ODZYSKIWANIE ENERGII I DYNAMIKA WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ Z PÓŁAKTYWNYM ZAWIESZENIEM

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 64, ISSN 1896-771X

ODZYSKIWANIE ENERGII I DYNAMIKA WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ Z PÓŁAKTYWNYM ZAWIESZENIEM

Andrzej Mitura

^1a

, Krzysztof Kęcik

^1b

1Katedra Mechaniki Stosowanej, Politechnika Lubelska

aa.mitura@pollub.pl, ^bk.kecik@pollub.pl

Streszczenie

W pracy przedstawiono wyniki badań numerycznych układu autoparametrycznego z dodatkowym systemem do odzyskiwania energii elektrycznej. W układzie można zaobserwować występowanie dwóch efektów: możliwość redukcji drgań układu podstawowego (oscylatora) za pomocą nieliniowego eliminatora oraz odzyskiwanie energii elektrycznej z ruchu wahadła za pomocą tzw. harvestera. Skuteczność obu efektów zależy od parametrów układu.

Zaproponowano zastosowanie materiałów inteligentnych w zawieszeniu oscylatora: tłumika magnetoreologicznego oraz sprężyny wykonanej ze stopu z pamięcią kształtu (SMA). W pracy przedstawiono wpływ parametrów półak- tywnego zawieszenia na dynamikę układu i poziom odzyskiwanej energii. Wyniki badań oraz zaproponowane wskaźniki jakości pozwoliły za znalezienie obszarów, w których możliwy jest kompromis pomiędzy redukcją drgań obiektu głównego a odzyskiwaniem energii.

Słowa kluczowe: Redukcja drgań, odzyskiwanie energii, sprężyna SMA, tłumik magnetoreologiczny

ENERGY HARVESTING AND DYNAMICS OF A PENDULUM VIBRATION ABSORBER WITH A SEMI-ACTIVE SUSPENSION

Summary

This paper presents numerical study of an autoparametric system with the system to energy harvesting. In this system the coexistence of two effects is possible: the vibrations reduction of the oscillator by the non-linear ab- sorber and the energy recovery from the pendulum motion of the harvester. The effectiveness of both effects de- pends on the system parameters. Application of smart materials: the magnetorheological damper and the shape memory spring is proposed. This paper shows the influence of semi-active suspension parameters on the system dynamics and the energy recovery. The obtained results and the proposed quality indicators allow determination of the compromise zones between the vibration reduction and the energy recovery.

Keywords: Vibration reduction, energy harvesting, SMA spring, magnetorheological damper

1. WSTĘP

Jednym z ważnych zagadnień rozpatrywanych zarówno w ramach mechaniki teoretycznej, jak i stosowanej jest redukcja drgań układów mechanicznych. Jedną z metod zmniejszenia poziomu drgań rzeczywistego obiektu jest dołączenie do niego dodatkowego podukładu, tzw. dy- namicznego eliminatora. Spośród opisywanych w litera- turze propozycji konstrukcji dynamicznych eliminatorów

na uwagę zasługuje rozwiązanie wykorzystujące wahadło fizyczne [2, 3]. Pomimo prostej budowy powstały układ charakteryzuje się interesującymi właściwościami dyna- micznymi. Na przykład dla ruchu względnego wahadła można znaleźć kilka rozwiązań [7]. Pomimo zadania warunku początkowego może ono wracać do dolnego lub górnego położenia równowagi, wykonywać oscylacje,

kołysanie wokół wspomnianych położeń

wykonywać ruch chaotyczny. Poprzednie badania aut rów skupiały się na analizie efektywności redukcji drgań za pomocą wahadłowego eliminatora drgań

W ostatnich latach pojawiły się nowe wymagania st wiane układom mechanicznym. Uwzględniają one czy niki ekologiczne, między innymi potrzebę zmniejszenia energochłonności lub możliwość odzyskiwania energii z działających systemów. W związku z tym pojawiła się koncepcja, aby podjąć próby odzyski

ruchu wahadła.

