3. Dla x = xi(i = 1, 2, . . . , n − 1):
g(xi) = h(xi), zatem
k(xi) = g(xi) + x0− xi
xn− x0 [g(xi) − h(xi)] (15)
= g(xi) − x0− xi xn− x0
· 0
= g(xi)
Ponieważ funkcja g(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn−1, a funkcja h interpoluje funkcję f w węźle xn, zatem na podstawie równań (13), (14) i (15) funkcja k(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn.
2.4 Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn−1, a funkcja h jest funkcją taką, że h(xi) = δin(0 þ i þ n), to istnieje stała c, dla której funkcja g + ch interpoluje funkcję f w punktach x0, x1, . . . , xn
2007, 2008, 2012
Wstęp:
• Symbol Kronecker’a:
δij =
I 1, i = j 0, i Ó= j Dowód.
Oznaczmy przez k(x) następującą funkcję:
k(xi) = g(xi) + c · h(xi) = g(xi) + c · δin
Dla i = 0, 1, . . . , n − 1, wartość symbolu Kronecker’a δinwynosi 0, gdyż i Ó= n, zatem k(xi) = g(xi), z czego wynika, że dla i = 0, 1, . . . , n − 1 funkcja k(x) interpoluje funkcję f w punktach x0, x1, . . . , xn−1.
Być może to po- winno być przez negację, że taka stała nie istnieje i dojść do sprzecz- ności..
Dla i = n, wartość symbolu Kronecker’a δin wynosi 1, a więc k(xn) = g(xn) + c. Ponieważ funkcja k(x) ma interpolować funkcję f (x) w węźle xn, zatem k(xn) = f (xn). Znając wartość funkcji interpolowanej f (x) i funkcji g(x) w węźle xn, można wyliczyć c na podstawie wzoru:
c = f (xn) − g(xn)
Istnieje zatem taka stała c, dla której funkcja k(x) = g(x) + c · h(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn.
3 Zadania
3.1 Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych zapisów funkcji f zmiennej rzeczywistej x oraz przedziału [x] = [−12,32] pokazać, że roz- szerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowej na tym przedziale?
2007p
f (x) = 1
2 − x+ 1
2 + x= 4
4 − x · x = 4
4 − x2, |x| < 2 Wstęp:
• f[] - oznaczenia rozszerzenia przedziałowego funkcji
• Jeżeli mamy kilka równoważnych zapisów matematycznych, to funkcję przedziałową należy wyznaczyć z wyrażenia, w którym x występuję namniejszą liczbę razy
• é[x]ê = min {|x| : x ∈ [x]}
• |[x]| = max {|x| : x ∈ [x]}
• [x]2 =èé[x]ê2, |[x]|2é Rozwiązanie:
f[](1)([x]) = 1
2 −è−12,32é+ 1
2 +è−12,32é = 1 è1
2,52é+ 1 è3
2,72é
= 52
5, 2 6
+ 52
7,2 3 6
= 524
30,8 3
6 (16)
f[](2)([x]) = 4
4 −è−12,32é·è−12,32é = 4 4 −è−34,94é
= 4
è7
4,194é = [4, 4] · 5 4
19,4 7 6
= 516
19,16 7
6 (17)
f[](3)([x]) = 4 4 −è−12,32é2
= 4
4 −è0,94é
= 4
è7
4, 4é = [4, 4] · 51
4,4 7 6
= 5
1,16 7
6 (18)
Wartość funkcji przedziałowej odpowiada wartości jej rozszerzenia przedziałowego danego równaniem (18).
3.2 W arytmetyce przedziałowej dla dowolnych przedziałów [x], [y] i [z]
prawdziwe jest zawieranie
[x] · ([y] + [z]) ⊆ [x] · [y] + [x] · [z]
Podaj przykład takich przedziałów [x], [y] i [z], aby w powyższej zależ- ności przedział lewostronny był całkowicie zawarty w przedziale pra- wostronnym.
2007p, 2008, 2009, 2011 Ważne! Końce przedziałów nie mogą być so- bie równe (ani jeden)!
