Sprawdzian zaliczeniowy z matematyki finansowej, analityka gospodarcza, zima 2018 Grupa B Rozwiązania:

Sprawdzian zaliczeniowy z matematyki finansowej, analityka gospodarcza, zima 2018 Grupa B

Rozwiązania:

1. (200 pkt) Na lokatę o kapitalizacji miesięcznej z nominalną roczną stopą procentową 15%

wpłacono 3000 jp. Po 10 miesiącach zmieniono model kapitalizacji na półroczny, jednocześnie zmie- niając nominalną roczną stopę procentową tak, by opłacalność lokaty była zachowana. 2 lata później zmieniono kapitalizację na tej lokacie na ciągłą, jednocześnie obniżając nominalną roczną stopę pro- centową o 2 punkty procentowe. Po jakim czasie od założenia lokaty znajdzie się na niej co najmniej 6500 jp, jeśli rok i 4 miesiące od jej rozpoczęcia wypłacono z niej 750 jp?

Przykładowe rozwiązanie: Kapitał początkowy K₀ = 3000. Stopa procentowa w pierwszych 10 miesiącach (dostosowana do okresu kapitalizacji) r₀ = 0, 0125/miesiąc. Zatem K₁ - kapitał na koncie po 10 miesiącach roku to:

K₁ = 3000(1 + 0, 0125)¹⁰= 3396, 8125.

W tym momencie nominalna roczna stopa procentowa zmieniła się na stopę r₂ taką, że:

r₂

2 = (1 + 0, 0125)⁶ = 1 = 0, 0774 ⇒ r₂ = 0, 1548.

Dlatego po roku i 4 miesiącach na lokacie było K2 kapitału:

K2 = 3396, 8125(1 + 0, 0774) = 3659, 7258.

W tym momencie wypłacono 750 i otrzymano K3:

K₃ = K₂− 750 = 2909, 7258.

Po kolejnym 1,5 roku na lokacie było K4:

K₄ = 2909, 7258(1 + 0, 0774)³ = 3639, 0077.

W tym momencie nominalna roczna stopa procentowa zmieniła się na stopę r3 taką, że:

r₃ = r₂− 0, 02 = 0, 1348.

Od tego momentu upłynie t lat, obliczonych z równania:

6500 = 3639, 0077e^0,1348t ⇒ 0, 5801 = 0, 1348t ⇒ t = 4, 3035 Ponieważ kapitalizacja jest ciągła, nie musimy zaokrąglać wyniku.

Ostateczny wynik to 10 miesięcy + 2 lata + 4, 3035 roku, czyli 7, 1367 lat.

Odp: 6000 jp. na lokacie znajdzie się po 7, 1367 latach od jej założenia.

2. (200 pkt) Na pewnej lokacie, na której obowiązywała kapitalizacja kwartalna z nominalną roczną stopą procentową 26%, wartość realna kapitału potroiła się w ciągu 5 lat. W ciągu 4 półroczy pierwszych dwóch lat obowiązywania lokaty półroczna stopa inflacji wynosiła odpowiednio: 3%, 2%, 2%, 4%, w czwartym i piątym roku lokaty roczna stopa inflacji wynosiła odpowiednio 3% i 1%.

Wyznaczyć:

a) roczną stopę inflacji w trzecim roku obowiązywania lokaty;

b) przeciętną roczną stopę inflacji w całym okresie 5 lat obowiązywania lokaty;

c) roczną realną stopę zwrotu w drugim roku obowiązywania lokaty.

Przykładowe rozwiązanie:

Przy założeniu, że kapitał początkowy wyniósł K₀, możemy obliczyć kapitał nominalny na lokacie po 5 latach:

K_5nom = K₀(1 + 0, 26

4 )²⁰ = 3, 5236K₀.

Ponieważ wartość realna kapitału po 5 latach spełnia równanie: K_5re = 3K₀, możemy obliczyć całkowitą inflację 5-letnią i_c.

K_5re = K_5nom 1 + ic

⇒ i_c= 0, 1745

2

W dalszych obliczeniach przyda nam się też i₂ - inflacja roczna w drugim roku:

1 + i₂ = (1, 02)(1, 04) ⇒ i₂ = 0, 0608 oraz efektywna roczna stopa zwrotu z lokaty:

ref = (1 + 0, 26

4 )⁴− 1 = 0, 2865 Jeśli i₃ jest roczną stopą inflacji w trzecim roku to:

1 + i_c= (1, 02)²(1, 03)(1, 04)(1 + i₃)(1, 03)(1, 01) ⇒ i₃ = 1, 0130.

Przeciętna roczna stopa inflacji przez cały czas obowiązywania lokaty to:

iprz =√⁵

1 + ic− 1 = 0, 0327.

i wreszcie realną roczną stopę zwrotu w drugim roku obowiązywania lokaty obliczamy ze wzoru:

r_re2 = r_ef − i₂

1 + i₁ = 0, 2128.

Odp: Roczna stopa inflacji w trzecim roku to 0, 0130, przeciętna roczna stopa inflacji wynosi 0, 0327, a roczna realna stopa zwrotu w drugim roku lokaty wyniosła 0, 2128.

3. (200 pkt) Załóżmy, że preferencja czasowa zarówno sprzedawcy, jak i kupującego wyrażona jest stopą procentową 17% rocznie. Jaką kwartalną stopą procentową wyraża się ich preferencja czasowa?

Rozważają oni 4 sposoby zapłaty za towar:

a) w jednej racie 5000 jp, dzisiaj;

b) w dwóch ratach: 4000 jp za 9 miesięcy, 2000 jp za 2 lata;

c) w trzech ratach: 2500 jp za 3 miesiące, 1200 jp za rok i 2200 jp za 2,5 roku;

d) W jednej racie 6300 jp, za 1,5 roku.

Który z tych sposobów jest najkorzystniejszy dla sprzedawcy, a który dla kupującego? Przedstawić obliczenia uzasadniające odpowiedź.

Przykładowe rozwiązanie:

Kwartalna stopa preferencji czasowej wynosi:

r = (1, 17)¹⁴ − 1 = 1, 0400.

Obliczam wartość zaproponowanych spłat na moment 0.

a) P V = 5000.

b) P V = 4000(1 + r)⁻³+ 2000(1 + r)⁻⁸ = 3555, 9854 + 1461, 3804 = 5017, 3658.

c) P V = 2500(1 + r)⁻¹+ 1200(1 + r)⁻⁴+ 2200(1 + r)⁻¹⁰ = 2403, 8462 + 1025, 7650 + 1486, 2412 = 4915, 8524.

d) P V = 6300(1 + r)⁻⁶ = 4978, 9815.

Odp: Najkorzystniejszy dla sprzedawcy jest drugi sposób, a dla kupującego trzeci.