W trakcie prac wstępnych wytypowano dwa ro konstrukcyjne. W pierwszym wariancie planowano odz skiwać energię elektryczną poprzez prądnicę połączoną z wahadłem bezpośrednio w jego osi obrotu [

tywność tego rozwiązania wiązała się ściśle ze niem tłumienia dla wahadła. Niestety wzrost tego par metru znacznie ogranicza możliwość redukcji drgań za pomocą eliminatora. W kolejnej propozycji zastosowano układ do odzyskiwania energii umiejscowiony bezp średnio na wahadle [11]. Dodatkowy system z

magnesem powoduje powstanie kolejnego

body co może wpływać na proces dynamicznej eliminacji drgań. Co prawda po zastosowaniu odpowiednio szty nego zawieszenia ruchomego magnesu

możliwość oddziaływania dodatkowego systemu wahadła, jednakże powoduje to zmniejszenie

ści odzyskiwania energii. Dlatego bardzo ważnym aspektem jest znalezienie rozwiązań dających kompromis pomiędzy możliwością odzyskiwania energii a redukcją drgań układu podstawowego. Takie próby

mowane i opisane w artykułach [5, 11, 12 W pracy przedstawiono system, w którym

nowe elementy o sterowalnych właściwościach: sprężynę wykonaną ze stopu z efektem pamięci kształtu (sprężyna SMA) oraz tłumik magnetoreologiczny

Na podstawie analizy modelu uwzględniającego sztywności lub tłumienia zawieszenia obiektu podstaw wego została wykazana możliwość sterowania obszarami parametrów o najbardziej korzystny

jakości ze względu na redukcję drgań i/ lub odzyskiw nie energii.

2. MODEL UKŁADU

Badany układ (rys. 1) składa się z trzech głównych podukładów: nieliniowego pojedynczego oscylatora z półaktywnym zawieszeniem (I), wahadła fizycznego (II) oraz układu do odzyskiwania energii

oscylatora o masie M opisano za pomocą współrzędnej W jego zawieszeniu znajduje się tłumik

sprężyną wykonaną ze stopu z pamięcią kształtu. Są to elementy o sterowalnych właściwościach, t

jest zmiana poziomu tłumienia lub sztyw

ustawienie parametrów zasilania. Zmiana sztywności sprężyny SMA jest możliwa poprzez nagrzewanie opor

wokół wspomnianych położeń, obracać się lub Poprzednie badania auto-

ywności redukcji drgań za pomocą wahadłowego eliminatora drgań [8].

W ostatnich latach pojawiły się nowe wymagania sta- wiane układom mechanicznym. Uwzględniają one czyn- zne, między innymi potrzebę zmniejszenia energochłonności lub możliwość odzyskiwania energii W związku z tym pojawiła się koncepcja, aby podjąć próby odzyskiwania energii z

W trakcie prac wstępnych wytypowano dwa rozwiązania konstrukcyjne. W pierwszym wariancie planowano odzy- skiwać energię elektryczną poprzez prądnicę połączoną

wahadłem bezpośrednio w jego osi obrotu [4]. Efek- rozwiązania wiązała się ściśle ze zwiększe- tłumienia dla wahadła. Niestety wzrost tego para- metru znacznie ogranicza możliwość redukcji drgań za pomocą eliminatora. W kolejnej propozycji zastosowano scowiony bezpo- Dodatkowy system z ruchomym powstanie kolejnego stopnia swo-

ces dynamicznej eliminacji po zastosowaniu odpowiednio sztyw- nego zawieszenia ruchomego magnesu ograniczana jest

dodatkowego systemu na ruch szenie efektywno- Dlatego bardzo ważnym rozwiązań dających kompromis pomiędzy możliwością odzyskiwania energii a redukcją Takie próby były podej-

5, 11, 12].

przedstawiono system, w którym zastosowano nych właściwościach: sprężynę z efektem pamięci kształtu (sprężyna SMA) oraz tłumik magnetoreologiczny (tłumik MR).

Na podstawie analizy modelu uwzględniającego zmianę zawieszenia obiektu podstawo- wykazana możliwość sterowania obszarami

najbardziej korzystnych wskaźnikach ań i/ lub odzyskiwa-

ys. 1) składa się z trzech głównych podukładów: nieliniowego pojedynczego oscylatora I), wahadła fizycznego (II) oraz układu do odzyskiwania energii (III). Ruch opisano za pomocą współrzędnej x.

W jego zawieszeniu znajduje się tłumik MR wraz ze pamięcią kształtu. Są to nych właściwościach, tzn. możliwa sztywności poprzez Zmiana sztywności sprężyny SMA jest możliwa poprzez nagrzewanie oporo-

we, tj. przepływ przez nią prądu

wiednio dobranej wartości. Zmiana temperatury pow duje przemiany pomiędzy fazami nisko

i wysoko-temperaturowymi (austenit)

żyny, przez co może być modyfikowana wartość sztywn ści elementu. W przypadku tłumika

przez jego obwód elektryczny wytwarza pole magnetyc ne, które umożliwia zmianę właściwości

reologicznej, tłumienia elementu.

Oscylator jest wymuszany kinematycznie poprzez stal wą, liniową sprężynę o sztywności

częścią badanego układu jest wahadło w kształcie rury które zamocowane na obiekcie podstawowym może obr cać się względem punktu 0. Ruch względny wahadła opisano za pomocą współrzędnej

tora (wahadła) umiejscowiono trzy bieguny są odpowiednio zorientowane: SN

skrajne magnesy są przymocowane do rury, natomiast pomiędzy nimi może poruszać się magnes ruchomy. Ruch magnesu opisano współrzędną r. Na zewnątrz rury n winięta jest cewka indukcyjna wpięta

trycznego (rys. 2), w którym znajduje się również stor służący do odbierania odzyskanej

magnesu w cewce powoduje indukcję

Rys. 1. Model wahadłowego eliminatora drgań wraz z harvesterem

Rys. 2. Obwód elektryczny harvestera

Rys. 3. Część mechaniczna modelu układu

we, tj. przepływ przez nią prądu elektrycznego o odpo- Zmiana temperatury powo- pomiędzy fazami nisko (martenzyt) temperaturowymi (austenit) w materiale sprę- , przez co może być modyfikowana wartość sztywno- przypadku tłumika MR prąd płynący przez jego obwód elektryczny wytwarza pole magnetycz-

właściwości cieczy magneto- elementu.

Oscylator jest wymuszany kinematycznie poprzez stalo- liniową sprężynę o sztywności k². Kolejną istotną

ahadło w kształcie rury, zamocowane na obiekcie podstawowym może obra-

uch względny wahadła opisano za pomocą współrzędnej ϕ . Wewnątrz elimina-

umiejscowiono trzy magnesy, których odpowiednio zorientowane: SN-NS-SN. Dwa agnesy są przymocowane do rury, natomiast pomiędzy nimi może poruszać się magnes ruchomy. Ruch . Na zewnątrz rury na- indukcyjna wpięta do obwodu elek- , w którym znajduje się również rezy- odzyskanej energii. Ruch indukcję prądu i.

wahadłowego eliminatora drgań wraz z harvesterem

harvestera

modelu układu

Andrzej Mitura, Krzysztof Kęcik Analizowany układ podzielono na dwie części: elektrycz-

ną (rys. 2) oraz mechaniczną (rys. 3). Na podstawie pracy [11] układ opisano za pomocą równań różniczko- wych:

( )

( )

( ) ( )

( )

t Q r

m r

m

r R m ms

x d

x c kx x m m M

m m

m m

ω ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

sin sin

2 cos

cos sin

) 10 tanh(

2

= +

−

− +

+ + +

+ +

+ + + +

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(1)

( )

( )

( ) ( ( ) )

sin 0

) (

1 2

2 0

= +

+ + +

+ + +

+ + +

ϕ ϕ ϕ

ϕ r R m ms g x

r R r m c r R m I

m

m m

&

&

&

&

&

&

&

(2)

( ) ( )

0 cos

3 3 3

2

= + + +

+ +

− +

−

i r k r k

r R m g x m

r

m_{m m m}

α

ϕ ϕ

) && &

&

&

(3)

=0

−

+R i r

i

L_Cewki& _{Całałkowity}

α

& (4) gdzie: k=k^SMA+k2, R^Całkowity=RCewki+RRezystora, Q=k²x0. W tabeli 1 przedstawiono wartości podstawowych para- metrów układu.

Tabela 1. Przyjęte parametry modelu

Parametr Symbol Wartość

Masa oscylatora M 0.4kg

Masa wahadła m 0.45kg

Masa magnesu ruchomego mm 0.09kg Moment bezwładności wahadła I0 0.0112kgm

Środek ciężkości wahadła s 0.1283m

Sztywność sprężyny k2 1000N/m

Amplituda wymuszenia x0 0.05m

Położenie środka cewki R 0.17m Indukcyjność cewki Lcewki 1.463H Całkowita rezystancja RCałkowita 3100Ω Oba układy, mechaniczny i elektryczny, są sprzężone, tj.

siła elektrodynamiczna (FME) jest równa sile elektromo- torycznej (E^EM), których wartości mogą zostać określone z zależności:

^FME =α

( )

^ri=^EEM =α

( )

^rr&^. (5) Na podstawie badań opisanych w pracy [6] stwierdzono, że wartość parametru tzw. współczynnik sprzęgnięcia α(r) zależy od odległości pomiędzy środkiem ruchomego magnesu a środkiem cewki (w modelu jest to współrzęd- na r). Relację α(r) przybliżono za pomocą aproksymacji wielomianem:

( )

13 7 11 6 9 5

7 4 5 3 3 2 1

r r r

r r r r r

α α α

α α α α α

+

− +

+

− +

−

= (6)

gdzie współczynniki wielomianu przyjmują wartości:

α₁=8.1594e+03Vs/m², α2=1.5686e+07Vs/m⁴, α3=1.2748e +10Vs/m⁶, α4=5.4551e+12Vs/m⁸, α5=1.284e+15Vs/m¹⁰, α₆=1.5719e+17Vs/m¹², α7=7.8157e+18Vs/m¹⁴.

W kolejnym etapie tworzenia modelu matematycznego wymagane było opisanie oddziaływań pomiędzy magne- sami stałymi a ruchomym. Na podstawie literatury zawieszenie magnetyczne zastąpiono nieliniową sprężyną.

Podczas symulacji numerycznych siła działająca na ruchomy magnes liczona była z zależności [10]:

3 3 3r k r k

F_Magnesy )

+

= (7)

gdzie: k₃ =50N/m, k)₃=180000N/m³.

Ostatnim etapem procesu modelowania matematycznego było przyjęcie modeli sprężyny SMA oraz tłumika MR.

Siłę w sprężynie SMA przybliżono liniową zależnością:

0x. k

F_SMA =β (8) Założono, że w analizowanym zakresie temperatur oraz odkształceń elementu SMA nie zostaną zaobserwowane efekty nieliniowe. Natomiast możliwość zmian stosunku faz martenzyt/austenit wpływać będzie tylko na sztyw- ność sprężyny SMA [1]. W przyjętym opisie parametr k⁰ definiuje sztywność sprężyny przy 100% udziale fazy martenzytu. Na podstawie przeprowadzonych badań eksperymentalnych sprężyny wykonanej ze stopu Nitino- lu, przyjęto, że k0=500N/m. Przebieg przemiany fazowej zależy od temperatury. W przypadku nagrzewania opo- rowego temperaturę elementu można powiązać z para- metrami prądu płynącego przez element. W modelu wpływ temperatury określono za pomocą parametru β, którego wartość może zmieniać się od 1 do 4. Dla β=1 zależność opisuje strukturę z 100% udziałem fazy mar- tenzytu (w niskiej temperaturze, np. pokojowej), nato- miast dla β=4 z 100% udziałem fazy austenitu (dla posiadanej sprężyny w temperaturze powyżej 60°C). Na rys. 4 przedstawiono przykładowe charakterystyki sprę- żyny SMA po zakończeniu nagrzewania oporowego prą- dem elektrycznym o różnych nastawach.

Rys. 4. Charakterystyki sprężyny SMA

Tłumik MR opisano za pomocą zmodyfikowanego mo- delu Binghama, gdzie siła tłumienia jest sumą dwóch członów: tłumienia wiskotycznego oraz tarcia suchego.

