Sprawdzian zaliczeniowy z matematyki finansowej, analityka gospodarcza, zima 2018 Grupa A Rozwiązania:

Sprawdzian zaliczeniowy z matematyki finansowej, analityka gospodarcza, zima 2018 Grupa A

Rozwiązania:

1. (200 pkt) Na lokatę o kapitalizacji półrocznej z nominalną roczną stopą procentową 18% wpła- cono 2500 jp. Po 1,5 roku zmieniono model kapitalizacji na ciągły, jednocześnie zmieniając nominalną roczną stopę procentową tak, by opłacalność lokaty była zachowana. 15 miesięcy później zmieniono kapitalizację na tej lokacie na kwartalną, jednocześnie podnosząc nominalną roczną stopę procentową o 3 punkty procentowe. Po jakim czasie od założenia lokaty znajdzie się na niej co najmniej 7000 jp, jeśli rok i 10 miesięcy od jej rozpoczęcia dodatkowo wpłacono na nią 500 jp?

Przykładowe rozwiązanie: Kapitał początkowy K₀ = 2500. Stopa procentowa w pierwszym 1,5 roku (dostosowana do okresu kapitalizacji) r₀ = 0, 09/pół roku. Zatem K₁ - kapitał na koncie po 1, 5 roku to:

K₁ = 2500(1 + 0, 09)³ = 3237, 5725.

W tym momencie nominalna roczna stopa procentowa zmieniła się na stopę r2 taką, że:

r₂ = ln(1, 09)² = 0, 1724.

Dlatego po roku i 10 miesiącach na lokacie było K₂ kapitału:

K₂ = 3237, 5725e^13·0,1724 = 3429, 0748.

W tym momencie dopłacono 500 i otrzymano K₃:

K₃ = K₂+ 500 = 3929, 0748.

Po kolejnych 11 miesiacach na lokacie było K₄:

K₄ = 3929, 0748e^1112·0,1724= 4601, 7530.

W tym momencie nominalna roczna stopa procentowa zmieniła się na stopę r₃ taką, że:

r₃ = r₂+ 0, 03 = 0, 2024.

Od tego momentu upłynie N kwartałów, obliczonych z równania:

7000 = 4601, 7530(1 + 1

4 · 0, 2024)^N ⇒ 1, 5212 = 1, 0506^N ⇒ N ≈ 8, 5 Ponieważ N musi być liczbą całkowitą, wynik zaokrąglamy w górę do N = 9.

Ostateczny wynik to 1, 5 roku + 15 miesięcy + 9 kwartałów, czyli 5 lat.

Odp: 7000 jp. na lokacie znajdzie się po 5 latach od jej założenia.

2. (200 pkt) Na pewnej lokacie, na której obowiązywała kapitalizacja miesięczna z nominalną roczną stopą procentową 21%, wartość realna kapitału podwoiła się w ciągu 4 lat. W ciągu 4 kwartałów pierwszego roku lokaty kwartalna stopa inflacji wynosiła odpowiednio: 1%, 1%, 1%, 2%, w drugim i trzecim roku lokaty roczna stopa inflacji wynosiła odpowiednio 4% i 3%. Wyznaczyć:

a) roczną stopę inflacji w czwartym roku obowiązywania lokaty;

b) przeciętną roczną stopę inflacji w całym okresie 4 lat obowiązywania lokaty;

c) roczną realną stopę zwrotu w pierwszym roku obowiązywania lokaty.

Przykładowe rozwiązanie:

Przy założeniu, że kapitał początkowy wyniósł K₀, możemy obliczyć kapitał nominalny na lokacie po 4 latach:

K_4nom = K₀(1 + 0, 21

12 )⁴⁸ = 2, 2996K₀.

Ponieważ wartość realna kapitału po 4 latach spełnia równanie: K_4re = 2K₀, możemy obliczyć całkowitą inflację 4-letnią i_c.

K_4re = K_4nom

1 + i_c ⇒ i_c= 0, 1498.

W dalszych obliczeniach przyda nam się też i₁ - inflacja roczna w pierwszym roku:

2

1 + i₁ = (1, 01)³(1, 02) ⇒ i₁ = 0, 0509 oraz efektywna roczna stopa zwrotu z lokaty:

ref = (1 + 0, 21

12 )¹²− 1 = 0, 2314 Jeśli i₄ jest roczną stopą inflacji w czwartym roku to:

1 + i_c = (1 + i₁)(1, 04)(1, 03)(1 + i₄) ⇒ i₄ = 0, 0214.

Przeciętna roczna stopa inflacji przez cały czas obowiązywania lokaty to:

i_prz =√⁴

1 + i_c− 1 = 0, 0355.

i wreszcie realną roczną stopę zwrotu w pierwszym roku obowiązywania lokaty obliczamy ze wzoru:

rre1 = r_ef − i₁

1 + i₁ = 0, 1718.

Odp: Roczna stopa inflacji w czwartym roku to 0, 0214, przeciętna roczna stopa inflacji wynosi 0, 0355, a roczna realna stopa zwrotu w pierwszym roku lokaty wyniosła 0, 1718.

3. (200 pkt) Załóżmy, że preferencja czasowa zarówno dłużnika, jak i wierzyciela wyrażona jest stopą procentową 13% rocznie. Jaką miesięczną stopą procentową wyraża się ich preferencja czasowa?

Rozważają oni 4 sposoby spłaty długu:

a) w jednej racie 3000 jp, dzisiaj;

b) w trzech ratach: 1000 jp za 2 miesiące, 1000 jp za 6 miesięcy i 1300 jp za rok;

c) w dwóch ratach: 500 jp za pół roku i 3200 jp za 2 lata;

d) W jednej racie 4000 jp, za 2,5 roku.

Który z tych sposobów jest najkorzystniejszy dla dłużnika, a który dla wierzyciela? Przedstawić obliczenia uzasadniające odpowiedź.

Przykładowe rozwiązanie:

Miesięczna stopa preferencji czasowej wynosi:

r = (1, 13)¹²¹ − 1 = 1, 0102.

Obliczam wartość zaproponowanych spłat na moment 0.

a) P V = 3000.

b) P V = 1000(1 + r)⁻²+ 1000(1 + r)⁻⁶+ 1300(1 + r)⁻¹² = 979, 9080 + 940, 9267 + 1150, 4425 = 3071, 2772.

c) P V = 500(1 + r)⁻⁶+ 3200(1 + r)⁻²⁴= 470, 4634 + 2508, 2639 = 2978, 7273.

d) P V = 4000(1 + r)⁻³⁰ = 2950, 1158.

Odp: Najkorzystniejszy dla wierzyciela jest drugi sposób, a dla dłużnika czwarty.