Pole elektryczne przepływowe

Wykład II. ELEMENTY I PODSTAWOWE UKŁADY REZYSTANCYJNE

Pole elektryczne przepływowe

Jeśli zewnętrzne źródło pola elektrycznego wymusza uporządkowany ruch (przepływ) ładunków w ciele przewodzącym, czyli odpływ z niego jednych ładunków jest równoważony dopływem do nie- go innych ładunków, to mamy do czynienia z polem elektrycznym przepływowym.

Jeśli przy tego rodzaju przemieszczaniu się i wymianie nośników prądu, przestrzenny rozkład ła- dunków w ciele przewodzącym nie zmienia się z upływem czasu, to wówczas nie indukuje się w nim pole wewnętrzne. W takiej sytuacji mówi się, że źródło wytwarza, a w ciele przewodzącym występuje, pole elektryczne przepływowe stacjonarne. Z przepływowym stacjonarnym polem elek- trycznym związany jest przepływ prądu stałego.

Zjawisko prądu elektrycznego ma dynamiczny charakter. Nośniki prądu zderzają się ze sobą i z innymi cząstkami, przy czym wytracają prędkość, następnie oddalają się od siebie nabierając pręd- kość, znowu się zderzają itd. Średnia prędkość przemieszczania się nośników prądu v, tj. średnia prędkość ich uporządkowanego ruchu, równa wektorowi średniej prędkości między ich zderzenia- mi, zależy wprost proporcjonalnie od wartości ładunku nośnika prądu i natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E, oraz w pewnym stopniu – od pobudzenia termicznego atomów (czyli od temperatury ciała).

Natężenie prądu elektrycznego i gęstość prądu

Wielkością skalarną charakteryzującą zjawisko prądu elektrycznego jest natężenie prądu elektrycz- nego, krótko: prąd elektryczny, i. Jest to graniczna wartość stosunku hipotetycznego (umownego) dodatniego ładunku elektrycznego ∆Q, przepływającego przez przekrój przewodnika S w czasie ∆^t, do tego czasu:

dt dQ t i Q

t =

= → ∆∆

∆lim0 . (1.6a) Prąd niezmienny w czasie i(t) = I = const. nazywa się prądem stałym.

Jednostką prądu elektrycznego, jak już powiedziano, jest amper (A).

Wielkością wektorową charakteryzującą zjawisko prądu elektrycznego jest gęstość prądu elek- trycznego J (oznaczenie rezerwowe δδδδ). Jest to graniczna wartość stosunku prądu elektrycznego ∆^i, do pola płata powierzchni ∆S, przez którą ten prąd przepływa, i która jest prostopadła do wektora prędkości v uporządkowanego ruchu ładunków dodatnich:

v

S v dS

di S

i 1 1

J = ⋅ = ⋅

→ ∆∆

∆lim0 , (1.6b) gdzie:

v

1ν = v – wektor kierunkowy prędkości v.

Ładunek ∆q, przepływający w czasie ∆t z prędkością v przez płat powierzchni prostopadłej do v, o przekroju ∆S, zapełnia przestrzeń o objętości ∆S⋅∆^l= ∆S⋅∆t⋅v i wytwarza prąd ∆^{i =} ∆^q/∆^t.

Gęstość objętościowa ładunku wyraża się więc wzorem

v S

i v

t S

q l

S q

S t

S l

q S

lim 1 lim 1

lim

0 0

0 0

0 ⋅ = ⋅

= ⋅

= ⋅

→→ →

→→ ∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆ ρ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ , (1.6c)

który w połączeniu z (1.6b) daje zależność definicyjną gęstości prądu jako wielkości związanej z objętościową gęstością ładunków ρq oraz ich prędkością v:

v 1

1

J = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

→ v q v q

S v

S

i ρ ρ

∆∆

∆lim0 . (1.6d) Pole przepływowe związane z prądem stałym J(t) = J = const. nazywa się polem przepływowym stacjonarnym (ustalonym).

Jednostką gęstości prądu elektrycznego jest amper na metr do kwadratu (A m^-2).

