f zmiennejrzeczywistej x orazprzedziału [ x ]=[ − , ] pokazać,żeroz-szerzeniaprzedziałowetejfunkcjimogąbyćróżne.Jakajestwartośćfunkcjiprzedziałowejnatymprzedziale? 3.1Naprzykładzietrzech,matematycznierównoważnychzapisówfunkcji 3Zadania f wpunktach x ,x ,.

3. Dla x = xi(i = 1, 2, . . . , n − 1):

g(xi) = h(xi), zatem

k(xi) = g(xi) + x₀− xi

x_n− x₀ [g(xi) − h(xi)] (15)

= g(xi) − x₀− x_i x_n− x0

· 0

= g(xi)

Ponieważ funkcja g(x) interpoluje funkcję f w węzłach x₀, x₁, . . . , x_n−1, a funkcja h interpoluje funkcję f w węźle xn, zatem na podstawie równań (13), (14) i (15) funkcja k(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x₁, . . . , x_n.

2.4 Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcję f w węzłach x₀, x₁, . . . , x_n−1, a funkcja h jest funkcją taką, że h(xi) = δ_in(0 þ i þ n), to istnieje stała c, dla której funkcja g + ch interpoluje funkcję f w punktach x0, x₁, . . . , x_n

2007, 2008, 2012

Wstęp:

• Symbol Kronecker’a:

δij =

I 1, i= j 0, iÓ= j Dowód.

Oznaczmy przez k(x) następującą funkcję:

k(xi) = g(xi) + c · h(xi) = g(xi) + c · δin

Dla i = 0, 1, . . . , n − 1, wartość symbolu Kronecker’a δinwynosi 0, gdyż i Ó= n, zatem k(xi) = g(xi), z czego wynika, że dla i = 0, 1, . . . , n − 1 funkcja k(x) interpoluje funkcję f w punktach x₀, x₁, . . . , x_n−1.

Być może to po- winno być przez negację, że taka stała nie istnieje i dojść do sprzecz- ności..

Dla i = n, wartość symbolu Kronecker’a δin wynosi 1, a więc k(xn) = g(xn) + c. Ponieważ funkcja k(x) ma interpolować funkcję f(x) w węźle xn, zatem k(xn) = f(xn). Znając wartość funkcji interpolowanej f(x) i funkcji g(x) w węźle xn, można wyliczyć c na podstawie wzoru:

c= f(xn) − g(xn)

Istnieje zatem taka stała c, dla której funkcja k(x) = g(x) + c · h(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x₁, . . . , x_n.

3 Zadania

3.1 Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych zapisów funkcji f zmiennej rzeczywistej x oraz przedziału [x] = [−¹₂,³₂] pokazać, że roz- szerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowej na tym przedziale?

2007p

f(x) = 1

2 − x+ 1

2 + x= 4

4 − x · x = 4

4 − x², |x| < 2 Wstęp:

3.15 Dla jakich wartości a, b funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego

2007, 2008, 2012

S(x) =







(x − 2)³+ a(x − 1)² x∈ (−∞, 2) (x − 2)³− (x − 3)² x∈ [2, 3) (x − 3)³+ b(x − 2)² x∈ [3, ∞)

Z definicji wynika, że funkcja sklejana stopnia trzeciego musi być ciągła i posiadać ciągłe pochodne rzędu 1, 2. Sprawdzenie ciągłości funkcji S(x) i jej pochodnych:

S(2)⁻ = (2 − 2)³+ a(2 − 1)²= a S(2)⁺= (2 − 2)³− (2 − 3)² = −1

a= −1 (27)

S(3)⁻= (3 − 2)³+ (3 − 3)²= 1 S(3)⁺= (3 − 3)³+ b(3 − 2)²= b

b= 1 (28)

Pierwsza pochodna:

S^′(x) =







3(x − 2)²+ 2a(x − 1) x∈ (−∞, 2) 3(x − 2)²− 2(x − 3) x∈ [2, 3) 3(x − 3)²+ 2b(x − 2) x∈ [3, +∞)

S(2)⁻= 3(2 − 2)²+ 2a(2 − 1) = 2a S(2)⁺= 3(2 − 2)²− 2(2 − 3) = −2

a= 1 (29)

Jak widzimy zachodzi sprzeczność, ponieważ z równań 1 i 3 wynika, że

− 1 = a = 1 (30)

co jest oczywistą nieprawdą. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że nie istnieją takie para- metry a i b, dla których funkcja S(x) byłaby funkcją sklejaną trzeciego stopnia.

3.16 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) może być w przedziale [−1, 1) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?