Wstęp:
[a] = [a, a]
[a] + [b] = [a + b, a + b]
[a] · [b] =èminîa · b, a · b, a · b, a · bï, maxîa · b, a · b, a · b, a · bïé [a]/[b] = [a] ·
51 b,1
b 6
, 0 /∈ [b]
Rozwiązanie:
Przyjmując:
[x] = 5
−1, −1 2 6
[y] = [1, 2]
• Znormalizowane pochodne:
rząd wartość 1 −221 = −1 2 1622 = 4 3 283 = 1
3.10 Za pomocą algorytmu Neville’a znaleźć wartość wielomianu interpo- lacyjnego w punkcie x = 12, który w punktach 0,1,2 przyjmuje wartości odpowiednio 1,1,3.
2006, 2007p
Wstęp:
• Pi0= f (xi) W mianowniku
różnica mię- dzy skrajnymi węzłami
•
Pik = (x − xi−k)Pi,k−1− (x − xi)Pi−1,k−1 xi− xi−k
= Pi,k−1+Pi,k−1− Pi−1,k−1
x−xi−k
x−xi − 1 , 1 þ k þ i, i = 0, 1, . . . Rozwiązanie:
k = 0 k = 1 k = 2
i xi Pi0 = f (xi) Pi1 Pi2
0 0 P00= 1
> P11= 1−01 = 1
1 1 P10= 1 > P22=
3 2
2−0 = 34
> P21= 2−10 = 0 2 2 P20= 3
Przykład:
P11= 11
2 − x02· P10−112 − x12· P00
x1− x0 =
1
2 · 1 −1−122· 1
1 = 1
Ostatecznie L21122= 34
3.11 Dane są wartości f (0) = −1, f′(0) = −2, f (1) = 0, f′(1) = 10, f ”(1) = 40.
Znaleźć wielomian interpolacyjny Hermite’a.
2005
Wstęp:
• Oznaczenia
– n - stopień wielomianu Hermite’a
– mi - krotność i-tego węzła (i = 0, 1, . . . , n) (czyli ile ma zdefiniowanych pochod- nych)
– k + 1 - ilość węzłów – zobacz również 1.3
1.2.3 Dowód - zbędne na egzaminie
Niech x0, x1, . . . , xn będą węzłami interpolacji funkcji f takie, że znane są wartości f (x0) = y0, f (x1) = y1, . . . , f (xn) = yn Można zdefiniować funkcję li:
li(x)def= Ùn
j=0
jÓ=i
x − xj
xi− xj, i = 0, 1, . . . , n
są to wielomiany stopnia n, takie że δij - symbol Kro-
necker’a
li(xj) = δij =
I1 dla i = j 0 dla i Ó= j Stąd wynika, że
Ln(x) = Øn
i=0
f (xi)li(xi) = Øn
i=0
f (xi) Ùn
j=0
jÓ=i
x − xj
xi− xj
(1)
jest wielomianem stopnia co najwyżej n przyjmującym w węzłach interpolacyjnych xi war- tości f (xi), co dowodzi istnienia rozwiązania. Wzór (1) nazywamy wzorem interpolacyjnym Lagrange’a.
1.2.4 Wykazanie jednoznaczności rozwiązania
Załóżmy, że istnieją dwa tożsamościowo różne wielomiany L1n(x) i L2n(x) stopnia n, przyj- mujące w węzłach x0, x1, . . . , xn takie same wartości. Niech L3n(x) = L1n(x) − L2n(x) będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej n (co wynika z własności odejmowania wielomia- nów). (*)
Ponieważ L1n(x) i L2n(x) w węzłach xi : i ∈ 0, 1, . . . , n interpolują tę samą funkcję, to L1n(xi) = L2n(xi), a więc L3n(xi) = 0 (węzły interpolacji są pierwiastkami L4n(x)). Ale każdy niezerowy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że L3n(x) ma n+1 pierwiastków, to L3n(x) musi być wielomianem tożsamościowo równym zeru. A ponieważ
L3n(x) = L1n(x) − L2n(x) ≡ 0 to
L1n(x) ≡ L2n(x) co jest sprzeczne z założeniem, że L1n(x) i L2n(x) są różne.
1.3 Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite’a. Co można o nim po- wiedzieć?
