WPŁYW PARAMETRÓW KUL NA EFEKTYWNOŚĆ SYNCHRONICZNEGO ELIMINATORA DRGAŃ J

43, s. 185-192, Gliwice 2012

WPŁYW PARAMETRÓW KUL NA EFEKTYWNOŚĆ SYNCHRONICZNEGO ELIMINATORA DRGAŃ

J

M

, S

P

AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Mechaniki i Wibroakustyki e-mail: michalcz@agh.edu.pl, spakula@agh.edu.pl.

Streszczenie. Zbadano wpływ masy, liczby kul i ich własności tarciowych w synchronicznym eliminatorze drgań na jego skuteczność. Do budowy modelu przyjęto płaski układ korpusu maszyny z bębnem wypełniony jednowarstwowym zestawem kul. Na podstawie dokonanych symulacji wyznaczono charakterystyki amplitudowe w stanach ustalonych. Pokazują jak optymalnie dobrać parametry kul w celu uzyskania jak najwyższej efektywności eliminatora.

1. WSTĘP

Istnieje wiele rozwiązań mających na celu eliminację drgań pochodzących od maszyn [1].

Wśród nich wyróżnia się grupy eliminatorów drgań: pasywnych, półaktywnych oraz aktywnych. Eliminatory półaktywne oraz aktywne pracują zwykle w pętli sprzężenia zwrotnego i umożliwiają ciągłą regulację parametrów pracy urządzenia. Wymaga to zastosowania odpowiednich czujników, zewnętrznego źródła zasilania oraz dodatkowych elementów generujących siły. Pasywne eliminatory drgań są pozbawione tych wad, jednak sprawdzają się wyłącznie wtedy, gdy parametry pracy urządzenia generującego drgania są stałe. Zalety każdej z tych grup posiadają synchroniczne eliminatory drgań [2],[3].

Przedstawiono model matematyczny maszyny wirnikowej wraz z synchronicznym eliminatorem drgań. Utworzony model posłużył następnie do utworzenia symulacji rozruchu maszyny aż do osiągnięcia stanu ustalonego. Symulacje przeprowadzano, zmieniając kolejno:

liczbę kul znajdujących się w bębnie, łączną masę kul oraz parametry tarciowe kul. W ten sposób udało się określić wpływ każdego z tych parametrów na efektywność eliminatora.

Otrzymane wyniki pozwalają na określenie optymalnego doboru parametrów kul.

2. BUDOWA I ZASADA DZIAŁANIA SYNCHRONICZNEGO ELIMINATORA DRGAŃ Schemat budowy eliminatora drgań przedstawiono na rys. 1. Pokazano na nim wibroizolowaną maszynę wirnikową o niewyważonym statycznie wirniku. Wirnik może posiadać stałe lub wolnozmienne niewyważenie i wirować ze zmienną prędkością kątową.

h

H



b, b

m J

k, k

m J

a a

e 

O

i

( , )x y_{i i}

2 2

x x

k b

2 2

y y

k b

Środek masy

niewyważonego wirnika

Środek masy korpusu

Bęben

Korpus maszyny

Elementy sprężysto-tłumiące

y

x

Rys.1. Schemat budowy i zastosowania synchronicznego eliminatora drgań

Korpus maszyny jest podparty elementami sprężysto-tłumiącymi. W korpusie znajduje się silnik napędowy wirnika np. typu asynchronicznego. W celu redukcji drgań maszyny i efektywniejszego zmniejszenia sił przekazywanych na podłoże do wirnika zamocowano bęben eliminatora zawierający jednowarstwowy zestaw swobodnych kul. Na skutek ruchu wirującego niewyważonego wirnika układ korpus maszyny - bęben wprawiany jest w drgania.

Podczas rozruchu maszyny kule w bębnie zaczynają się przemieszczać. Po przekroczeniu częstości rezonansowej układu maszyna – układ podparcia sprężystego kule układają się samoczynnie w taki sposób, aby ich siły bezwładności redukowały siłę bezwładności wirnika zgodnie z równaniem (1), gdzie n oznacza liczbę kul znajdujących się w bębnie, a F0i, siłęoddziaływania i-tej kuli na bęben.