W modelu numerycznym wyraz związany z tarciem suchym przybliżono funkcją tangensa hiperbolicznego [9]:

^FMR =^cx&+^dtanh

(

10^x&

)

(9) gdzie: c=10Ns/m, d=cγ. Zmiana parametrów zasilania tłumika MR uwzględniona jest w modelu poprzez para- metr γ. W sytuacji kiedy γ=0 tłumik MR nie jest zasila-

ny. Wówczas otrzymana charakterystyka jest zbliżona do liniowej. Po zasileniu elementu przepływający przez niego prąd za pośrednictwem wytwarzanego pola magne- tycznego powoduje zwiększenie siły tłumienia. W pracy założono, że wartość parametru γ może przyjmować maksymalną wartość równą 2. Przykładowe charaktery- styki tłumika MR przedstawiono na rys. 5.

Rys. 5. Charakterystyki tłumika MR

3. BADANIA NUMERYCZNE

Na podstawie równań różniczkowych (1-4) opracowano model numeryczny testowanego układu w oprogramowaniu MATLAB 2016b. Do obliczeń wyko- rzystywano metodę numeryczną ode15i, która jest prze- znaczona do równań różniczkowych zwyczajnych zapisa- nych w sposób niejawny [13]. Symulacje przeprowadzano dla dwóch zestawów warunków początkowych:

• bez aktywacji eliminatora (brak ruchu waha- dła)

] 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 [ ] ' , ' , ' , ' , ' , ' , '

[x x& ϕ ϕ& r r& i = , (10)

• z aktywacją eliminatora

].

0 , 0 , 0 , 0 2, , 0 , 0 [ ] , , , , , ,

[

π

ϕ ϕ

r r i= x

x & & & (11)

W celu odróżnienia odpowiedzi otrzymywanych dla poszczególnych przypadków obliczeń (układu z lub bez aktywacji eliminatora) wprowadzono w zapisie równań (10, 12 i 13) dodatkowe oznaczenie za pomocą tzw.

prima (‘). W sytuacji, kiedy wahadło nie jest wychylone z dolnego położenia równowagi (10), nie może zostać zainicjowany proces redukcji drgań z jego udziałem.

W pracy wyniki uzyskane podczas symulacji z brakiem możliwości aktywowania eliminatora wykorzystywane są jako referencyjne. Po zmianie warunków początkowych na zestaw opisany równaniem (11) istnieje możliwość zmniejszenia poziomu drgań układu podstawowego po- przez przekazanie części energii na ruch eliminatora.

W trakcie przeprowadzonych analiz porównywano wyni- ki otrzymywane z symulacji układu dla tych samych parametrów, ale różnych warunków początkowych (10, 11).

Autorzy zaproponowali wskaźniki jakości, które zasto- sowano do opisu efektywności redukcji drgań układu podstawowego J¹ oraz poziomu odzyskiwanej energii J²:

( ) ( )

^',

1 RMS x

x

J = RMS (12)

( ) ( )

^.

'

2 RMSi

i

J =RMS (13)

W zaproponowanych wskaźnikach stosunki wartości skutecznych odpowiedzi układu z i bez aktywacji elimi- natora są odpowiednio dobrane. W sytuacji, kiedy po- szczególne wskaźniki przyjmują wartość równą jedności, odpowiedzi układu dla obu zestawów warunków począt- kowych są identyczne. Natomiast przy wartościach wskaźników jakości mniejszych od jedności bardziej korzystne właściwości ma układ z aktywowanym elimi- natorem. Dlatego optymalnym rozwiązaniem byłoby znalezienie takich parametrów układu, gdy oba wskaźni- ki mają wartości wyraźnie mniejsze od jedności.

Na rycinach 6-9 przedstawiono zmianę wartości wskaźni- ków jakości w funkcji częstotliwości wymuszenia ω oraz zmiany właściwości sprężyny SMA (parametr β) lub tłumika magnetoreologicznego (parametr γ).

Przedstawione charakterystyki są w postaci map, gdzie obszary parametrów o najbardziej korzystnych warto- ściach wskaźników są koloru czarnego. Analizując wyni- ki, otrzymane przy zmianie sztywności sprężyny SMA (rys. 6 i 7), można zaobserwować obszary, gdzie przyjęte kryteria wykazują zgodność oraz są w konflikcie. Na przykład dla częstości ω=40rad/s i parametru β=1 na obu charakterystykach występuje kolor czarny. Oznacza to, że rozwiązanie z aktywowanym eliminatorem wyka- zuje wyższy poziom redukcji drgań oraz odzyskiwania energii od odpowiedzi referencyjnych (układu bez akty- wacji eliminatora). Natomiast przy ω=35rad/s i β=1.5 zabarwienie kolorowych map jest skrajnie różne. Zatem wartość współczynnika J1 przyjmuje wartość korzystną (kolor czarny, rys. 6), podczas gdy wskaźnik J2 wręcz przeciwnie niekorzystną (kolor zbliżony do białego, rys.

