25 26 Σ
Nazwisko 0
Imię Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr
13
,10.01.2012
, godz. 10.15-11.00 Wykład: J. WróblewskiPODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie
25.
(5 punktów)Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=1
n! · 2n· x3n nn·3nn . Rozwiązanie:
Stosujemy kryterium d’Alemberta:
(n + 1)! · 2n+1· x3n+3
(n + 1)n+1·3n+3n+1 · nn·3nn n! · 2n· x3n
= (n + 1) · 2 · |x|3
(n+1)n+1
nn ·(3n+3)·(3n+2)·(3n+1) (n+1)·(2n+2)·(2n+1)
=
= 2 · |x|3· (n + 1) · (2n + 2) · (2n + 1)
(n+1)n
nn · (3n + 3) · (3n + 2) · (3n + 1)= 2 · |x|3· (n + 1) · 2 · (2n + 1)
1 +1nn· 3 · (3n + 2) · (3n + 1) →8 · |x|3 e · 27 przy n → ∞.
Zatem dany w zadaniu szereg potęgowy jest zbieżny, jeżeli 8 · |x|3
e · 27 < 1 , czyli
|x| <3√3 e 2 , a rozbieżny, jeżeli
8 · |x|3 e · 27 > 1 , czyli
|x| >3√3 e 2 .
Odpowiedź: Dany w zadaniu szereg potęgowy ma promień zbieżności 3√3 e 2 .
Zadanie
26.
(9 punktów)W każdym z czterech poniższych zadań udziel sześciu odpowiedzi TAK/NIE.
W każdym z zadań za udzielenie n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0, n − 4) punktów.
Za udzielenie 24 poprawnych odpowiedzi otrzymasz 9 punktów.
Za całe zadanie 26 nie można uzyskać dokładnie 8 punktów.
26.1 Czy szereg
∞
X
n=1
nk jest zbieżny, jeżeli
a) k = −3/2 TAK b) k = 3/2 NIE
c) k = −1 NIE d) k = 1 NIE
e) k = −1/2 NIE f ) k = 1/2 NIE
26.2 Czy szereg
∞
X
k=1
nk jest zbieżny, jeżeli
a) n = −3/2 NIE b) n = 3/2 NIE
c) n = −1 NIE d) n = 1 NIE
e) n = −1/2 TAK f ) n = 1/2 TAK
26.3 Czy szereg
∞
X
n=1
kn jest zbieżny, jeżeli
a) k = −3/2 NIE b) k = 3/2 NIE
c) k = −1 NIE d) k = 1 NIE
e) k = −1/2 TAK f ) k = 1/2 TAK
26.4 Czy szereg
∞
X
n=1
(−1)n· nk jest zbieżny, jeżeli
a) k = −3/2 TAK b) k = 3/2 NIE
c) k = −1 TAK d) k = 1 NIE
e) k = −1/2 TAK f ) k = 1/2 NIE