Strzałkowanie prądu elektrycznego

Prąd elektryczny to – podobnie jak napięcie elektryczne i potencjał elektryczny – wielkość skalarna i trudno mówić, ściśle rzecz biorąc, o jego zwrocie lub kierunku. Używa się jednak tych terminów (wymiennie) w celu graficznego zaznaczenia, poprzez strzałkowanie, zwrotu prędkości uporząd- kowanego ruchu ładunków dodatnich (rzeczywistych bądź hipotetycznych), przy znanym torze i kierunku tego ruchu w ciele. Przyjęcie ruchu ładunku dodatniego za podstawę określenia zwrotu (kierunku) założonej dodatniej wartości prądu ma charakter umowy porządkującej, o znaczeniu historycznym.

Przyjęty sposób strzałkowania prądu elektrycznego objaśniono obok na rysunku. Symbolem graficznym jest strzałka o grocie zamkniętym, niezaczernionym. Przy tej strzałce umieszcza się znak literowy prądu.

Prawo Ohma. Rezystancja i konduktancja

Średnia prędkość nośników prądu (głównie - elektronów w przewodnikach I rodzaju) zależy wprost proporcjonalnie od wartości pojedynczego ładunku i natężenia zewnętrznego pola elektrycznego oraz w pewnym stopniu - od temperatury ciała. Jeśli rozważamy ciała wykonane z tego samego materiału, to liczba nośników prądu w określonej objętości, czyli gęstość objętościowa ładunku, jest w zasadzie stała. Prędkość v uporządkowanego ruchu umownych ładunków dodatnich ma ten sam kierunek i zwrot, jak natężenie pola elektrycznego E, tzn. linie prądowe (gęstości prądu) po- krywają się z liniami pola elektrycznego.

Wzór (1.6d), po uwzględnieniu powyższych związków, przyjmuje formę:

J = ⋅γ E , (1.7a) znaną jako postać różniczkowa (wektorowa) prawa Ohma.

Spotyka się też równoważną postać tego wyrażenia:

E= ⋅ρ J . (1.7b) Wielkość γ nazywa się przewodnością właściwą lub konduktywnością materiału, natomiast jej odwrotność ρ⁼ γ

1 nosi nazwę oporu właściwego lub rezystywności.

Jedną bądź drugą wartość tych wielkości podaje się jako podstawową stałą materiałową przewodni- ka w określonej temperaturze. Rezystywność (konduktywność) różnych przewodników ma oczywi- ście różne wartości.

Jednostki rezystywności i konduktywności oraz zależność ρ od temperatury zostaną przedstawione później.

Element przewodzący, w którym płynie prąd i, a między którego końcami występuje napięcie u, został podzielony powierzchniami ekwipotencjalnymi na plasterki, zaś te plasterki – na elementarne rurki prądu (rys.).

i

∆l J, E

∆ⁱ S

i

∆u

∆V V

V+∆^V u

l

∆^S

Przyjmując, że w rurce o przekroju ∆S i długości ∆l występuje: prąd ∆i, gęstość prądu J, natężenie pola E i napięcie ∆u (oraz różnica potencjałów ∆V między podstawami plasterka, skierowana prze- ciwnie do napięcia ∆u), można dla wielkości skalarnych napisać: ∆i= J⋅∆S, ∆u=E⋅∆l.

Wynikającą stąd i ze wzoru (1.7a), zależność

l u S

i

∆ γ ∆

∆

∆ _{= ⋅}

, zapisuje się następująco:

i R

u ∆ ∆

∆ = ⋅ lub ∆i=∆G⋅∆u , (1.8a, b) gdzie:

S l S

R l

∆

∆ ρ

∆ γ

∆ ∆ = ^⋅

= ⋅ ;

l S l

G S

∆ ρ

∆

∆

∆

∆ γ

= ⋅

= ⋅ ;

G R

∆ = ∆¹ . (1.8c, d, e) Sumując prądy elementarnych rurek otrzymuje się prąd całkowity elementu

⁼

∑

⁼

∑

^⋅

S S

u G i

i ∆ ∆ ∆ , stąd „napięcie plasterka”

=

∑

S

G u i

∆ ∆ ^.

Sumując napięcia elementarnych rurek (plasterków) otrzymuje się napięcie całkowite elementu

∑

⁼

∑ ∑

^⋅

=

l l

S

G i u

u ∆ ¹∆ ^.