7). Zmiana parametru β powoduje wzrost sztywności zawieszenia układu podstawowego. Usztywnienie zawie- szenia skutkuje "odchylaniem" się obszarów na otrzyma- nych charakterystykach. Najlepiej to widać na rys. 7, gdzie najjaśniejsze obszary wraz ze wzrostem β jednocze- śnie ulegają odchyleniu w stronę niższych lub wyższych częstości oraz ulegają zwężeniu.

Andrzej Mitura, Krzysztof Kęcik

Rys. 6. Zmiana wskaźnika J1(β,ω), γ=0

Rys. 7. Zmiana wskaźnika J1(β,ω), γ=0

Rys. 8. Zmiana wskaźnika J1(γ,ω), β=1

Rys. 9. Zmiana wskaźnika J2(γ,ω), β=1

Analizując wyniki otrzymane przy zmianie tłumienia za pomocą tłumika magnetoreologicznego MR (rys. 8 i 9), także można zaobserwować obszary, gdzie przyjęte kry- teria wykazują zgodność lub są sprzeczne. Na przykład w pobliżu punktu o częstości ω=40rad/s i parametru γ=0 na obu charakterystykach dominuje obszar o kolorze

czarnym, korzystnych wartościach współczynników jako- ści. Natomiast przy ω=28rad/s i γ=2 zabarwienie kolo- rowych map jest skrajnie różne. Zatem to rozwiązanie umożliwia lepszą redukcję drgań przy jednoczesnym mniejszym odzyskiwaniu energii niż system bez aktywo- wanego eliminatora. Większa wartość parametru γ po- woduje wzrost tłumienia w zawieszenia układu podsta- wowego. Zastosowanie tłumika MR nie powoduje wyraź- nych odchyleń obszarów w stronę niższych lub wyższych częstości wymuszenia. Jednakże wraz ze wzrostem tłu- mienia obszary parametrów, gdzie występuje konflikt kryteriów, rozszerzają się. Natomiast szerokość obszaru, gdzie na obu charakterystykach dominował kolor czarny dla coraz większych wartości γ ulega zwężeniu. Przy około γ=0.5 pożądany obszar zanika.

Przedstawioną powyżej analizę wpływu zmiany sztyw- ności i tłumienia zawieszenia oscylatora na wartości przyjętych wskaźników jakości poparto przykładowymi przebiegami czasowymi odpowiedzi układu. Na rysun- kach 10-12 przedstawiono krótkie fragmenty otrzyma- nych wyników numerycznych dla wartości parametrów, gdzie obydwa wskaźniki jakości posiadają wartości mniejsze od jedności. Linią ciągłą zaznaczono odpowie- dzi referencyjne układu, czyli takiego, gdzie eliminator, wahadło nie było aktywowane. Taki stan uwidacznia się na rys. 11, gdzie kąt wychylenia wahadła dla każdej chwili czasu jest równy zero. Natomiast linia przerywana pokazuje przebieg czasowy z aktywnym eliminatorem.

Porównując obie serie, można zaobserwować, że na ry- sunkach 10 i 12 przebieg linii przerywanej jest bardziej korzystny, tj. charakteryzuje się mniejszymi drganiami x(t) oraz umożliwia odzyskiwanie większej ilości energii elektrycznej i(t). Podkreślenia wymaga fakt, iż w trakcie tej symulacji numerycznej wahadło wykonuje ruch niere- gularny. Ruch chaotyczny eliminatora składa się z przypadkowych sekwencji zarówno krótkotrwałych rotacji w prawo lub lewo jak i oscylacji (rys. 11).

