Projekt pn. "IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK"
realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
Kurs wyrównawczy - statystyka i prawdopodobie«stwo do przedmiotu: Metody i modele probabilistyczne I rok II st. informatyka
Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy
1. Funkcje charakterystyczne, tworz¡ce rozkªad i generuj¡ce momenty zmiennych losowych
Zad. 1.1 Wyznacz funkcj¦ charakterystyczn¡ zmiennej losowej X o g¦sto±ci
f (x) =
1
2 1 −12|x|
, |x| ≤ 2,
0, w p.p.
Zad. 1.2 Sprawd¹, czy suma niezale»nych zmiennych losowych X i Y o rozkªadach a. Poissona z parametrami λ1 i λ2 odpowiednio,
b. wykªadniczych z tym samym parametrem λ,
ma równie» rozkªad odpowiednio Poissona i wykªadniczy. Z jakimi parametrami?
Zad. 1.3 Korzystaj¡c z funkcji charakterystycznej oblicz drugi moment zwykªy zmiennej losowej o rozkªadzie U(−3, 3).
Zad. 1.4 Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X jest postaci a. ϕX(t) = 1+cos t2 ,
b. ϕX(t) = exp(2it − 3|t|). Znajd¹ rozkªad zmiennej X.
Zad. 1.5 Niech Xn, Yn b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach: Xn jed- nostajnym na odcinku (−n1,n1), za± Yn dyskretnym postaci
P
Yn= 1 + 1 n
= P
Yn = −1 + 1 n
= 1 2. Niech ponadto Zn= 2Xn+ Yn.
a. Wyznacz funkcj¦ charakterystyczn¡ zmiennej Zn. b. Wyznacz granic¦ wedªug rozkªadu zmiennej Zn.
Zad. 1.6 Wyznacz funkcj¦ tworz¡c¡ dla zmiennej X o rozkªadzie a. Poissona,
b. geometrycznym.
Zad. 1.7 Wyznacz funkcj¦ generuj¡c¡ momenty dla zmiennej X o rozkªadzie wykªad- niczym E(λ), nast¦pnie oblicz EXk.
Projekt wspóªnansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego