AKTYWNE ZAWIESZENIE WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ

AKTYWNE ZAWIESZENIE WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ

Krzysztof Kęcik

1Katedra Mechaniki Stosowanej, Politechnika Lubelska

ak.kecik@pollub.pl

Streszczenie

W pracy przedstawiono nowy rodzaj zawieszenia autoparametrycznego wahadłowego eliminatora drgań, składa- jący się z tłumika magnetoreologicznego (MR) oraz sprężyny wykonanej ze stopu z pamięcią kształtu (SMA).

Analizowano wpływ tłumienia MR oraz temperatury sprężyny SMA na efekt dynamicznej eliminacji drgań.

Do badań zastosowano metodę kontynuacji, która wykazała, że zastosowanie inteligentnych elementów w zawie- szeniu może prowadzić do interesujących rezultatów. Część badań numerycznych zweryfikowano na specjalnym stanowisku badawczym.

Słowa kluczowe: drgania, sprężyna SMA, tłumik MR, dynamiczna eliminacja

AN ACTIVE SUSPENSION OF A PENDULUM VIBRATION ABSORBER

Summary

This paper presents a new type of suspension of an autoparametic pendulum vibration absorber, consisting of the magnetorheological damper (MR) and the spring made of shape memory alloy. The influence of MR damping and SMA spring temperature on absorption effect is investigated by continuation method. The obtained results show, that a smart elements in suspension can lead to interesting results. Some results were verified on special laboratory rig.

Keywords: vibrations, SMA spring, MR damper, absorption effect

1. WSTĘP

Dynamiczna eliminacja drgań jest to zjawisko pole- gające na redukcji drgań układu podstawowego za pomocą dołączenia dodatkowego układu (tzw. eliminato- ra). Celem takiego rozwiązania konstrukcyjnego jest zmniejszenie efektu dynamicznego oddziaływania na konstrukcję. Obecnie istnieją trzy grupy metod elimina- cji drgań, ze względu na zastosowane eliminatory [10, 11]:

• pasywne,

• półaktywne (semi-active),

• aktywne.

Wahadłowe eliminatory drgań są urządzeniami pro- jektowanymi do redukcji drgań układu podstawowego [7]. Jeżeli w strukturze takiej konstrukcji występują elementy inteligentne, które mogą być aktywowane (bez sprzężenia zwrotnego), to takie eliminatory są nazywane semi-active [4]. Półaktywnym eliminatorem drgań może

być każdy układ pasywnej regulacji, którego parametry można zmieniać w czasie rzeczywistym. W wahadłowych eliminatorach drgań, efekt dynamicznej eliminacji jest satysfakcjonujący tylko w pewnym zakresie częstości wymuszenia. Z tego względu, elementy inteligentne w tego typu układach mogą być zastosowane do utrzy- mywania wymaganej dynamiki, lub do zmiany w inne (konkretne) rozwiązanie. W przeciwieństwie do klasycz- nych eliminatorów drgań, wahadłowe tłumiki drgań nie powodują wzbudzenia drgań o dużych amplitudach przy innych częstości wymuszania. Ma to związek z wąskim zakresem częstości wymuszenia wahadła, wzbudzenie drgań występuje zwykle pobliżu stosunku częstości wahadła i układu podstawowego ½ [3].

W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat nastąpił duży rozwój materiałów inteligentnych (ang. smart materials).

Cechują się one dobrymi właściwościami mechaniczny-

mi, elektrycznymi itp. Ponadto doskonale nadają się do sterowania w układach dynamicznych.

Podstawowe grupy materiałów inteligentnych to [13, 14]:

• materiały z pamięcią kształtu (SMA),

• ciecze magnetoreologiczne (MR),

• materiały piezoelektryczne.

Materiały SMA są pewną klasą stopów metali, które mogą zmieniać kształt, po osiągnięciu pewnej wartości temperatury. Zmiana kształtu polega na powrocie mate- riału do stanu wyjściowego, który został ,,zapamiętany’’

lub na tzw. efekcie pseudoelastyczności. Materiały te posiadają dwie stabilne fazy: fazę wysokotemperaturową (austenit) i niskotemperaturową (martenzyt) [13].