2007, 2008, 2012

S(x) =

I x³ x∈ [−1, 0)

a+ bx + cx²+ dx³ x∈ [0, 1)

• Funkcja ma być naturalną funkcją stopnia trzeciego, zatem 2m − 1 = 3 ⇒ m = 2 (por.

definicja naturalnej funkcji sklejanej 1.6.1). W przedziałach (−∞, −1) i [1, +∞) funkcja ta będzie stopnia m − 1, czyli funkcją liniową.

• Pełny zapis funkcji:

S(x) =











ex+ f x∈ (−∞, −1)

x³ x∈ [−1, 0)

a+ bx + cx²+ dx³ x∈ [0, 1)

gx+ h x∈ [1, +∞)

3. Zamień kolumny macierzy W tak aby s znajdowała się na pozycji (1, 1).

4. Odejmij od każdego z pozostałych wierszy wiersz pierwszy pomnożony przez _w^wi,1

1,1, gdzie ito numer wiersza.

5. Nową macierzą W jest macierz W bez pierwszego wiersza i pierwszej kolumny.

6. Jeżeli otrzymałeś macierz zerową → STOP - brak jednoznacznego rozwiązania.

7. Jeżeli wykonałeś n iteracji utwórz z odrzuconych wierszy, kolumn i etykiet macierz kwadratową o rozmiarze n i przejdź do odczytywanie kolejnych zmiennych.

8. Wróć do punktu 1.

Otrzymujemy macierz górnotrójkątną postaci:

















i₁ i₂ . . . i_n q_1,1 q_1,2 . . . q_1,n

0 q_2,2 . . . q_2,n ... ... ... ...

0 0 . . . q_n,n

















=















 c₁ c₂ ...

c_n

















gdzie i1, i₂, . . . , i_n to zapamiętane przez nas indeksy zmiennych w oryginalnej macierzy, a c₁, c₂, . . . , c_n to przekształcone wyrazy wolne. Wartości zmiennych odczytujemy w następu- jący sposób:

1. Z ostatniego wiersza wyznaczamy

x_in = c_n q_n,n

2. W analogiczny sposób, znając już wartości xi+1, x_i+2, . . . , x_nobliczamy kolejne wartości x_i

x_ia = c_a−^qn_k=a+1(xik· qa,k) q_a,a

1.9 Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio okre- ślona? Jak można zastosować jej rozkład A = LL^T do rozwiązania ukła- du równań liniowych Ax = b?

2006, 2007, 2007p, 2008, 2008p, 2009, 2010p, 2011, 2012

1.9.1 Definicja macierzy dodatnio określonej:

Zespoloną macierz A stopnia n nazywamy dodatnio określoną, gdy:

1. jest macierzą hermitowską, tj. A = A^H( ¯A^T) 2. x^HAx >0 dla wszystkich wektorów x ∈ Cⁿ, xÓ= 0.

Dla rzeczywistej macierzy A stopnia n mamy uproszczone warunki:

A≡ A^T ∧ ∀x ∈ Rⁿ: (x Ó≡ 0 ⇒ x^TAx >0)

1.9.2 Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwiązania układu równań liniowych?

W metodzie Choleskiego rozwiązujemy dwa układy równań liniowych z macierzami trójkąt- nym. Rozkład rzeczywistej macierzy A na iloczyn LL^T wykonujemy na podstawie następu- jących wzorów:

l_k,k = ö õ õ õ ôa_k,k−

k−1Ø

j=1

|l_k,j|², k= 1, 2, . . . , n,

l_i,k = a_i,k−^qk−1_j=1li,jl_k,j¯

l_k,k¯ , i= k + 1, k + 2, . . . , n.

Dla macierzy rzeczywistej wzory upraszczają się:

l_k,k= ö õ õ õ ôa_k,k−

k−1Ø

j=1

l²_k,j, k= 1, 2, . . . , n

l_i,k = ai,k −^qk−1_j=1li,jlk,j

l_k,k i= k + 1, k + 2, . . . , n

Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z przedstawienia macierzy A jako iloczyn LL^T, a następnie iterowania wierszami po kolejnych elementach macierzy L.

Żeby rozwiązać układ równań Ax = LL^Tx = b z taką macierzą wystarczy rozwiązać naj- pierw układ równań z macierzą dolnotrójkątną Ly = b, a następnie układ równań z macierzą górnotrójkątną L^Tx = y (liczby sprzężone zastępujemy odpowiednimi liczbami rzeczywisty- mi).

1.10 W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania ukła- dów równań liniowych? Jakie znasz metody i co możesz o nich po- wiedzieć?