Po przejściu do elementarnych przyrostów: długości dl i powierzchni dS przekroju ciała, oraz ozna- czeniu

∫ ∫

^⋅

=

l S

dS R dl

γ , (1.9) dochodzi się do zależności znanej jako postać całkowa (skalarna) prawa Ohma:

i R

u= ⋅ , (1.10a) gdzie: R – rezystancja (opór elektryczny) elementu.

Wyrażenie to bywa określane jako odmiana rezystancyjna postaci całkowej prawa Ohma. Zapis równoważny, określany jako odmiana konduktancyjna, wyraża się wzorem

u G

i= ⋅ , (1.10b) gdzie: G – konduktancja (przewodność) elementu, tj. odwrotność jego rezystancji -

G= R1

. (1.10c) Występujące wcześniej, we wzorach: (1.8...): ∆^{R i} ∆G, można zatem nazwać rezystancją i konduk- tancją elementarnej rurki prądu.

Jednostką rezystancji jest om (Ω), jednostką konduktancji - simens (S), czyli odwrotność oma (1 S = 1 Ω^-1).

Przy prądzie stałym: i(t) = I = const., u(t) = U = const., wobec czego:

I R

U = ⋅ lub I =G⋅U . (1.10d, e)

Rezystancja odcinka przewodu. Jednostki rezystywności i konduktywności

W przypadku odcinka przewodu, tzn. elementu przewodzącego o dłu- gości l, stałym przekróju S i stałej konduktywności γ (w całej objęto- ści), ze wzoru (1.9) otrzymuje się natychmiast

S l S

R l = ⋅

= ⋅ ρ

γ , a stąd

l G=γ ⋅S

. (1.11a, b) Korzystając ze wzoru (1.11a) lub (1.11b) określa się jednostki rezystywności ρ i konduktywności γ^. Używane są następujące jednostki ρ^: Ω m, Ω cm, Ω mm²/m, oraz jednostki γ : S/m, S/cm, m/(Ω^.mm²).

S

l γ

Rezystancja skrośna kabla (izolacji żyły względem powłoki)

Przewodzenie prądu zachodzi między dwiema powierzchniami wal- cowymi o promieniach r₁ i r₂ , długości l, w środowisku o γ ^{= const.}

Podstawienie do wzoru (1.9): dl=dr i dS l r

S

∫

=2π⋅ ⋅ , daje wynik

1

ln 2

2 1 2

1 ²

1 r

r l r

l R dr

r

r

⋅

=

⋅

=_γ

∫

_{π πγ} . (1.12)

Rezystancja przejścia między kulą a nieskończonym środowiskiem

Przewodzenie prądu zachodzi między powierzchnią kulistą elektrody o promieniu r0 a nieskończonym środowiskiem o γ = const. We wzo- rze (1.9) podstawia się: dl=dr i dS r

S

∫

=4π⋅ ² , co daje wynik

0

2 4

1 4

1

0 r r

R dr

r π πγ

γ ^{⋅ =}

= ^∞

∫

. (1.13)

Prawo Joule’a

Wg prawa Joule’a, energia dostarczana ze źródła do elementu rezystancyjnego wydziela się w nim w postaci ciepła. Zostaną wyznaczone zależności na tę energię oraz moc prądu elektrycznego (przy zastosowaniu przyjętych wyżej oznaczeń wielkości elektrycznych).

Przy przepływie ładunku ∆Q w czasie dt przez elementarną rurkę prą- du (rys.) zużywana jest energia

dt u G dt i R dt i u Q u W

d∆ =∆ ⋅∆ =∆ ⋅∆ ⋅ =∆ ⋅∆ ²⋅ =∆ ⋅∆ ²⋅ . (1.14a) Moc chwilowa prądu elektrycznego w elementarnej rurce wynosi

2

2 G u

i R i dt u

W

p d∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ , (1.14b) a przestrzenna (objętościowa) gęstość mocy pola przepływowego –

2

2 E

J J

S E l

i u

P = ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅

= ⋅ ρ γ

∆

∆

∆

ρ ∆ . (1.14c)

Przy przepływie prądu i w czasie dt przez element o rezystancji R zużywana jest energia dt

u G dt i R dt i u

dW = ⋅ ⋅ = ⋅ ²⋅ = ⋅ ²⋅ . (1.15a) Moc chwilowa prądu elektrycznego w tym elemencie wynosi więc