2006, 2007, 2007p, 2008, 2008z, 2009, 2011, 2011z, 2012z, 2012
Zadanie interpolacyjne Hermite’a polega na znalezieniu dla danej funkcji f oraz k + 1 węzłów x0, x1, . . . , xk wielomianu Hn stopnia nie większego niż n, takiego że
Hn(j)(xi) = f(j)(xi), i = 0, 1, . . . , k; j = 0, 1, . . . , mi− 1 (2) czyli że w węzłach interpolacji pochodne rzędu j tego wielomianu są równe pochodnym funkcji intepolowanej, przy czym
Øk
i=0
mi= n + 1, mi∈ N Liczbę mi nazywamy krotnością węzła xi.
Właściwości:
• Jeżeli ∀0þiþkmi = 1, to interpolacja Hermite’a sprowadza się do interpolacji Lagrange’a.
• Zadanie interpolacyjne Hermite’a (2) ma jednoznaczne rozwiązanie.
1.4 Sformułować zadanie interpolacji wymiernej. Co można o nim powie- dzieć?
1.4.1 Sformułowanie zadania.
2005
Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej Wmn postaci
Wmn(x) = qm
k=0akxk qn
k=0bkxk,
w której stopień licznika jest równy co najwyżej m, a stopień mianownika - co najwyżej n, spełniającej dla danych węzłów xii wartości funkcji w tych węzłach f (xi)(i = 0, 1, . . . , m + n) warunki
Wmn(xi) = f (xi).
1.4.2 Co można o nim powiedzieć?
Zadanie interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwiązalne.
Prawie każde rozwiązanie powyższego układu jest rozwiązaniem układu Øm
k=0
akxki − f (xi) Øn
k=0
bkxki = 0, i = 0, 1, . . . , m + n
1.5 Sformułować zadanie interpolacji trygonometrycznej. Co można o nim powiedzieć?
2006
1.5.1 Sformułowanie zadania.
Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu dla danej funkcji okresowej f o okresie 2π wielomianu trygonometrycznego:
Tn(x) = β0+ β1exi+ β2e2xi... + βn−1e(n−1)xi, (3) eαi = cos α + i sin α (wzór Eulera; i oznacza jednostkę urojoną), takiego że:
Tn(xk) = f (xk), k = 0, 1, ..., n − 1. (4) Funkcja f jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach zespolonych. Współczynniki βk w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
1.5.2 Co można o nim powiedzieć?
Jeżeli dana jest funkcja g o okresie T , tj. g(y + T ) = g(y), to dokonując zmiany zmiennej według zależności x = 2πT y otrzymamy f (x) = g(yT2π), a więc funkcję okresową o okresie 2π.
Bez zmniejszania ogólności możemy zatem rozważać tylko funkcje o okresie 2π.
Istnieje dokładnie jeden wielomian (3) spełniający warunki (4)
Znalezienie współczynników sprowadza się zatem do rozwiązania układu równań liniowych:
2 w1 0 · · · · · · · 0 u1
u2 2 w2 0 · · · · · · · · · 0 0 u3 2 w3 · · · · · · · · · 0 ... ... ... ... . .. ... ... ... 0 · · · un−1 2 wn−1 wn 0 · · · · 0 un 2
c1
c2 c3 ... cn−1
cn
=
v1
v2 v3 ... vn−1
vn
gdzie
un= hn−1 hn−1+ h0 wn= h0
hn−1+ h0
vn= 3
hn−1+ h0
3f (x1) − f (xn)
h0 −f (xn) − f (xn−1) hn−1
4
a pozostałe wielkości ui, wi i vi (i = 1, 2, . . . , n − 1) są określone jak w (10), (11) i (12) Macierz ta jest macierzą zbliżoną do trójdiagonalnej, różni się od niej jedynie o niezerowe elementy u1 i wn. W celu rozwiązania takiego układu równań, macierz można rozłożyć na iloczyn LU np. metodą eliminacji Gaussa. Chcąc rozwiązać układ równań Ax = d, wystarczy rozwiązać kolejno dwa układy równań Ly = d i U x = y.
1.8 Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu pod- stawowego.
2005, 2006, 2007, 2007p, 2008, 2008z, 2011, 2011z, 2012z, 2012
Algorytm eliminacji Gaussa jest algorytmem rozwiązywania układu n równań z n niewiado- mymi.