2006, 2007, 2007p, 2008, 2008p, 2008zp, 2009, 2010p, 2011, 2011zp, 2012zp, 2012

Aby skonstruować metodę iteracyjną do rozwiązywania układów równań liniowych Ax = b wystarczy tak dobrać macierz M, by był spełniony warunek zbieżności ̺(M) < 1 i warunek zgodności ¯x = M ¯x + w, gdzie ¯x jest rozwiązaniem układu równań Ax = b. Teoretycznie wystarczy zatem wziąć dowolną macierz M taką, by ρ(M) < 1, a następnie obliczyć wektor w = (I − M)A⁻¹b wynikający z warunku zgodności. Ponieważ wymagałoby to obliczenia wyrażenia A⁻¹b, więc w praktyce postępujemy odwrotnie: przyjmujemy, że wektor w jest równy Nb, gdzie N jest pewną macierzą kwadratową. Z warunku zgodności mamy wówczas M = I − NA i w ten sposób otrzymujemy rodzinę metod iteracyjnych postaci:

x⁽ⁱ⁺¹⁾ = (I − NA)x⁽ⁱ⁾+ Nb

Znane metody opierają się na równości A = L + D + U, gdzie L jest macierzą dolnotrójkątną, Ddiagonalną, a U górnotrójkątną.

metoda Jacobiego

N = D⁻¹ M_J = −D⁻¹(L + U)

Dx⁽ⁱ⁺¹⁾ = −(L + U)x⁽ⁱ⁾+ b, i= 0, 1, 2, . . . metoda Gaussa–Seidla

N = (D + L)⁻¹ M_GS= −(D + L)⁻¹U

Dx⁽ⁱ⁺¹⁾ = −Lx⁽ⁱ⁺¹⁾− U x⁽ⁱ⁾+ b, i= 0, 1, 2, . . .

1.11 Opisać metodę połowienia służącą do określenia znajdowania pier- wiastka równania nieliniowego

2006

Załóżmy, że w przedziale [a, b] równanie f(x) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek i na którego końcach funkcja ma przeciwna znaki tj. f(a)f(b) < 0. W celu znalezienia przybliżonej wartości pierwiastka, dzielimy przedział [a, b] na połowy punktem

x⁽¹⁾ = a+ b 2 .

Jeżeli f(x⁽¹⁾) = 0, to punkt x⁽¹⁾ jest szukanym pierwiastkiem. Jeśli natomiast tak nie jest, to z dwóch przedziałów [a, x⁽¹⁾] i [x⁽¹⁾, b] wybieramy ten, na którego końcach funkcja ma przeciwne znaki. Przedział ten dzielimy na połowy punktem x⁽²⁾, badamy wartość funkcji w punkcie x⁽²⁾ i znaki funkcji na końcach przedziału itd.

Po pewnej liczbie kroków otrzymamy albo pierwiastek dokładny, albo ciąg przedziałów, ta- kich, że:

f(x⁽ⁱ⁾)f(x⁽ⁱ⁺¹⁾) < 0,

gdzie [x⁽ⁱ⁾, x⁽ⁱ⁺¹⁾] oznacza tu i-ty przedział, którego długość wynosi:

|x⁽ⁱ⁺¹⁾− x⁽ⁱ⁾| = 1

2ⁱ(b − a)

Można zauważyć, że lewe końce ciągu przedziałów tworzą ciąg niemalejący i ograniczony z góry, a prawe końce - ciąg nierosnący i ograniczony z dołu, więc wynika z tego, że istnieje ich wspólna granica, która jest szukanym pierwiastkiem

1.12 Opisać metodę regula-falsi służącą do wyznaczania pierwiastka rów- nania nieliniowego f(x) = 0.

2006, 2007, 2007p, 2008,

2009, 2011, 2012 Załóżmy, że w przedziale [a, b] równanie f(x) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek, a funkcja f ma na końcach tego przedziału przeciwne znaki. Załóżmy ponadto, że f ∈ C²[a, b] (prze- strzeń funkcji ciągłych wraz z pochodnymi do rzędu drugiego) oraz że pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji f mają stąły znak w tym przedziale. Przy takich założeniach funkcja może mieć jedną z czterech postaci:

Pierwsza pochod- na mówi nam o tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca, druga czy wklęsła czy tez wypukła

1. rosnąca + wklęsła 2. rosnąca + wypukła 3. malejąca + wklęsła 4. malejąca + wypukła

Pokażemy przykład f^′(x), f^′′(x) > 0 (w pozostałych przypadkach jest analogicznie). Przez punkty A(a, f(a)) oraz B(b, f(b)) poprowadzimy cięciwę o równaniu :

y− f (a) = f(b) − f(a)

b− a (x − a).

Stąd

x⁽¹⁾ = a − f(a)

f(b) − f(a)(b − a).

Teraz musimy przeanalizować wyniki. Jeśli f(x⁽¹⁾) = 0, to liczba x⁽¹⁾ jest szukanym pier-

rzędna - y

wiastkiem. Jeśli natomiast f(x⁽¹⁾) Ó= 0 to przez punkt C(x⁽¹⁾, f(x⁽¹⁾)) oraz ten z punktów A i B, którego rzędna ma przeciwny znak niż f(x⁽¹⁾) prowadzimy następną cięciwę itd.

