Egzamin z matematyki finansowej, analityka gospodarcza, 3 II 2020, grupa A Informacje dla zdających:

Egzamin z matematyki finansowej, analityka gospodarcza, 3 II 2020, grupa A Informacje dla zdających:

1. Egzamin trwa 70 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.

2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.

3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”

pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.

4. Obowiązują wszystkie konwencje, na które umówiliśmy się podczas kursu (zaokrąglanie do 4 miejsc po przecinku, odpowiedzi słowne do zadań, domyślnie złożony model kapitalizacji wkładów, brak wliczania opodatkowania i inflacji, jeśli nie jest powiedziane inaczej itp.)

Zadania:

1. (400 pkt) Inwestycja A wymaga nakładu 70 jp dziś, a przynosi zwrot 38,06 jp za rok i 44 jp za 2 lata. Inwestycja B przy nakładzie 80 jp dziś przynosi następujące zwroty: 25 jp za 2 lata, 42 jp za 3 lata, 30 jp za 5 lat i 16 jp za 7 lat.

a) Obliczyć (w sposób dokładny, nie przybliżony) wewnętrzną stopę zwrotu inwestycji A.

b) Obliczając NPV inwestycji B dla wewnętrznej stopy zwrotu inwestycji A, rozstrzygnąć, czy inwestycja B jest bardziej, czy mniej opłacalna niż inwestycja A.

c) Obliczyć średni czas trwania inwestycji A. Czy inwestycja A jest bardziej, czy mniej korzystna od inwestycji C z tą samą stopą zwrotu ale z średnim czasem trwania 1,4 roku?

2. (400 pkt) Dług w wysokości 120000 jp miał być spłacony za pomocą równych miesięcznych rat łącznych przy nominalnej rocznej stopie procentowej 15% i kapitalizacji miesięcznej w ciągu 4 lat. Po 2,5 roku dłużnik przestał spłacać dług i poprosił o nową umowę spłaty. 3 miesiące (w trakcie których odsetki narastały według pierwotnych zasad) później doszło do ugody, w wyniku której resztę długu dłużnik miał spłacić równymi rocznymi ratami kapitałowymi w ciągu 5 kolejnych lat przy nominalnej rocznej stopie procentowej 18%. Wyznaczyć tabelę spłaty długu po zmianie zasad spłacania (obok tabelki powinny się znaleźć obliczenia wielkości długu po zmianie warunków i co najmniej jednego wiersza tabeli).

3. (400 pkt) Wycenić bieżącą wartość następujących instrumentów finansowych, przy założeniu, że inwestor chce uzyskać zwrot z inwestycji w te instrumenty w wysokości 8% rocznie:

a) Obligacji kuponowej o terminie wykupu za 3 lata i 3 miesiące, kuponach wypłacanych półrocznie ze stopą kuponową roczną 4% i wartości nominalnej 800 jp.

b) Akcji, z której dywidendy sa wypłacane co kwartał (ostatnia wypłata 1 miesiąc temu w wy- sokości 30 jp) i każda kolejna jest wyższa od poprzedniej o 0, 5% (i inwestor przewiduje, że firma utrzyma taką w przyszłości).

4. (300 pkt) Załóżmy, że po wypłaceniu N rat renty o stałej wysokości R, na koniec N -tego okresu płatności zostałby nam jeszcze kapitał K_N, który nie jest wystarczający do wypłacenia N + 1-szej raty o tej samej wysokości. Chcemy wypłacić go w ramach ostatniej raty zmniejszonej w stosunku do R. Jaka będzie wysokość tej raty jeśli płatności następują a) z dołu, b) z góry?

2

Wzory:

¯

r = _m^r; KN = K0(1 + N r); KN = K0(1 + r)^N; Kt = Ke^rt; ref = (1 + r)^m− 1; ref = ln(1 + r);

r_ef = e^r − 1; r = (1 − p)r; 1 + R = (1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ² · . . . · (1 + r_p)^np; r_prz = p(1 + r^N ₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ² · . . . · (1 + r_p)^np − 1; K_re,t = _1+i^Kt

C; (1 + r_re)(1 + i) = (1 + r); r_re = ^r−i_1+i; K = K₀(1 + wi); i_c = (1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ² · . . . · (1 + i_p)^np − 1; i_prz = ^N√

1 + i_c − 1;

i_prz = p(1 + i^N ₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ² · . . . · (1 + i_p)^np − 1; K_N = K(1 + r)^N; N P V (r) = PN

j=0C_j(1 + r)^−tj;

N P V (r^∗) = 0; D = _P¹ PN

j=1t_jC_j(1 + r^∗)^−tj; S_k = W^q_q−1^k−1; Sk= W q^q_q−1^k−1; Sk = R^q_q−1^k−1; Sk = Rq^q_q−1^k−1; P V = SNq^−N; Rw = Kr; Rw = ^Kr_q ; Sk =

(R^qk_q−a^−ak, q 6= a;

kRq^k−1, q = a. ;

S_k =

(Rq^qk_q−a^−ak, q 6= a;

kRq^k, q = a. ; Kq^N = S_N; K_N = Kq^N − S_N;

Km = PN

j=m+1Rjq^m−j = Kq^m − Pm

j=1Rjq^m−j; KN = 0; Rm = Um + Im; Im = Km−1r;

Um = Km−1 − Km; Km = Km−1 − Um; PN

j=1Uj = K; Km = K − Pm j=1Uj; R = Kq^{N q−1}_qN−1; Km = Kq^m− R^q_q−1^m−1; U = ^K_N; Km = K − mU ; Wakt = Wnom− DH = Wnom(1 − dn);

r = _1−dn^d ; d = _1+nr^r ; P = Wnom(1 + r^∗)^−N; Wk = Wnomr

m; P = Wk1−(q^∗)^−N

q^∗−1 + Wnom(q^∗)^−N; P = ^W_r∗^k; 1 + ^{Y T M}_m
m

− 1 = IRR; P = PN

j=1D_j(1 + r^∗)^−j + P_t(1 + r^∗)^−t; P = P∞

j=1D_j(1 + r^∗)^−j; P = _r^D∗; P = ^D_r⁰∗^(1+g)−g ; P = ^D_r⁰∗^(1+g−g1¹⁾1 − ^1+g_1+r∗¹

n1

 +^D_(r^0(1+g∗−g2¹)(1+r^)n1(1+g∗)ⁿ¹²⁾.