Układ równań
a1,1x1+ a1,2x2+ · · · + a1,nxn= b1 a2,1x1+ a2,2x2+ · · · + a2,nxn= b2
. . .
an,1x1+ am,2x2+ · · · + an,nxn= bn
przekształcany jest do postaci A(1)x = b(1)
a1,1 . . . a1,n ... ... ... an,1 . . . an,n
x1
... xn
=
b1
... bn
Przed wykonaniem algorytmu dla wygody warto kolumny podpisać kolejnymi zmiennymi, a wiersze wyrazami wolnymi. Ułatwia to orientację w zmianach w układzie równań podczas zamiany kolumn (zmiana kolejności zmiennych) oraz wierszy (zmiana kolejności wyrazów wolnych). Wyrazy wolne podlegają tym samym operacjom co reszta macierzy.
Algorytm zaczynamy od macierzy W = A;
1. W macierzy W znajdź element s o maksymalnej wartości bezwzględnej.
2. Zamień wiersze macierzy W tak aby s znajdowała się w pierwszym wierszu.
3. Zamień kolumny macierzy W tak aby s znajdowała się na pozycji (1, 1).
4. Odejmij od każdego z pozostałych wierszy wiersz pierwszy pomnożony przez ww1i,1
,1, gdzie i to numer wiersza.
5. Nową macierzą W jest macierz W bez pierwszego wiersza i pierwszej kolumny.
6. Jeżeli otrzymałeś macierz zerową → STOP - brak jednoznacznego rozwiązania.
7. Jeżeli wykonałeś n iteracji utwórz z odrzuconych wierszy, kolumn i etykiet macierz kwadratową o rozmiarze n i przejdź do odczytywanie kolejnych zmiennych.
8. Wróć do punktu 1.
Otrzymujemy macierz górnotrójkątną postaci:
i1 i2 . . . in
q1,1 q1,2 . . . q1,n 0 q2,2 . . . q2,n ... ... . .. ... 0 0 . . . qn,n
=
c1 c2 ... cn
gdzie i1, i2, . . . , in to zapamiętane przez nas indeksy zmiennych w oryginalnej macierzy, a c1, c2, . . . , cn to przekształcone wyrazy wolne. Wartości zmiennych odczytujemy w następu- jący sposób:
1. Z ostatniego wiersza wyznaczamy
xin = cn qn,n
2. W analogiczny sposób, znając już wartości xi+1, xi+2, . . . , xnobliczamy kolejne wartości xi
xia = ca−qnk=a+1(xik· qa,k) qa,a
1.9 Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio okre- ślona? Jak można zastosować jej rozkład A = LLT do rozwiązania ukła- du równań liniowych Ax = b?
2006, 2007, 2007p, 2008, 2008p, 2009, 2010p, 2011, 2012
1.9.1 Definicja macierzy dodatnio określonej:
Zespoloną macierz A stopnia n nazywamy dodatnio określoną, gdy:
1. jest macierzą hermitowską, tj. A = AH( ¯AT) 2. xHAx > 0 dla wszystkich wektorów x ∈ Cn, x Ó= 0.
Dla rzeczywistej macierzy A stopnia n mamy uproszczone warunki:
A ≡ AT ∧ ∀x ∈ Rn: (x Ó≡ 0 ⇒ xTAx > 0)
1.9.2 Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwiązania układu równań liniowych?
W metodzie Choleskiego rozwiązujemy dwa układy równań liniowych z macierzami trójkąt- nym. Rozkład rzeczywistej macierzy A na iloczyn LLT wykonujemy na podstawie następu- jących wzorów:
1.16 Opisać metodę numerycznego wyznaczania macierzy A−1
2007, 2008, 2009, 2011, 2012
Do wyznaczania macierzy A−1 stosuje się metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego. Algorytm składa się z dwóch etapów:
1. wyznaczamy rozkład LU macierzy A (uwzględniając ewentualne przestawienia wierszy macierzy A)
2. rozwiązujemy n razy układ równań
LU x(i) = e(i), i = 1, 2, . . . , n gdzie e(i) oznacza i-ty wersor w przestrzeni Rn, tj.
e(i) = [0, . . . , 1 üûúý
i-ta pozycja
, . . . , 0]T
Rozwiązania x(i) są kolumnami macierzy A−1, przy czym należy ustawić je w kolejności wynikającej z przestawień wierszy macierzy. Można też równocześnie rozwiązywać n układów równań z prawymi stronami równymi e(i) (i = 1, 2, . . . , n).