2

2 G u

i R i u

p= ⋅ = ⋅ = ⋅ . (1.15b) zaś energia wydzielająca się w czasie t, w postaci ciepła -

∫

^⋅

= ^t p dt W

0

. (1.15c) Przy prądzie stałym, zależności (1.15b) i (1.15c) przybierają formy:

2

2 G U

I R I U

P= ⋅ = ⋅ = ⋅ . (1.16a) t

U G t I R t I U t P

W = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ²⋅ = ⋅ ²⋅ . (1.16b) Zależności: (1.14c), (1.15b), (1.16a) i (1.16b), przedstawiają różne odmiany prawa Joule’a.

r2

l γ

r1

r0

γ

∆^S

∆^l J, E

∆ⁱ

∆^u γ

Zależność rezystancji od temperatury

Część ciepła, wydzielonego w elemencie rezystancyjnym, jest w nim akumulowana. Wyrazem tego jest wzrost temperatury przewodnika przy przepływie prądu.

Wraz ze zmianami temperatury materiału przewodzącego zmienia się w określony sposób rezy- stywność (konduktywność) tego materiału, i podobnie – rezystancja (konduktancja) elementu rezy- stancyjnego. Dla przedziału normalnie występujących przyrostów temperatury można zadowolić się liniową aproksymacją zależności przyrostu rezystywności ∆ρ (rezystancji ∆R) od przyrostu tempe- ratury ∆ϑ. Przyrosty wszystkich wielkości odnoszone są przy tym do ich wartości w temperaturze 20°C, tzn. ∆ϑ ⁼ ϑ – 20 , przy czym: [ϑ] = °C, [∆ϑ^{] = K;} ∆ρ ⁼ ρ ^– ρ20 ; ∆^{R = R – R}20 .

Przyrost rezystywności wyraża się wzorem:

( ) ( )

∆ϑ ρ ϑ ρ ρ α ∆ϑ ρ

∆ ρ

∆ = = − ₂₀ = ₂₀⋅ ₂₀⋅ , (1.17a) a stąd – rezystywność:

( )

ϑ ρ

(

α ∆ϑ

)

ρ

ρ = = ₂₀⋅ 1+ ₂₀⋅ , (1.17b) gdzie: α²⁰ – temperaturowy współczynnik rezystywności (rezystancji).

W przypadku większości czystych metali można przyjmować α20 = 4⋅10^-3 K^-1. Dotyczy to m.in.

przewodów miedzianych, używanych powszechnie do wykonywania różnych połączeń oraz uzwo- jeń elektrycznych.

Do wyrobu oporników używa się materiałów będących stopami kilku metali. Rezystywność tych stopów praktycznie nie zależy od temperatury.

Rezystancje nieliniowe i liniowe

Jeśli prąd lub napięcie elementu nie powodują zmiany jego re- zystancji (R = const.), to zależności: i(u) – prądu i od napięcia u, oraz u(i) – napięcia u od prądu i, są liniowe (linia ciągła na rys.).

W razie występowania zmian rezystancji, uzależnionych od prą- du lub napięcia (związanych np. ale niekoniecznie ze zmianami temperatury), charakterystyki i(u) i u(i) elementów rezystancyj- nych są nieliniowe (linia przerywana na rys.). Odpowiednio do tego, rezystancje (rezystory) określa się mianem liniowych lub nieliniowych.

Wszystkie rezystory są – w mniejszym lub większym stopniu – nieliniowe. Charakterystykę liniową rezystancji trzeba zatem traktować jako idealizację obiektu rzeczywistego.

Rezystancja liniowa jest jednoparametrycznym modelem rezystora. Stałość parametru R stanowi o analitycznej przydatności liniowego modelu rezystancji.

Szeregowe połączenie rezystancji liniowych

Zostaną określone parametry zastępcze układu szeregowo połączonych rezystorów liniowych.