Materiały MR są cieczami, które mogą gwałtownie zmienić swoje własności lepkosprężyste. Ciecze te, mogą zmieniać swój stan konsystencji z gęstego płynu (np. klasyczny olej) do ciała prawie stałego. Ciecz MR zmienia swoją lepkość, temperaturę a nawet odczyn PH pod wpływem działania pola magnetycznego. Osiągnięty końcowy stan materiału zależy od tego, jak silne jest pole magnetyczne. Proces zmiany lepkosprężystości trwa zaledwie kilka milisekund (do 10 ms) i jest wywołany obecnością pola magnetycznego [14]. Efekt ten może być odwrócony równie szybko jak został wywołany.

Materiały piezoelektryczne stanowią kolejną popu- larną grupę materiałów inteligentnych (głównie stoso- wanych w sterowaniu). Poprzez zachodzące zjawisko piezoelektryczności następuje zamiana energii mecha- nicznej w elektryczną lub elektrycznej w mechaniczną.

Dzięki czemu przy dostarczeniu z zewnętrznego źródła energii można wpływać na redukcję drgań konstrukcji.

Podstawowymi cechami charakterystycznymi tych materiałów są ich właściwości sprężyste, piezoelektrycz- ne i dielektryczne.

W pracy przedstawiono układ wahadłowego elimina- tora autoparametrycznego, którego w skład zawieszenia wchodzą materiały inteligentne: sprężyna wykonana ze stopu z pamięcią kształtu oraz tłumik magnetoreologicz- ny. Analizowano wpływ sztywności sprężyny SMA oraz wpływ tłumienia MR na efekt dynamicznej eliminacji drgań.

2. WAHADŁOWY ELIMINATOR DRGAŃ

2.1 MODEL UKŁADU

Rozpatrywany eliminator drgań przedstawiono na rys. 1. W jego skład wchodzą dwa główne elementy:

nieliniowy oscylator, który może poruszać się wyłącznie w kierunku pionowym oraz wahadło mogące wykonywać pełne obroty wokół punktu zawieszenia. Ruch układu opisano za pomocą dwóch bezwymiarowych współrzęd- nych (X, ϕ). Oscylator jest przymocowany do podłoża za pomocą sprężyny wykonanej ze stopu z pamięcią kształtu o charakterystyce opisanej równaniem [8]:

θ, X 1 (1)

gdzie θ oznacza stosunek aktywowanej temperatury w sprężynie SMA (T) do temperatury fazy martenze- tycznej (TM), natomiast β1, β2 charakteryzują stałe materiałowe materiału, z którego wykonano sprężynę.

Jeżeli założymy θ=2, β1,=β2=0 otrzymamy model sprę- żyny o liniowej charakterystyce.

Rys. 1. Wahadłowy eliminator drgań z inteligentnym zawieszeniem

Nieliniową siłę w tłumiku MR opisano równaniem uwzgledniającym efekt histerezy [4]:

, X tanh (2)

gdzie parametr α1 oznacza bezwymiarowy współczynnik tłumienia wiskotycznego (jeżeli prąd w tłumiku MR nie jest aktywowany to tłumik MR zachowuje się jak wisko- tyczny). Natomiast α3 opisuje tarcie suche, zależne od wartości nastawy prądu (rys. 2). Wielkość efektu histe- rezy charakteryzują parametry δ1 i δ2.

Dynamiczne równania ruchu w postaci bezwymiaro- wej zaczerpnięto z prac autora [4,5,9,14], gdzie można znaleźć dokładny sposób ich wyprowadzenia:

,X θ, X µλ #sinφ # cosφ

)*+, -. (3)

# # λ 1 0 (4) gdzie α2 opisuje bezwymiarowe tłumienie wiskotyczne wahadła. Układ jest wymuszany kinematycznie y(τ)=qcos(ϑτ) za pomocą sprężyny o charakterystyce liniowej. Powyższe równania są ze sobą sprzęgnięte w sposób bezwładnościowy, co może prowadzić do przekazywania energii pomiędzy podzespołami układu [12]. Charakterystyki elementów inteligentnych opisa- nych równaniami (1) i (2) przedstawiono na poniższych rysunkach (rys. 2 oraz rys. 3).

Rys. 2. Charakterystyki tłumika MR: α1=0.1, δ1=10, δ2=1

Rys. 3. Charakterystyki sprężyny SMA: β1=0.04, β2=0.1 Należy zauważyć, że w przypadku tłumika MR efekt histerezy występuje przy małych prędkości tłoka (rys. 2). W przypadku sprężyny SMA, przy małych ugięciach charakterystyka jest zbliżona do liniowej (rys. 3).