1.17 Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami.
W jaki sposób można rozwiązać powstały układ Haara? W jakim przypadku zagadnienie to jest interpolacją wielomianową?
Rozwiązanie: W aproksymacji średniokwadratowej dla funkcji F (x) określonej na przedziale 2007p, 2009, 2011, 2012
[a,b] minimalizujemy ||F (x) − f (x)||, czyli szukamy minimum całki:
||F (x) − f (x)|| = Úb
a
w(x)[F (x) − f (x)]2dx
gdzie: w(x) jest funkcją wagową F (x) jest funkcją aproksymowaną
f (x) jest funkcją aproksymującą
natomiast dla funkcji F (x) danej na dyskretnym zbiorze argumentów będziemy poszukiwać minimum sumy:
||F (x) − f (x)|| = Øm
i=0
w(xi)[F (xi) − f (xi)]2 przy czym w(xi) ÿ 0 dla i = 0, 1, ..., m Niech:
1. funkcja y = F (x) przyjmuje na pewnym zbiorze X=x0, x1, ..., xm wartości y0, y1, ..., ym
2. ϕi(x), i = 0, 1, ..., n oznacza układ funkcji bazowych podprzestrzeni Xn+1
Poszukujemy takiej funkcji f (x), która będzie najlepszym przybliżeniem średniokwadroto- wym funkcji F (x) na zbiorze X tj. funkcji:
f (x) = Øm
i=0
aiϕi(x)
ai są tak określone, by minimalizować
Przyjmijmy:
H(a0, a1, ..., an) = Øm
j=0
w(xj)[F (xj) − Øn
i=0
aiϕi(xj)]2 = Øm
j=0
w(xj)R2j
Obliczamy współczynniki ai:
∂H
∂ak = −2 Øm
j=0
w(xj)[F (xj) − Øn
i=0
aiϕi(xj)]ϕk(xj) = 0
Otrzymaliśmy w ten sposób układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi aizwany ukła- dem normalnym. Jeżeli jako funkcje bazowe przyjmiemy ciąg jednomianów xi (i = 0, 1, ..., n) to po przekształceniach otrzymamy wówczas układ normalny w postaci:
Øn
i=0
αikai = βk
Objaśnienie do powyższych wzorów:
w(x) jest ustalona z góry i taka, że w(xj) > 0 dla j = 0, 1, ..., m Rj - odchylenie w punkcie xj
k = 0, 1, ..., n
αik =qmj=0xi+kj , βk=qmj=0F (xj)xkj Jeżeli:
1. n þ m i punkty x0, x1, ..., xn są różne, to wyznacznik układu jest różny od zera, a więc układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie
2. n = m, to wielomian aproksymacyjny f (x) pokrywa się z wielomianem interpolacyjnym dla punktów x0, x1, ..., xn i wówczas H = 0
2 Dowody
2.1 Wykazać, że jeśli x oznacza liczbę maszynową, to dla dowolnego natu- ralnego k jest f l(xk) = xk(1 + ε)k−1, gdzie |ε| < eps.
2009, 2011
Wstęp:
• f l(α) oznacza wartość wyrażenia α w arytmetyce zmiennopozycyjnej,
• eps oznacza dokładność maszynową.
Dowód indukcyjny.
1. Dla k = 1:
wartość wyr. w ar. zm. dla l.
maszynowej to ta liczba
f l(x) = x Dla k = 2 z definicji wynika, że:
f l(x2) = f l(x · x) = (x · x)(1 + ε) = x2(1 + ε) 2. Jeżeli przyjmiemy, że f l(xk−1) = xk−1(1 + ε)k−2 to:
f l(xk) = f l(xk−1· x) = (f l(xk−1) · x)(1 + ε) = xk−1(1 + ε)k−2x(1 + ε) = xk(1 + ε)k−1 Wniosek: na mocy zasady indukcji matematycznej można stwierdzić, że podane twierdzenie jest prawdziwe.