3.24.2 Rozwiązanie p₀(x) = x³− 2x²− 5x + 5 p₁(x) = −3x²+ 4x + 5

−¹₃x + ²₉

− 3x²+ 4x + 5^" x³ − 2x² − 5x + 5

− x³+⁴₃x² +⁵₃x

−²₃x²− ¹⁰₃x + 5

2

3x² −⁸₉x−¹⁰₉

− ³⁸₉x+³⁵₉ p₂(x) = 38x − 35

−₃₈³x+ ₁₄₄₄⁴⁷ 38x − 35^"− 3x² + 4x + 5

3x²− ¹⁰⁵₃₈x

47

38x + 5

−⁴⁷₃₈x+ ¹⁶⁴⁵₁₄₄₄

8865 1444

p₃(x) = −1

3.24.3 Zmiany znaków

x 0 inf

p₀(x) + + p₁(x) + - p₂(x) - + p₃(x) - -

3.24.4 Liczba pierwiastków w x= 0

Z uwagi na fakt, że musimy znaleźć liczbę pierwiastków dodatnich, bierzemy pod uwagę przedział (0, inf). Nie jest to jednak zgodne z treścią zadania, gdyż 0 nie jest dodatnie.

Zatem musimy sprawdzić, czy w 0 jest jakiś pierwiastek i ewentualnie odjąć go od końcowego wyniku.

w(0) = 0 5 Ó= 0 Brak pierwiastków w punkcie 0.

3.24.5 Liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych

|3 − 1| − 0 = 2

3.25 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby pierwiastków rze- czywistych wielomianu.

2007, 2008, 2008p, 2010p,

p(x) = x³+ x²− x − 1 2012

3.25.1 Rozwiązanie:

p₀(x) = x³+ x²− x − 1

p₁(x) = −p^′₀(x) = −3x²− 2x + 1

−¹₃x−¹₉

− 3x²− 2x + 1^" x³ + x² − x − 1

− x³−²₃x²+¹₃x

1

3x²−²₃x − 1

−¹₃x²−²₉x+¹₉

−⁸₉x−⁸₉ p₂(x) = x + 1

3x − 1 x+ 1^" 3x²+ 2x − 1

− 3x²− 3x

− x − 1 x+ 1 0 Resztą z dzielenia wielomianów jest 0 - uważny czytelnik może zatem zaobserwować, iż wielomian początkowy ma co najmniej jeden pierwiastek podwójny. Jest to problem, który musimy rozwiązać, aby otrzymać wynik metodą Sturma. Będziemy postępować następująco:

• Podzielimy wielomian wejściowy przez ostatnią niezerową resztę z dzielenia wielomia- nów

• Rozpoczniemy liczenie metodą Sturma dla wielomianu będącego wynikiem dzielenia powyższych wielomianów

• W przypadku, kiedy napotkamy resztę z dzielenia równą 0, wykonujemy dzielenia po- nownie.

• UWAGA: To, iż reszta z dzielenia jest równa 0 nie oznacza jednego pierwiastka podwój- nego. Może być ich więcej, tego nie wiemy.

x² − 1 x+ 1^" x³+ x²− x − 1

− x³− x²

− x − 1 x+ 1 0 p₀(x) = x²− 1

p₁(x) = −2x

−¹₂x

− 2x^" x² − 1

− x²

Latex tutaj nie ogarnął, dlatego musimy uwierzyć Wolframowi na słowo, że resztą z tego dzielenia jest: −1

p₂(x) = 1

3.25.2 Zmiany znaków:

x − inf inf p₀(x) + + p₁(x) + - p₂(x) + +

3.25.3 Liczba pierwiastków rzeczywistych:

|2 − 0| = 2 w tym co najmniej jeden podwójny

3.26 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby ujemnych pier- wiastków rzeczywistych wielomianu:

2009,2011

p(x) = 12x³− 16x²+ 7x − 1

3.26.1 Rozwiązanie:

p₀(x) = 12x³− 16x²+ 7x − 1 p₁(x) = −36x²+ 32x − 7

−¹₃x+₂₇⁴

− 36x²+ 32x − 7^" 12x³− 16x² + 7x − 1

− 12x³+ ³²₃x² −⁷₃x

− ¹⁶₃x² + ¹⁴₃x − 1

16

3x²−¹²⁸₂₇x+²⁸₂₇

− ₂₇²x+₂₇¹ p₂(x) = 2x − 1

− 18x + 7 2x − 1^"− 36x²+ 32x − 7

36x²− 18x 14x − 7

− 14x + 7 0 Otrzymaliśmy resztę z dzielenia równą 0, co oznacza że istnieje przynajmniej jeden pierwiastek podwójny.