2.2 STANOWISKO BADAWCZE

Stanowisko badawcze (rys. 4) składa się z ruchomej masy – oscylatora, do którego przymocowano optoelek- troniczny przetwornik obrotowo-impulsowy MHK40 (enkoder) o dokładności pomiaru 2π/2000. Na osi enkodera zamocowano wahadło. Oscylator jest osadzony na specjalnych prowadnicach, które umożliwiają mu wyłącznie ruch pionowy. Wymuszenie jest realizowane poprzez układ: falownik -silnik indukcyjny trójfazowy 1.5 kW -układ mimośrodowy, który zamienia ruch obrotowy na postępowo-zwrotny. Falownik umożliwia płynną regulację obrotów silnika, co pozwala uzyskać z dużą dokładnością zmianę częstotliwości wymuszenia w zakresie 1-50Hz.

Zmienne tłumienie oscylatora jest realizowane za pomocą tłumika magnetoreologicznego RD 1097-01 (rys. 6) wraz z odpowiednim układem sterującym (ste- rownik PLC). Zastosowanie sprężyny SMA (rys. 5) wykonanej ze stopu nitinol umożliwia uzyskanie różnych jej charakterystyk poprzez zachodzące przemiany w strukturze sprężyny, wskutek zmiany temperatury.

Temperatura jest aktywowana za pomocą odpowiedniego zasilacza podłączonego do sprężyny SMA. Stanowisko laboratoryjne wyposażone jest w system sterowania oparty na uniwersalnym module kontrolno- pomiarowym

Rys. 4. Widok stanowiska laboratoryjnego

Rys. 5. Sprężyna SMA wraz z zasilaczem

Rys. 6. Tłumik MR RD1097-01

MicroDAQ z wielordzeniowym procesorem aplikacyj- nym OMAP L137 firmy Texas Instruments. Jednostka obliczeniowa składa się z rdzenia DSP 375MHz z jed- nostką stało i zmiennoprzecinkową, co zapewnia realiza- cję algorytmów w czasie rzeczywistym. Moduł zawiera rdzeń ARM9 - pracujący pod kontrolą systemu Linux, który zapewnia obsługę komunikacji z urządzeniami zewnętrznymi. Oprogramowanie zarządzające cyklem badawczym Control 1.0, zostało przygotowane w środo- wisku Microsoft Visual Express C++.

3. ANALIZA AKTYWNEGO ZAWIESZENIA UKŁADU 3.1 WPŁYW NA REZONANS

PARAMETRYCZNY

W tego typu układach, w pobliżu rezonansu parame- trycznego dochodzi do zjawiska przekazywania drgań pomiędzy sprzęgniętymi podzespołami (wahadło i oscy-

lator), co jest wykorzystywane w dynamicznej eliminacji drgań [7, 9] lub w odzyskiwaniu energii [6].

Badania numeryczne przeprowadzono za pomocą metody kontynuacji na podstawie równań [3] i [4].

Metoda ta uwzględnia występowanie bifurkacji postaci oraz utratę jej stabilności. W celu zastosowania techniki kontynuacji, wymagana jest znajomość rozwiązania okresowego. Wykonywane jest jedno całkowanie rozwią- zania okresowego za pomocą metody Rungego-Kutty czwartego rzędu, a następnie rozwiązanie to jest kory- gowane za pomocą metody Newtona-Raphsona [1].

Badania numeryczne wykonano na danych zidentyfi- kowanych na stanowisku badawczym: 0.26,

0.1, 3 17.23, 6 0.13, ) 1. Wszystkie warunki początkowe były równe zeru, oprócz początkowego wychylenia wahadła, które wynosiło # 0.1.

Rys. 7. Krzywe rezonansowe oscylatora przy różnych warto- ściach tłumienia MR

Rys. 8. Krzywe rezonansowe wahadła przy rożnych wartości tłumienia MR

Rys. 7 oraz rys. 8 przedstawiają przykładowe krzywe rezonansowe oscylatora i wahadła przy różnych warto- ściach tłumienia MR. Ciągła linia oznacza rozwiązanie stabilne, natomiast linia przerywana – niestabilne.

Litery na wykresach przedstawiają charakterystyczne punkty wykryte za pomocą metody kontynuacji (L -punkt limitu, D - podwojenie rozwiązania, B -punkt bifurkacyjny). Analizując uzyskane wyniki, stwierdzono, że najkorzystniejszy obszar z punktu widzenia absorpcji

drgań zachodzi przy częstości wymuszenia - 7 0.7.