0 1

0

n

b i

i

F F







W tym stanie drgania układu zmierzają do zera. Zasadę działania synchronicznego eliminatora drgań dla dwóch kul przedstawiono na rys. 2. W praktyce opory związane z tarciem uniemożliwiają precyzyjne ustawienie się kul. Wówczas siły bezwładności nie są całkowicie redukowane do zera. Efektem tego jest tylko częściowe wyważenie maszyny. Jako miarę skuteczności wyrównoważenia przyjęto amplitudę drgań korpusu w stanie ustalonym na kierunku poziomym. Założono, że wszystkie kule znajdujące się w bębnie maszyny są jednakowe i wykonane ze stali o gęstości γ = 7800 [kg / m³].

F01

F02

Fb 

Rys.2. Zasada pracy synchronicznego eliminatora drgań

3. MODEL MATEMATYCZNY

Przyjęto płaski układu korpusu maszyny - bębna. W tabeli 1 zamieszczono opis współrzędnych układu, a w tabeli 2 przedstawiono parametry modelu i przyjęte wartości.

Niektóre parametry kuli, takie jak: masa, promień oraz moment bezwładności, przyjmują wartości zależne od łącznej masy kul oraz liczby kul. Zależność ta wyrażona jest we wzorach (2).

Wszystkie współrzędne określone są względem nieruchomego układu współrzędnych (x,y).

Początek tego układu przyjęto w środku geometrycznym bębna w stanie równowagi statycznej przed umieszczeniem kul. Kąty obrotu mierzone są względem poziomej osi x.

 

3

2

(3 / 4) / 2 / 5

i i

i i

i i i

m m

r m

J m r

 

 





(2)

Tabela 3. Wykaz współrzędnych

Symbol Jednostka Opis

φ [rad] kąt obrotu bębna

α [rad] kąt obrotu korpusu

x0, y0 [m] współrzędne środka geometrycznego bębna xi, yi,φi [m] współrzędne liniowe i kątowe i-tej kuli

Tabela 4. Parametry modelu

Symbol Wartość Jednostka Opis

mk 100 [kg] masa korpusu

mb 20 [kg] masa bębna

Jk 50 [kg m²] moment bezwładności korpusu

Jb 3 [kg m²] moment bezwładności bębna

kx 32500 [N/m] stała sprężystości sprężyn na kierunku x ky 75000 [N/m] stała sprężystości sprężyn na kierunku y bx 41 [Ns/m] stała tłumienia wiskotycznego na kierunku x by 82 [Ns/m] stała tłumienia wiskotycznego na kierunku y

R 0,3 [ - ] współczynnik restytucji bęben-kula

Rk 0,54 [ - ] współczynnik restytucji kula-kula

N 4500 [W] moc znamionowa silnika synchronicznego

nzn 1400 [obr/min] znamionowa prędkość obrotowa silnika

f 0,00013 [m] współczynnik oporu toczenia kul

R0 0,2 [m] promień bębna

mi (0,075 ÷ 3) [kg] masa kuli

ri (0,013 ÷ 0,045) [m] promień kuli

Ji (5e-6 ÷ 2,4e-3) [kg m²] moment bezwładności kuli

Poniżej przedstawiono dynamiczne równania ruchu korpusu (3) i bębna (4). Korzystając z równań więzów (5), wyprowadzono równanie ruchu osi bębna, natomiast w układzie równań (6) zostały przedstawione równania płaskiego ruchu i-tej kuli znajdującej się w bębnie.

2 2

( ) ( )

( )( ) ( )( )

k k x x x

k k y y y

ks o y y x y x x

m x P k x h b x h m y P k y b y

J M M k a b a P H P H k x h H h b x h H h

 

     

      

    

             



(3)

gdzie: Px, Py- składowe siły reakcji korpusu na bęben

 

 

 

 

0 0

1

0 0

1

0

0 0 0

1 0

0

0 0 0

1 0

sin cos sin

cos

n

b b x xi xi

i

n

b b y b yi yi

i

n i

b x y o xi xi i i

i i

n i

yi yi i i

i i

m x P F T

m y P m g F T

y y

J P e P e M M F T y y e r

r x x

F T x x e r

r

   











