ powy»ej, dostaj¡c ogólne rozwi¡zanie postaci y = Ce^{−F (x)}. Teraz zakªadamy, »e C jest funkcj¡ C(x) zmiennej x, ró»niczkujemy:

y = C(x)e^{−F (x)}=⇒ dy

dx = C⁰(x) · e^{−F (x)}− C(x) · F⁰(x)e^{−F (x)},

i podstawiamy do pierwotnego równania. Powinno si¦ ªadnie poskraca¢ i dostaniemy wzór na C⁰(x). Caªkujemy go i dostajemy wzór na C(x), który wstawiamy do roz- wi¡zania y = C(x)e^{−F (x)}.

Przykªad. Rozwi¡za¢ równanie ^dy_dx − xy = xe^x2 z warunkiem pocz¡tkowym y(0) = 3.

E. Podstawienia

Niektóre równania daj¡ si¦ sprowadzi¢ do równa« o zmiennych rozdzielonych przez proste podstawienie. Pierwszym przykªadem s¡ równania postaci:

dy

dx = f (ax + by + c),

dla których stosujemy podstawienie z = ax + by + c, przeksztaªcamy (na podstawie reguªy ªa«cuchowej)

dz

dx = a + bdy

dx ⇒ dy dx = 1

b

 dz dx − a



i ostatecznie nasze równanie jest postaci, któr¡ ju» ªatwo scaªkowac: ^dz_dx = bf (z) + a. Uwaga! Prosz¦ pami¦ta¢, »e szukan¡ funkcj¡ jest y, a wi¦c po znalezieniu z, nale»y jeszcze wyznaczy¢ y = ¹_b(z − ax − c).

Przykªad ^dy_dx = (x − y)²+ 1.

Inny typ równania, które da si¦ sprowadzi¢ do równania o zmiennych rozdzielonych to równanie jednorodne, czyli równanie postaci y⁰ = f (^y_x). Podstawiamy wtedy u = ^y_x, st¡d y = ux i na podstawie wzoru na pochodn¡ iloczynu mamy:

dy

dx = u + xdu

dx ⇒ 1

f (u) − u du dx = 1

x. Przykªad x^{2 dy}_dx = x²+ xy + y².

IV. Portrety fazowe dla równa« autonomicznych

Istnieje wiele ró»nych technik rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych, jednak wi¦kszo±ci takich równa« i tak nie da si¦ rozwi¡za¢. A, jak widzieli±my, nawet je±li si¦ da, to jest to do±¢ trudne, a ostateczn¡ posta¢ rozwi¡zania i tak trzeba zbada¢, »eby wyci¡gn¡¢ z tego jakie± wnioski.

Z drugiej strony, cz¦sto okazuje si¦, »e nie potrzebujemy ostatecznej postaci rozwi¡za- nia, a jedynie informacji, jak rozwi¡zania jakiego± zagadnienia zachowuj¡ si¦ na dªu»sz¡

met¦, przy danych warunkach pocz¡tkowych. Przykªadem jest równanie inacyjne Fried- mana, w którym interesowaªo nas dªugoterminowe dostosowanie oczekiwa« inacyjnych do rzeczywisto±ci, a nie dokªadny wzór.

Przykªad Równanie inacyjne Friedmana.

Denicja 4. Równanie ró»niczkowe nazywamy autonomicznym, je±li wyst¦puje w nim jedynie pochodna funkcji oraz sama funkcja, a zmienna niezale»na nie wyst¦puje (poza ar- gumentem funkcji). W postaci normalnej mo»na je zapisa¢ nast¦puj¡co: y⁰(x) = f (y(x)) (w przeciwie«stwie do ogólnej postaci y⁰(x) = f (x, y(x))).

Denicja 5. Portret fazowy dla równania y⁰(x) = f (y(x)) to wykres odwzorowania R ∈ y → y⁰(x) ∈ R¹, zaznaczony na osi R, gdzie y⁰(x)traktujemy jako jednowymiarowy wektor i zaznaczamy za pomoc¡ strzaªki.