Rys. 10. Fragment przebiegu czasowego x(t) przy ω=40rad/s, β=1, γ=0. Linia ciągła - warunek początkowy (9), linia przery- wana- warunek początkowy (10)

Rys. 11. Fragment przebiegu czasowego φ(t) przy ω=40rad/s, β=1, γ=0. Linia ciągła - warunek początkowy (9), linia przery- wana- warunek początkowy (10)

Rys. 12. Fragment przebiegu czasowego i(t) przy ω=40rad/s, β=1, γ=0. Linia ciągła - warunek początkowy (9), linia przery- wana- warunek początkowy (10)

Na rycinach 13-15 przedstawiono przebiegi czasowe dla parametrów układu, gdy wskaźniki jakości przyjmowały wartości mówiące o sprzeczności kryteriów oceny jakości analizowanych efektów. Przy zastosowaniu zwiększonego tłumienia γ=2 otrzymane wyniki obliczeń numerycznych dla układu z aktywowanym eliminatorem drgań posiada- ją mniejszy poziom niż dla odpowiedzi referencyjnych.

Można to zaobserwować, porównując serie oznaczone linią przerywaną z liniami ciągłymi (system bez aktywa- cji eliminatora) na rysunkach 13 i 15. Mniejsze drgania sygnałów x(t), i(t) w stosunku do odpowiedzi referencyj- nych powodują zmniejszenie zarówno niepożądanych drgań obiektu głównego jak i możliwości odzyskiwania energii elektrycznej. Powstały konflikt kryteriów wystą- pił w sytuacji, gdy wahadło wykonywało ruch regularny (rys. 14).

Rys. 13. Fragment przebiegu czasowego x(t) przy ω=28rad/s, β=1, γ=2. Linia ciągła - warunek początkowy (9), linia przery- wana- warunek początkowy (10)

Rys. 14. Fragment przebiegu czasowego φ(t) przy ω=28rad/s, β=1, γ=2. Linia ciągła - warunek początkowy (9), linia przery- wana- warunek początkowy (10)

Rys. 15. Fragment przebiegu czasowego i(t) przy ω=28rad/s, β=1, γ=2. Linia ciągła - warunek początkowy (9), linia przery- wana- warunek początkowy (10)

4. PODSUMOWANIE

W pracy przeprowadzono badania numeryczne modelu układu autoparametrycznego z wahadłem oraz systemem cewka-ruchomy magnes. Otrzymane wyniki wykazały możliwość współistnienia dwóch efektów: redukcji drgań układu podstawowego i możliwości odzyskiwania energii elektrycznej. Dzięki zastosowaniu zaproponowanych wskaźników możliwe jest wyznaczenie obszarów parame- trów, gdzie występuje kompromis lub sprzeczność zało- żonych kryteriów jakości. Zastosowanie nowoczesnych materiałów (sprężyny SMA i tłumika MR) pozwala na sterowanie kształtem i położeniem pożądanych rozwią- zań. Pełne zrozumienie mechanizmów rządzących proce- sem sterowania wymaga dalszych badań. Autorzy planu- ją kontynuować ten temat w kolejnych badaniach nume- rycznych oraz eksperymentalnych. Najbardziej korzystne wartości wskaźników jakości zostały otrzymane, gdy wahadło wykonywało ruch chaotyczny. Uzyskana wów- czas poprawa właściwości w stosunku do rozwiązania referencyjnego była prawie dwukrotna, tj. wartości współczynników J¹ i J² zbliżały się nawet do warto- ści 0.5.

Praca została sfinansowana w ramach projektu ba- dawczego DEC-2013/11/D/ST8/03311 przez Narodowe Centrum Nauki.

Literatura

1. An S.M., Ryu J., Cho M., Cho K.J.: Engineering design framework for a shape memory alloy coil spring actu tor using a static two- state model. “

2. Berlioz A., Dufour R., Sinha S.C.: Bifurcation in a nonlinear autop numerical investigations. “Nonlinear Dynamics” 2000, Vol. 23,

3. Gus'kov A.M., Panovko G.Y., Van Bin C.: Analysis of the dynamics of a pendulum vibration absorber of Machinery Manufacture and Reliability” 2008, Vol. 37, p. 321

4. Kecik K., Borowiec M.: An autoparametric energy harvester 1597-1605.

5. Kecik K., Brzeski P., Perlikowski P.

tem.”International Journal of Structural Stability and Dynamics

6. Kecik K., Mitura A., Lenci S., Warminski J.: Energy harvesting from a magnetic levitation system tional Journal of Nonlinear Mechanics

7. Kecik K., Mitura A., Sado J., Warminski J.:

autoparametric vibration absorber. “

8. Kecik K., Mitura A., Warminski J., Efficiency analysis of an

“Eksploatacja i Niezawodność - Maintenance and Reliability” 2013, Vol. 15, p.

