Egzamin z matematyki finansowej, analityka gospodarcza, 28 I 2019, grupa A Informacje dla zdających:

Egzamin z matematyki finansowej, analityka gospodarcza, 28 I 2019, grupa A Informacje dla zdających:

1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.

2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.

3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”

pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.

4. Obowiązują wszystkie konwencje, na które umówiliśmy się podczas kursu (zaokrąglanie do 4 miejsc po przecinku, odpowiedzi słowne do zadań, domyślnie złożony model kapitalizacji wkładów, brak wliczania opodatkowania i inflacji, jeśli nie jest powiedziane inaczej itp.)

Zadania:

1. (200 pkt) Pewien bank oferuje dwie lokaty: na lokacie A z kapitalizacją kwartalną kapitał zwiększa swoją wartość 3-krotnie po 9 latach i 9 miesiącach. Na lokacie B z kapitalizacją ciągłą kapitał podwaja się po 6 latach i 8 miesiącach. Obliczyć nominalne i efektywne roczne stopy procentowe dla obydwu lokat i wskazać, która jest bardziej opłacalna dla klienta.

2. (200 pkt) Inwestycja A wymaga nakładu 250 jp dziś, a przynosi zwrot 120 jp za rok i 153,7 jp za 2 lata. Inwestycja B przy nakładzie 280 jp dziś przynosi następujące zwroty: 100 jp za rok, 75 jp za 2 lata, 110 jp za 4 lata i 35 jp za 5 lat.

a) Obliczyć (w sposób dokładny, nie przybliżony) wewnętrzną stopę zwrotu inwestycji A.

b) Obliczając NPV inwestycji B dla wewnętrznej stopy zwrotu inwestycji A, rozstrzygnąć, czy inwestycja B jest bardziej, czy mniej opłacalna niż inwestycja A.

c) Obliczyć średni czas trwania inwestycji A. Czy inwestycja A jest bardziej, czy mniej korzystna od inwestycji C z tą samą stopą zwrotu ale z średnim czasem trwania 1,7 roku?

3. (200 pkt) Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą miesięczną z góry o ratach w wysokości maksymalnie 50 jp. Jakiej maksymalnej wysokości raty renty półrocznej z dołu można z tego samego kapitału wypłacać przez 13 lat? Zakładamy, że obowiązuje stopa procentowa 12% z kapitalizacją kwartalną.

4. (200 pkt) Zamiast zapłaty za towar w wysokości 10000 jp klient wystawił weksel płatny za 11 miesięcy o wartości nominalnej 12000 jp. Po 3 miesiącach weksel został zamieniony na równoważny mu portfel złożony z weksla A o wartości nominalnej 5000 jp o zapadalności 2 miesiące od chwili tej wymiany oraz weksla B o zapadalności 10 miesięcy od chwili tej wymiany. Obliczyć wartość nominalną weksla B oraz roczną stopę procentową zwrotu z weksla A, jeśli stopa dyskontowa używana do wyceny wszystkich weksli była taka sama?

5. (100 pkt) Jak w trakcie spłacania długu za pomocą modelu równych rat łącznych zmieniają się: dług bieżący po spłacie kolejnej raty, części kapitałowe i odsetkowe kolejnych rat? Przedstawić możliwie dokładną odpowiedź.

2

Wzory:

¯

r = _m^r; KN = K0(1 + N r); KN = K0(1 + r)^N; Kt = Ke^rt; ref = (1 + r)^m− 1; ref = ln(1 + r);

r_ef = e^r − 1; r = (1 − p)r; 1 + R = (1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ² · . . . · (1 + r_p)^np; r_prz = p(1 + r^N ₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ² · . . . · (1 + r_p)^np − 1; K_re,t = _1+i^Kt

C; (1 + r_re)(1 + i) = (1 + r); r_re = ^r−i_1+i; K = K₀(1 + wi); i_c = (1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ² · . . . · (1 + i_p)^np − 1; i_prz = ^N√

1 + i_c − 1;

i_prz = p(1 + i^N ₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ² · . . . · (1 + i_p)^np − 1; K_N = K(1 + r)^N; N P V (r) = PN

j=0C_j(1 + r)^−tj;

N P V (r^∗) = 0; D = _P¹ PN

j=1t_jC_j(1 + r^∗)^−tj; S_k = W^q_q−1^k−1; Sk= W q^q_q−1^k−1; Sk = R^q_q−1^k−1; Sk = Rq^q_q−1^k−1; P V = SNq^−N; Rw = Kr; Rw = ^Kr_q ; Sk =

(R^qk_q−a^−ak, q 6= a;

kRq^k−1, q = a. ;

S_k =

(Rq^qk_q−a^−ak, q 6= a;

kRq^k, q = a. ; Kq^N = S_N; K_N = Kq^N − S_N;

Km = PN

j=m+1Rjq^m−j = Kq^m − Pm

j=1Rjq^m−j; KN = 0; Rm = Um + Im; Im = Km−1r;

Um = Km−1 − Km; Km = Km−1 − Um; PN

j=1Uj = K; Km = K − Pm j=1Uj; R = Kq^{N q−1}_qN−1; Km = Kq^m− R^q_q−1^m−1; U = ^K_N; Km = K − mU ; Wakt = Wnom− DH = Wnom(1 − dn);

r = _1−dn^d ; d = _1+nr^r ; P = Wnom(1 + r^∗)^−N; Wk = Wnomr

m; P = Wk1−(q^∗)^−N

q^∗−1 + Wnom(q^∗)^−N; P = ^W_r∗^k; 1 + ^{Y T M}_m
m

− 1 = IRR; P = PN

j=1D_j(1 + r^∗)^−j + P_t(1 + r^∗)^−t; P = P∞

j=1D_j(1 + r^∗)^−j; P = _r^D∗; P = ^D_r⁰∗^(1+g)−g ; P = ^D_r⁰∗^(1+g−g1¹⁾1 − ^1+g_1+r∗¹

n1

 +^D_(r^0(1+g∗−g2¹)(1+r^)n1(1+g∗)ⁿ¹²⁾.