Z zależności:

∑ ∑

=

=

⋅

=

⋅

=

= ⁿ

k k n

k

k R I R I

U U

1 1

oraz R G1

= i

k

k G

R 1

= , otrzymuje się:

∑

=

= ⁿ

k

Rk

R

1

oraz

∑

=

= ⁿ

k Gk

G ₁

1

1 . (18a, b) u

i

≡

I R

U I R1 R2 Rn

U1 U2 Un

U

Równoległe połączenie rezystancji liniowych

Zostaną określone parametry zastępcze układu równolegle połączonych rezystorów liniowych.

∑

∑

=

=

⋅

=

⋅

=

= ⁿ

k k n

k

k G U G U

I I

1 1

oraz G R1

= i

k

k R

G 1

= ,

stąd

∑

=

= ⁿ

k

Gk

G

1

(1.19a)

oraz

∑

=

= ⁿ

k Rk

R ₁

1

1 . (1.19b)

Przekształcenie gwiazda-trójkąt i odwrotne

Zostaną określone zależności między parametrami obu układów, spełniające warunki równoważno- ści ze względu na wielkości zaciskowe.

(

1 2

)

12

12 G V V

I = − ,

(

2 3

)

23

23 G V V

I = − ,

(

3 1

)

31

31 G V V

I = − ;

(

V VN

)

G

I₁= _{1 1}− ,

(

V VN

)

G

I₂ = _{2 2} − ,

(

V VN

)

G

I₃ = _{3 3} − ;

31 12

1 I I

I = − , I₂ =I₂₃−I₁₂ , I₃ =I₃₁−I₂₃ ⇒ (prądy dopływające trójkąta);

3 0

2 1+I +I =

I ⇒

3 2 1

3 3 2 2 1 1

G G G

V G V G V V_N G

+ +

⋅ +

⋅ +

= ⋅ ⇒ (prądy dopływające gwiazdy);

(prądy dopływające trójkąta) (prądy dopływające gwiazdy)

(

1 2

)

31

(

1 3

)

12

1 G V V G V V

I = ⋅ − + ⋅ −

≡

[

2

(

1 2

)

3

(

1 3

) ]

3 2 1

1

1 G V V G V V

G G G

I G ⋅ ⋅ − + ⋅ −

+

= + ,

(

2 3

)

12

(

2 1

)

23

2 G V V G V V

I = ⋅ − + ⋅ −

≡

[

1

(

2 1

)

3

(

2 3

) ]

3 2 1

2

2 G V V G V V

G G G

I G ⋅ ⋅ − + ⋅ −

+

= + ,

(

3 1

)

23

(

3 2

)

31

3 G V V G V V

I = ⋅ − + ⋅ −

≡

[

1

(

3 1

)

2

(

3 2

) ]

3 2 1

3

3 G V V G V V

G G G

I G ⋅ ⋅ − + ⋅ −

+

= + .

Porównując współczynniki przy tych samych napięciach (różnicach potencjałów) – w wyrażeniach na prądy dopływające gwiazdy i trójkąta – otrzymuje się wzory:

3 2 1

2 1

12 G G G

G G G

+ +

= ⋅ ,

3 2 1

3 2

23 G G G

G G G

+ +

= ⋅ ,

3 2 1

1 3

31 G G G

G G G

+ +

= ⋅ , (1.20a)

a po odpowiednim ich przekształceniu:

23 31 12 31 12

1 G

G G G

G

G = + + ⋅ ,

31 23 12 23 12

2 G

G G G

G

G = + + ⋅ ,

12 31 23 31 23

3 G

G G G

G

G = + + ⋅ ; (1.20b)

3 2 1 2 1

12 R

R R R

R

R = + + ⋅ ,

1 3 2 3 2

23 R

R R R

R

R = + + ⋅ ,

2 1 3 1 3

31 R

R R R

R

R = + + ⋅ , (1.20c)

31 23 12

31 12

1 R R R

R R R

+ +

= ⋅ ,

31 23 12

23 12

2 R R R

R R R

+ +

= ⋅ ,

31 23 12

31 23

3 R R R

R R R

+ +

= ⋅ . (1.20d)

≡

I R U I

U In Gn

I1 G1

I2 G2

≡

I1

I2

I3

U31

U12

U23

V1

V2

V3

1

2

3

G12

G₂₃

G31

I12

I23

I31

I1

I2

I3

U31

U12

U23

V1

V2

V3

1

2

3

G1

G₂

G3

VN