9. Kwok N.M., Ha Q.P., Nguyen T.H., Samali J.L.B.: A novel hysteretic model for magneto ers and parameter identification using particle swarm optimization

132, p. 441-451.

10. Mann B.P., Sims N.D.: Energy harvesting from the nonlinear oscillations of magnetic levitation Sound and Vibration” 2009, Vol. 319, p.

11. Mitura A., Kecik K., Warminski J., Jarzyna W., Lenci S.: A numerical study of an autoparametric system with electromagnetic energy harvester. In:

namics 2015, p. 609-615.

12. Mitura A., Kecik K.: Influences of system parameters on energy harvesting from autoparametric absorber. N merical research. “Vibration in Physical S

13. www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode15i.html

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

1.

Andrzej Mitura, Krzysztof Kęcik

J., Cho M., Cho K.J.: Engineering design framework for a shape memory alloy coil spring actu . “Smart Materials and Structures” 2012, Vol. 21, p. 1-16.

Berlioz A., Dufour R., Sinha S.C.: Bifurcation in a nonlinear autoparametric system using experimental and Nonlinear Dynamics” 2000, Vol. 23, p. 157-187.

Gus'kov A.M., Panovko G.Y., Van Bin C.: Analysis of the dynamics of a pendulum vibration absorber of Machinery Manufacture and Reliability” 2008, Vol. 37, p. 321-329.

Kecik K., Borowiec M.: An autoparametric energy harvester. “European Physical Journal” 2013, Vol. 222, p.

Kecik K., Brzeski P., Perlikowski P.: Non-linear dynamics and optimization of a harvester absorber sy International Journal of Structural Stability and Dynamics” 2017, Vol. 17, p. 1-15.

Kecik K., Mitura A., Lenci S., Warminski J.: Energy harvesting from a magnetic levitation system Nonlinear Mechanics” 2017, Vol. 94, p. 200-206.

o J., Warminski J.: Magnetorheological damping and semi . “Meccanica” 2014, Vol. 49, p. 1887-1900.

Warminski J., Efficiency analysis of an autoparametric pendulum vibration absorber Maintenance and Reliability” 2013, Vol. 15, p. 221-224.

Kwok N.M., Ha Q.P., Nguyen T.H., Samali J.L.B.: A novel hysteretic model for magnetorheological fluid dam ers and parameter identification using particle swarm optimization. “Sensors and Actuators: Physical” 2006, Vol.

Sims N.D.: Energy harvesting from the nonlinear oscillations of magnetic levitation Sound and Vibration” 2009, Vol. 319, p. 515-530.

Mitura A., Kecik K., Warminski J., Jarzyna W., Lenci S.: A numerical study of an autoparametric system with . In: Proceedings of the ECCOMAS Thematic Conference o

Influences of system parameters on energy harvesting from autoparametric absorber. N Vibration in Physical Systems” 2016, Vol. 27, p. 281-286.

www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode15i.html

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

J., Cho M., Cho K.J.: Engineering design framework for a shape memory alloy coil spring actua- 16.

arametric system using experimental and

Gus'kov A.M., Panovko G.Y., Van Bin C.: Analysis of the dynamics of a pendulum vibration absorber. “Journal

European Physical Journal” 2013, Vol. 222, p.

f a harvester absorber sys-

Kecik K., Mitura A., Lenci S., Warminski J.: Energy harvesting from a magnetic levitation system. “Interna-

Magnetorheological damping and semi-active control of an

autoparametric pendulum vibration absorber.

rheological fluid damp- Sensors and Actuators: Physical” 2006, Vol.

Sims N.D.: Energy harvesting from the nonlinear oscillations of magnetic levitation. “Journal of

Mitura A., Kecik K., Warminski J., Jarzyna W., Lenci S.: A numerical study of an autoparametric system with Proceedings of the ECCOMAS Thematic Conference on Multibody Dy-

Influences of system parameters on energy harvesting from autoparametric absorber. Nu-

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.