Oczywi±cie, w praktyce nie trzeba zaznacza¢ niesko«czenie wielu strzaªek, po jednej dla ka»dego punktu osi R. Jako, »e du»o bardziej istotny jest kierunek strzaªki ni» jej dªugo±¢, wystarczy zaznaczy¢ po 1-2 strzaªki w ka»dym przedziale, w którym pochodna y⁰(x) ma ten sam znak i wiadomo wtedy, jak wygl¡da wykres w caªej okolicy (na podstawie twierdzenia Darboux). Znak pochodnej y⁰(x)jest po prostu równy znakowi f(y(x)), gdy»

y⁰(x) = f (y(x)). Dlatego wystarczy przyrównywac do 0 warto±ci f(y). Mo»emy sobie wyobrazi¢, »e portret fazowy pokazuje, w jak¡ stron¦ porusza si¦ punkt poªo»ony na osi R, je±li jego ruchem zarz¡dza dane równanie ró»niczkowe.

Warto tutaj zauwa»y¢, »e ka»de równanie autonomiczne y⁰(x) = f (y) jest pewnym ty- pem równania o zmiennych rozdzielonych i rozwi¡zanie mo»na wyznaczy¢, o ile potramy

rozwi¡za¢ R _{f (y)}¹ dy = R 1dx. Jednak»e, takie równanie mo»e mie¢ rozwi¡zanie w skom- plikowanej postaci (np. uwikªanej), która nie mówi nam wiele o jako±ciowych wnioskach z wyniku lub te» caªka po lewej stronie mo»e by¢ za trudna do obliczenia.

Denicja 6. Je±li funkcja staªa, dana wzorem y(x) = y0 jest rozwi¡zaniem równania ró»niczkowego y⁰(x) = f (x, y) dla pewnego y0 ∈ R to y0 nazywamy punktem staªym lub stacjonarnym tego równania.

Jak mocne wnioski mo»emy wyci¡gn¡¢ z takiego portretu fazowego? Czy rozwi¡zanie mo»e przeskoczy¢ z jednej strony punktu staªego na drug¡? Czy jego warto±¢ mo»e na dªu»sz¡ met¦ nie przybli»a¢ si¦ do punktu staªego?

Z twierdzenia Peano-Piccarda wynika rozwi¡zania niestaªe nie mog¡ przyjmowa¢ warto±ci stacjonarnej, ani tym bardziej przechodzi¢ na drug¡ stron¦. Ponadto:

Twierdzenie 2. Graniczne zachowanie rozwi¡za« równania autonomicznego Zaªó»my,

»e funkcja y speªniaj¡ca równanie y⁰(x) = f (y(x)) = f (y) mo»e przyjmowa¢ warto±ci z przedziaªu (a, b), gdzie a, b ∈ R, nie jest funkcj¡ staª¡. Wtedy y jest funkcj¡ silnie mono- toniczn¡ w caªej swojej dziedzinie, a jedyne warto±ci, jakie mog¡ przyjmowa¢ lim

x→∞y(x) i

x→−∞lim y(x) to a, b oraz punkty staªe równania y⁰(x) = f (y).

To twierdzenie pokazuje, »e rozwi¡zanie równania autonomicznego nie mo»e si¦ zatrzy- ma¢ w innym punkcie ni» punkt staªy, a gdy (a, b) = (−∞, ∞), to rozwi¡zanie mo»e w niesko«czono±ci tylko zbli»a¢ si¦ do punktu staªego lub ucieka¢ do niesko«czono±ci.

Metoda graczna ma zastosowanie równie» dla równa« nieautonomicznych. Rysuje si¦

wtedy tzw. rozszerzone portrety fazowe na R², jednak wnioskowanie z nich jest o wiele trudniejsze, wi¦c nie b¦dziemy si¦ tym zajmowa¢ w ramach tego kursu.