   



    



    

            

   

    

       

   











(4)

gdzie: Fxi0, F yi0,T xi0, T yi0 - składowe sił reakcji bębna na i-tą kulę M - moment silnika asynchronicznego

Mo - moment oporowy łożysk tocznych

0 0

0 0

2

0 0

2

0 0

cos ( sin cos )

sin ( cos sin )

k k

k k

b b

b b

x x H x x H

y y y y

x x e x x e

y y e y y e

 

    

    

    

  

     

     

(5)

 

 

 

0 0

1

0 0

1

0 0

1 n

i i xij xij xi xi

j n

i i yij yij yi yi

j

n

i i i i i ij ij i

j

m x F T F T

m y F T F T

J M T r M T r







    



    



    









(6)

gdzie: Fxij,Fyij,Txij,Tyij - to składowe siły oddziaływania kontaktowego j-tej kuli na i-tą.

Moment silnika asynchronicznego w funkcji prędkości kątowej  opisano wzorem Klossa (7), natomiast moment oporowy łożysk tocznych dany jest zależnością (8):

2 2

2 ( )( )

( ) ( ) ( )

zn s s u

s u s

M  M p   

   

 

    (7)

 

2 2 sgn

2

cz

o x y t

M  P P d    (8)

gdzie: Mzn - moment znamionowy silnika elektrycznego

p - przeciążalność

ωs - prędkość synchroniczna ωu - prędkość krytyczna dcz - średnica czopa wału

μt - współczynnik zredukowany tarcia łożysk tocznych

W modelu przyjęto, że zderzenia kul mają charakter sprężysto-dyssypatywny.

Rozpraszanie energii na skutek deformacji kul oraz siły kontaktowe opisano wg modelu zaproponowanego w [4], który zastosowano w analizie zderzeń kul w pracy [5]. Model ten opisany jest zależnością (9) odpowiednio dla: zderzenia kuli z bębnem oraz z kulą.

Wykładnik p0 oraz p, w zmodyfikowanym wzorze Hertza (9), dla styku dwóch powierzchni kulistych przyjmuje wartość 3/2. Symbole δi0oraz δij wyrażają deformacje i-tej (10) kuli odpowiednio: w wyniku kontaktu z bębnem oraz w wyniku kontaktu z j-tą kulą. Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono oddziaływania kontaktowe podczas zderzenia kuli. Tarcie zewnętrzne opisano siłą tarcia (13) i momentem oporu toczenia (14) wg modelu Coulomba.

Zwrot wektora siły tarcia zależy od prędkości względnej punktu styku zderzanych brył opisanej równaniem (15). Przez V_ij^obw oraz V_i0^obwoznaczono składową prędkości środka i-tej kuli względem środka zderzanej bryły (kuli lub bębna) zrzutowaną na kierunek równoległy do płaszczyzny zderzenia (16).

e

0 0

( , )x y

rⁱ⁰

0

Ti 0

Fi 0

Mi 0

Vi

( , , )x y_{i i} _i

i j

Fij

( , , )x y_{i i} _i ( , , )x y_{j j} _j

Mij

Vij

Tij

Rys. 3. Siły reakcji bębna na i-tą kulę Rys. 4. Siły reakcji j-tej kuli na i-tą kulę

Kula - Bęben: Kula - Kula:

0

2

0 0 0 0

1 1 (1 sgn( )) 2

p

i i i

F k ^  ^R   ^

 

1 2

1 (1 sgn( ))

2

p k

ij ij ij

F k ^  ^R   ^

  (9)

0 0 0

i ri r Ri

    _ij   r_ij r R_{i 0} (10)

2 2

0 ( 0) ( 0)

i i i

r  x x  y y r_ij  (x_ix_j)²(y_iy_j)² (11)

0 0

0 0 0

0 0

( ) ⁱ ( ) ⁱ

i i i

i i

x x y y

x x y y

r r

   ^   ^ _ij ( _{i j}) ^{i j} ( _{i 0}) ^{i j}

ij ij

x x y y

x x y y

r r

   ^   ^ (12)

0 0 sgn( )0

i i i

T F  V T_ij F_ijsgn( )V_ij (13)