Podstawiamy do wzoru:
x(1) = C0
1 D
−
C 0 13
−12 0 D
· C−1
−1 D
= C1
3 1 2
D
Obliczamy Df (x(1)):
Df (x(1)) =
C 8x1= 8 ·13 = 83 −2x2= (−2) · 12 = −1 4x22− 1 = 4 · (12)2− 1 = 0 8x1x2 = 8 ·13·12 = 43
D
Df (x(1))−1= C8
3 −1
0 43 D−1
= C3
8 9
32
0 34 D
Obliczamy f (x(1)):
f (x(1)) =
C 4x21− x22 = 4 · (13)2− (12)2 = 367 4x1x22− x1− 1 = 4 ·31 · (12)2−13 − 1 = −1
D
Podstawiamy do wzoru:
x(2)= C1
3 1 2
D
− C3
8 9
32
0 34 D
· C 7
−136
D
= C13
24 5 4
D
W ten oto sposób wykonaliśmy dwie iteracje w metodzie Newtona.
3.29 Stosując metodę Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawo- wego, wyznaczyć macierz A−1.
2007p
A =
1 0 1 3 3 0 0 2 2
Zgodnie z podanym algorytmem w pierwszym etapie rozkładamy macierz A na iloczyn LU . Najpierw wykonujemy przestawienia wierszy (numery wierszy będziemy zapisywać w oddziel- nej kolumnie). Mamy zatem:
1 0 1 3 3 0 0 2 2
1 2 3
Po przestawieniu wierszy, tak aby element a11 był największym z pierwszej kolumny, ma-
my:
3 3 0 1 0 1 0 2 2
2 1 3
Następnie stosujemy metodę eliminacji Gaussa pierwszej zmiennej z drugiego i trzeciego rów- nania za pomocą mnożników l21= 13 i l31 = 03 = 0 otrzymujemy macierz (w miejscu współ- czynników zmiennych, które eliminujemy zamiast zera wpisujemy mnożnik). Zatem
3 3 0
1 −13 · 3 0 −13 · 3 1 −13 · 0 0 − 0 · 3 2 − 0 · 3 2 − 0 · 0
=
3 3 0
1
3 −1 1
0 2 2
2 1 3
Analogicznie dla drugiej zmiennej - zamieniamy wiersze
3 3 0
0 2 2
1
3 −1 1
2 3 1
i odejmujemy drugi wiersz pomnożony przez −12
3 3 0
0 2 2
1
3 −1 + 12 · 2 1 +12 · 2
=
3 3 0
0 2 2
1
3 −12 2
2 3 1
Rozbijamy wynikową macierz na macierz dolnotrójkątną L i górnotrójkątną U .
L =
1 0 0
0 1 0
1
3 −12 1
, U =
3 3 0 0 2 2 0 0 2
W drugim etapie rozwiązujemy równania
LU x(i) = e(i), i = 1, 2, 3 Dla i = 1 równania te mają postać
1 0 0
0 1 0
1
3 −12 1
·
3 3 0 0 2 2 0 0 2
· x(1)=
3 3 0 0 2 2 1 0 1
· x(1)=
1 0 0
Otrzymamy
x(1) =
1 6 1 6
−16
, x(2) =
−14
1 4 1 4
, x(3) =
1 2
−12
1 2
Numer 1 w wektorze przestawień
2 3 1
zajmuje trzecią pozycję, więc jako pierwszą kolumnę macierzy A−1należy przyjąć x(3). Numer 2 znajduje się na pierwszej pozycji, więc drugą kolumną macierzy A−1 jest x(1). Wreszcie, numer 3 zajmuje drugą pozycję, zatem trzecią kolumną jest x(2). Ostatecznie otrzymuje- my
A−1 =
1
2 1
6 −14
−12 16 14
1
2 −16 14
3.30 Znaleźć przybliżenie funkcji F (x) = sin(x) na przedziale [0,π2] wielo- mianem stopnia drugiego (wskazówka: przyjąć x0 = π2 ). Jaki jest błąd aproksymacji?
2007p, 2008, 2008p, 2010p
Rozwiazanie:
Wzór Taylora
Wn(x) = F (x0) +F′(x0)
1! (x − x0) + F′′(x0)
2! (x − x0)2+ ... +Fn(x0)
n! (x − x0)n