Aktywowane tłumienie MR, powoduje zmniejszenie maksymalnych amplitud drgań, zarówno rozwiązań stabilnych jak i niestabilnych. Ponadto tłumienie MR nie powoduje zaniku zjawiska dynamicznej eliminacji drgań, lecz jedynie ograniczenie zakres rezonansu - obszar dynamicznej eliminacji drgań jest zawężony (rys. 7). Przy dużej wartości 0.5, istnieje bardzo mały zakres rezonansu, gdzie obserwujemy efekt absorp- cji drgań. Tłumienie MR znacznie redukuje amplitudę wahadła (rys. 8). Należy zauważyć, że redukcja rezonan- su następuje z prawej strony krzywej, jednocześnie obszar dynamicznej eliminacji drgań pozostaje niezmien- ny.

Wpływ temperatury na obszar głównego rezonansu parametrycznego oscylatora i wahadła, przedstawiono na rysunkach 9 i 10.

Rys. 9. Krzywe rezonansowe oscylatora przy rożnych wartości temperatury sprężyny SMA

Rys. 10. Krzywe rezonansowe wahadła przy rożnych wartości temperatury sprężyny SMA

Zwiększenie temperatury , powoduje zmniejszenie amplitudy drgań oraz przegięcie krzywych rezonanso- wych oscylatora w prawą stronę. Ciekawym zaobserwo- wanym wynikiem wydaje się być redukcja charaktery- stycznego przegięcia krzywej rezonansowej (czarna linia na rys. 9). Zjawisko to, występuje w układzie z klasycz- ną sprężyną, i świadczy o tym, że w pewnym zakresie ruch wahadła może wzbudzić większe drgania oscylato- ra, niż drgania bez zastosowanego eliminatora. Podobny

wniosek można wyciągnąć, analizując wpływ tłumienia MR (rys. 7).

Zmiana temperatury może powodować wzrost lub obni- żenie amplitudy drgań wahadła w porównaniu do ukła- du z liniową charakterystyką sprężyny (rys. 10).

3.2 DYNAMICZNA ELIMINACJA DRGAŃ

W poprzednim podrozdziale wykazano, że efekt dy- namicznej eliminacji drgań jest najkorzystniejszy przy częstości wymuszenia - 0.7. Na rys. 11 (oscylator) oraz 12 (wahadło) przedstawiono analizę bifurkacyjną rozwiązania okresowego, przy tej częstości, pod wpły- wem tłumienia MR. Szare punkty oznaczają badania doświadczalne, linie ciągłe i przerywane oznaczają odpowiednio stabilne i niestabilne rozwiązanie nume- ryczne.

Rys. 11. Wykres bifurkacyjny w funkcji parametru bifurkacyj- nego ,przy - 0.7

Rys. 12. Wykres bifurkacyjny w funkcji parametru bifurkacyj- nego , przy - 0.7

Wartością graniczną, przy której wahadło przestaje wykonywać ruch, jest 0.5. W warunkach dyna- micznej eliminacji drgań, aktywowanie tłumienia MR pozwala obniżyć drgania oscylatora z poziomu 1.35 do 1.15 (ok. 15%, rys. 11). W badaniach doświadczalnych uzyskano ok. 7% redukcji drgań. Wraz ze wzrostem wartości tłumienia MR spada wartość amplitudy drgań

samego oscylatora (tzw. rozwiązanie pół-trywialne).

Zmieniając wartość parametru , można również dobie- rać amplitudę drgań wahadła (rys. 12).

Rys. 13. Wykres bifurkacyjny w funkcji parametru bifurkacyj- nego , przy - 0.7

Rys. 14. Wykres bifurkacyjny w funkcji parametru bifurkacyj- nego , przy - 0.7

Wpływ temperatury sprężyny SMA na efekt dyna- micznej eliminacji drgań jest przedstawiony na wykresie bifurkacyjnym (rys. 13). Graniczna wartość temperatury przy której wahadło przechodzi do spoczynku 7 2.2, tzn. aktywowana temperatura równa jest 2.2TM (gdzie TM jest temperaturą przemiany martenzytycznej).

Spadek amplitud oscylatora rozwiązania trywialnego jest praktycznie taki sam jak rozwiązania nietrywialnego (obie linie są równoległe, rys. 13).