0

0 0 sgn

obw i

i i i

i

M F f V

 r

 

    

  ^sgn

obw ij

ij ij i

i

M F f V

 r

 

     (14)

0 0 0

obw

i i i i

V V r R ^{Vij Vijobw}





0 0

0 0 0

0 0

( ) ( )

obw i i

i i i

i i

x x y y

V y y x x

r r

 

    ( ) ( )

2 2

i j i j

obw

ij i j i j

i i

x x y y

V y y x x

r r

 

    (16)

Składowe reakcji sił kontaktowych oraz tarcia zrzutowane na osie układu współrzędnych x-y przyjmą wartości zgodnie z układem równań (17) i (18).

0

0 0

0 0

0 0

0 i

xi i

i i

yi i

i

x x

F F

r y y

F F

r

  

 

 



2

2

i j

xij ij

i

i j

yij ij

i

x x

F F

r y y

F F

r

 

 

 

 



(17)

0

0 0

0

0

0 0

0 i

xi i

i

i

yi i

i

y y

T T

r x x

T T

r

   

 

 



2 2

i j

xij ij

i

i j

yij ij

i

y y

T T

r x x

T T

r

 

 

 

  



(18)

Dla otrzymanego modelu zapisano wyjściowy układ równań różniczkowych ruchu, drugiego rzędu w postaci macierzowego równania różniczkowego pierwszego rzędu (19).

d

dt 



M X

Rozwiązania dokonano przy wykorzystaniu metody rozkładu LU [6] wraz z zastosowaniem algorytmu Crouta i techniki macierzy rzadkich.

Całkowania numerycznego dokonano, stosując algorytm Rungego-Kutty IV rzędu.

Algorytm całkowania oraz rozwiązywanie układu równań liniowych zaimplementowano w specjalnie przygotowanym programie, napisanym w języku PASCAL. Analizę danych oraz wizualizację wraz z graficznym interfejsem użytkownika (GUI - Graphical User Interface) wykonano przy użyciu pakietu MATLAB.

3. SYMULACJE

Na podstawie modelu matematycznego zostały przeprowadzone symulacje rozruchu maszyny wirnikowej wraz z eliminatorem drgań do momentu osiągnięcia stanu ustalonego.

Przyjęto stały czas symulacji, który wynosił 30s. Empirycznie zbadano, że dla każdej symulacji podany przedział czasu jest wystarczający do osiągnięcia stanu ustalonego.

W pierwszym etapie przeprowadzanych symulacji zmieniano liczbę kul znajdujących się w bębnie (2 - 40), przy zachowaniu łącznej masy kul Σmi=3kg oraz współczynnika tarcia μ=0.1. Następnie cykl tych symulacji powtórzono dla kolejnych wartości μ. Aby uwzględnić również wpływ łącznej masy kul, wykonano jednakowe symulacje dla Σmi=6kg. Łącznie w ten sposób dokonano ponad 50 symulacji. W tabeli 3 przedstawiono wartości przyjętych parametrów, dla których zostały wykonane symulacje.

Tabela 5. Badane parametry

Symbol Wartości Jednostka Opis

n 2;3;4;5;10;20;40 [ - ] liczba kul

μ 0,1;0,3;0,5;0,7 [ - ] współczynnik tarcia ślizgowego

Σmi 3,0;6,0 [kg] łączna masa kul

Model zakłada jednosekundowe opóźnienie uruchomienia silnika od momentu odczytu.

Jest to uzasadnione czasem potrzebnym do ułożenia się kul w bębnie. W wyniku symulacji uzyskano przebiegi czasowe ruchu eliminatora oraz każdej z kul. Przykładowe przebiegi czasowe drgań korpusu w poziomej osi pokazano na rys. 5.

a) b)

Rys. 5. Przykładowe przebiegi czasowe drgań korpusu dla eliminatora:

a) bez kul; b) z czterema kulami

Powyższe przebiegi świadczą o skuteczności zastosowania urządzenia do eliminowania drgań. Zastosowanie czterech kul w eliminatorze znacznie redukuje amplitudę drgań w stanie ustalonym. Zwiększone amplitudy drgań w fazie rozruchu (w czasie t do 10s) są spowodowane przechodzeniem maszyny przez rezonans. Jak widać na rysunkach 5a i 5b, umieszczenie kul w bębnie nie zmienia w sposób istotny amplitudy drgań w stanie nieustalonym.

