Obliczyć całki stosując wzór na podstawienie

3. Zadania do wykładu analiza 2B

1. Obliczyć

d du

Z _u²

−u

√1 + x²dx, d dt

Z _e^t

logtcos u²du, d da

Z _b

a sin θ⁴dθ.

2. Znaleźć granice przy pomocy reguły de l’Hˆopitala.

limt→0

1 t

Z t

0 cos x²dx, lim

t→∞

√ 1 t²+ 1

Z t

0 (arctg x)²dx,

t→∞lim

Z _t

0

e^2x2dx

−1Z _t

0

e^x2dx

2

, lim

x→∞

2xe^−x2

Z x 0

e^t2 dt.

3. Funkcja f (x) jest dodatnia i ciągła dla x ­ 0. Pokazać, że funkcja g(x) =

Z _x

0

f(t) dt

₋₁Z x 0

tf(t) dt jest rosnąca. Wskazówka: Obliczyć pochodną ilorazu i zapisać licznik jedną całką.

4. Obliczyć całki stosując wzór na podstawienie.

Z 1

0 2x(x²+ 2)²⁰⁰⁰dx,

Z 1 0

t⁹sin t¹⁰dt,

Z 3 2

x√

2x + 1 dx (u = 2x + 1),

Z ^√10

√5

x√

x²− 1.

5. Obliczyć całki stosując wzór na całkowanie przez części.

Z _π

0

xsin x dx,

Z 1

−1

x²e^xdx,

Z 2 1

xlog x dx,

Z _π

0

e^xsin xdx.

6. Obliczyć granice ciągów.

1 n³

h(n + 1)√

n²+ 2²+ (n + 2)√

n²+ 4²+ . . . + 2n√ 5n²ⁱ, 1

n²



sin 1

2n + 2 sin 4

2n + . . . + n sin3n − 2 2n



.

7. Dowieść, że

Z π 0

xsin x

1 + cos²xdx= 1

4π². Wskazówka. Podzielić przedział całkowania na dwie połowy i w drugiej całce podstawić x = π − t.

8. Udowodnić, że

Z π/2 0

f(cos x) dx =

Z π/2 0

f(sin x) dx.

9. Niech f1(x) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna na przedziale [0, a]. Ciąg funkcyjny {fⁿ(x)}

jest zadany indukcyjnie wzorem fn+1(x) = ^R₀^xf_n(t) dt, n = 1, 2, . . . . Pokazać, że funkcja ϕ(x) =

P_∞

n=1f_n(x) jest dobrze określona i ciągła na [0, a] z wyjątkiem punktów nieciągłości funkcji f1(x).

Znaleźć prosty wzór całkowy dla funkcji ϕ(x).

10. Udowodnić nierówność

Z b

a f(x)g(x) dx

!2

¬

Z b

a f(x)²dx

! Z b

a g(x)²dx

!

.

Wskazówka: Dla liczby dodatniej λ mamy 2|f(x)g(x)| ¬ λf(x)²+ λ⁻¹g(x)².Obliczyć całki obu stron nierówności i znaleźć minimum prawej strony względem parametru λ. Kiedy może zachodzić równość ?

∗11. Pokazać, że

Z 1 0

x^−xdx=

X∞

n=1

n⁻ⁿ. Wskazówka: x^−x = e^{−x log x}=

X∞

n=0

(−x log x)ⁿ n! .

12. Zbadać, czy całka po przedziale [0, 1] z granicy ciągu funkcyjnego jest równa granicy całek.

x(1 − xⁿ) n²x(1 − x)ⁿ xⁿ(1 − xⁿ) nx

1 + nx

13. Zbadać zagadnienie zbieżności całek ciągu i szeregu funkcyjnego dla jak największej liczby przykładów ciągów i szeregów funkcyjnych z listy 9 z pierwszego semestru.

14. Obliczyć sumę

1 1

n 0

!

− 1 3

n 1

!

+1 5

n 2

!

− . . . + (−1)ⁿ 2n + 1

n n

!

, stosując do całki ^R₀¹(1 − x²)ⁿdx podstawienie x = cos θ.