1. Obliczyć całki oznaczone:

Lista nr 10 Elektrotechnika i EiT, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2017/18

Całki oznaczone i ich zastosowania geometryczne

1. Obliczyć całki oznaczone:

a) Z 5

1

dx

3x − 2 , b)

Z 1 0

dz

(2z + 1) ³ , c) Z t

0

x + 3

x ² + 4 dx, d) Z

−

dx

x ² − 1 , e)

Z e

1 e

ln x dx,

f) Z e

1

x ln x dx, g) Z π

0

sin ² x cos x dx, h) Z a

−a

x cos x

a dx, i)

Z π

−π

x sin x cos x dx, j) Z e

1

(1 + ln y) ² dy.

2. Obliczyć całki:

a) Z 6

1

dx 1 + √

3x − 2 , b)

Z 3 1

√ x

x + 1 dx, c) Z

0

√ dx

x(1 − x) , d) Z 1

1 3

√

x − x ³ x ⁴ dx,

e) Z

0

p 1 − x ² dx, f) Z 3

0

p 9 − x ² dx, g) Z 1

0

x ²

(x + 1) ⁴ dx, h) Z ln 2

0

√

e ^x − 1 dx,

i) Z

√ 7

√ 3

x ³

p(x

² + 1) ² dx, j) Z e

1

√

1 + ln x

x dx.

Wskazówka: Wprowadzić now a zmienn _, a całkowania poprzez odpowiednie podstawienie: _, a) 3x − 2 = t ² , b) t = 1 + x, c) x = t ² , d) t = 1

x , e) x = cos t, f) x = 3 sin t, g) z = x + 1, h) t = √

e ^x − 1, i) t = x ² + 1, j) t = 1 + ln x.

3. Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami:

a) parabol a y = 6x − x _, ² i osi a OX, _, b) parabol a 4y = 8x − x _, ² i prost a 4y = x + 6, _, c) parabolami y = 4 − x ² , y = x ² − 2x, d) hiperbol a xy = 6 i prost _, a y = 7 − x, _, e) krzyw a y = x _, ³ i prostymi y = x, y = 2x, f) parabolami y = x ² i y = ¹ ₂ x ² prost a y = 3x. _, 4. Obliczyć obj etość bryły powstałej przez obrót figury ograniczonej liniami: _,

a) 2y = x ² , 2x + 2y − 3 = 0 wokół osi OX, b) y = sin x dla x ∈ h0; πi, y = 0 wokół osi OX, c) xy = 4, y = 0, x = 1, x = 4 wokół osi OX.

5. Obliczyć długość łuku krzywej:

a) y = (x − 1) ^3/2 od punktu A(2, −1) do B(5, −8), b) 2y = x ² − 2 mi edzy punktami przeci _, ecia z osi _, a OX. _,

6. Obliczyć pola powierzchni powstałych przez obrót łuku krzywej:

a) y = x ³ zawartego mi edzy prostymi x = − _, ² ₃ i x = ² ₃ wokół osi OX,

b) y = sin x dla x ∈ h0; πi wokół osi OX.