Natomiast zastosowanie sprężyny SMA w warunkach dynamicznej eliminacji drgań pozwala obniżyć drgania oscylatora o ok. 35%. Badania doświadczalne wykazały 8% obniżenie drgań oscylatora. W przypadku badań doświadczalnych układu ze sprężyną SMA, wyniki w pewnym stopniu odbiegają od numerycznych (rys. 13 i rys, 14). Prawdopodobnie wynika to z przyję- tego modelu oraz z problemu z utrzymaniem stałej i równej temperatury w całej sprężynie.

4. WNIOSKI I UWAGI

W pracy przedstawiono badania numeryczne i do- świadczalne wahadłowego eliminatora drgań. Zapropo- nowano nowy rodzaj zawieszenia, składający się ze sprężyny SMA oraz tłumika MR. Wykazano, że zasto- sowanie inteligentnych elementów nie powoduje utraty skuteczności dynamicznej eliminacji drgań. Zmieniając tłumienie MR lub temperaturę sprężyny SMA, zmienia się zakres obszaru rezonansu parametrycznego.

Jest to bardzo ważne z praktycznego punktu widzenia,

gdyż elementy inteligentne mogą zostać wykorzystane do sterownia, bez utraty skuteczności dynamicznej elimina- cji drgań. Ponadto za pomocą proponowanego zawiesze- nia można wyeliminować obszary, w których ruch waha- dła wzbudza większe drgania oscylatora. Zastosowanie sprężyny SMA może powodować zmianę stabilności rozwiązań (rys. 9, przy 1). Wykazano, że za pomocą elementów inteligentnych można ,,ustawiać’’ amplitudę drgań wahadła (lub je zatrzymać), oraz kontrolować stopień absorpcji drgań oscylatora.

Praca naukowa finansowana ze środków NCN w ramach projektu badawczego nr 2013/11/D/ST8/00331.

Literatura

1. Doedel E., et al: AUTO-07P: Continuation and Bifurcation Software For Ordinary Differential Equations, Concordia University, Montreal, Canada, 2011.

2. Fossen TI, Nijmeijer H.: Parametric resonance in dynamical systems, Berlin: Springer, 2012.

3. Hatwal H., Mallik A.K., Ghosh A.: Forced nonlinear oscillations of an autoparametric system. Parts 1 and 2.

,,Journal Applied Mechanics’’, 1983, Vol. 50, p. 657 - 668.

4. Kecik K., Mitura A., Sado D., Warminski J.: Magnetorheological damping and semi-active control of an autopa- rametric vibration absorber. ,,Meccanica’’ 2014, doi 10.1007/s11012-014-9892-2.

5. Kecik K., Borowiec M.: An autoparametric energy harvester. ,,The Europen Physical Journal Special Topics’’

2013, Vol. 222(7), p. 1597 - 1605.

6. Kecik K.: Energy harvesting of a pendulum vibration absorber. ,,Przeglad Elektrotechniczny” (“Electrical Re- view)’’, 2013, Vol. 7, p. 169 - 172.

7. Kecik K., Mitura A., Warmiński J:. Efficiency analysis of an autoparametric pendulum vibration absorber.

,,Eksploatacja i Niezawodnośc - Maintenance and Reliability’’ 2013, Vol. 15(3), p. 221 - 224.

8. Kecik K. Bifurcations and control of an autoparametric vibration absorber. ,,Dynamical Systems- Applications’’, 2013. Editors: J.Awrejcewicz, M. Kazimierczak, P. Olejnik and J. Mrozowski, p. 59 - 68.

9. Kecik K., Warminski J.: Chaos in mechanical pendulum-like system near main parameric resonanse. ,,Procedia IUTAM’’, 2012, Vol. 5, p. 249 - 258.

10. Premount A.:Vibration control of active structures an introduction. Second Edition. Kluwer, Academic Publish- er, 2002.

11. Ulbrich H., Gunthner W.: Vibration control of nonlinear mechanics and structures. Springer, 2005.

12. Sado D.: Dynamics of the non-ideal autoparametric system with MR damper. ,,AIP Conference Proceedings’’, 2012, Vol. 1493, p. 847 - 853.

13. Świtoński E., Mężyk A., Klein W.: Application of smart materials in vibration control systems. ,,Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering’’, 2007, Vol. 24(1), p. 291 - 296.

14. Warminski J., Kecik K.: Autoparametric vibrations of a nonlinear system with a pendulum and magnetorheolog- ical damping. Nonlinear Dynamics Phenomena in Mechanics. Eds. J. Warminski, S. Lenci, M. P. Cartmell, G.

Rega and M. Wiercigroch. Springer 2012, Vol. 181, p. 1 – 62.