4. ANALIZA WYNIKÓW I WNIOSKI

Na podstawie przeprowadzonych symulacji sporządzono charakterystyki amplitudowe w funkcji liczby kul z uwzględnieniem różnych współczynników tarcia μ. Pokazano je na rys. 6 odpowiednio dla: m_k 3kgoraz m_k 6kg.

Rys. 6. Charakterystyki amplitudowe w stanie ustalonym:

a) dla m_k 3kg; b) m_k 6kg

Wykresy dotyczą drgań wirnika w osi poziomej w stanie ustalonym. Wyniki symulacji pokazały, że eliminator nie jest w stanie poprawnie pracować dla materiałów o współczynniku tarcia ślizgowego μ< 0,3. Zbyt gładkie powierzchnie kul utrudniają ich toczenie się po wewnętrznej powierzchni bębna, a tym samym poprawne ich ustawienie względem niewyważonego wirnika.

Zaobserwowano, że dwukrotny wzrost masy kul wpłynął nieznacznie na poprawę efektywności eliminatora wyrażoną jako amplituda drgań korpusu w stanie ustalonym (bez

uwzględnienia stanu przejściowego). Uwzględniając jednak fakt, że kule stanowią dodatkowe obciążenie podczas rozruchu urządzenia, nieuzasadnione jest stosowanie cięższych kul.

Symulacje pokazały, że optymalna liczba kul mieści się w granicach od 3 do 5. Wzrost współczynnika tarcia wpływa również na wzrost skuteczności eliminatora. Zależność tę może tłumaczyć fakt, iż w przypadku wyższych wartości współczynników tarcia kule zaczynają toczyć się po powierzchni bębna jeszcze przed rezonansem. Znaczne drgania korpusu w okolicach rezonansu mogą wpłynąć na lepsze ułożenie się tych kul.

5. PODSUMOWANIE

Wyniki przedstawionej pracy pozwalają optymalnie dobrać parametry eliminatora, aby zapewnić wysoką efektywność eliminacji drgań. Zbadano wpływ masy, liczby kul oraz współczynnika tarcia ślizgowego. Symulacje przeprowadzono, uwzględniając stały współczynnik restytucji R. Jak pokazują badania doświadczalne, np. [7], współczynnik R zależy w rzeczywistości od gęstości strumienia energii zderzenia, co wymaga dalszych badań.

LITERATURA

1. Michalczyk J. Cieplok G.: Wysokoefektywne układy wibroizolacji i redukcji drgań.

Kraków: Collegium Columbinum, 1999.

2. Blechman I.I.: Sinchronizacija dinamiczeskich sistem. Moskwa: Nauka, 1971.

3. Majewski T.: Synchroniczne eliminowanie drgań mechanicznych. Warszawa: Ofic. Wyd.

Pol. Warsz., 1994.

4. Michalczyk J.: Phenomenon of restitution of force impulses in collision modelling.

“Journal of Theoretical and Applied Mechanics”, 2008, 46, 4, p. 897 – 908.

5. Michalczyk J. Cieplok G. Sidor J.: Numerical simulation model of the rotary-vibrational mill working process. “Archives of Metallurgy and Materials” 2010, Vol. 55, p. 343 – 353.

6. Björck Å. Dahlquist G.: Metody numeryczne. Warszawa: PWN, 1983.

7. Gryboś R.: Teoria uderzenia w dyskretnych układach mechanicznych. Warszawa: PWN, 1969.

INFLUENCE OF BALLS PARAMETERS ON THE EFFECTIVENESS OF SYNCHRONIC VIBRATION ELIMINATOR

Summary. The paper presents the influence of weight, number of balls and their friction properties on the effectiveness of synchronic vibration eliminator.Amplitude characteristics in steady states were obtained on the basis of simulation results.

The curves can be useful to select optimum balls parameters, getting the best effectiveness of the eliminator.