Statystyka matematyczna (2 mie, 2013/2014)
5. Obci¡»enie, ryzyko i mocna zgodno±¢ estymatorów
w. 5.1 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie dwumianowym B(n, p), gdzie p ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych a, b, c, znale¹¢
estymator nieobci¡»ony parametru θ = ap2 + bp + c.
w. 5.2 Niech X = (X1, . . . , Xn)b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu Poissona P(λ) oraz
ˆ g(X) =
1 − 1
n
n
P
i=1
Xi
b¦dzie estymatorem funkcji g(λ) = e−λ. Poka», »e:
(a) ˆg(X) jest estymatorem nieobci¡»onym,
(b) ryzyko ±redniokwadratowe estymatora ˆg(X) wynosi e−2λ(eλ/n− 1).
w. 5.3 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu U(0, θ).
a) Dla jakiego α estymator ˆ
g1(X1, . . . , Xn) = αXn:n parametru θ jest estymatorem nieobci¡»onym?
b) Porównaj (w sensie bª¦du ±redniokwadratowego) estymator ˆg1(X1, . . . , Xn) z in- nym estymatorem nieobci¡»onym parametru θ postaci
ˆ
g2(X1, . . . , Xn) = 2 n
n
X
i=1
Xi.
w. 5.4 Poka», »e
ˆλ = − ln
1 − ]{1 ≤ i ≤ n : Xi > 0}
n
jest mocno zgodnym estymatorem parametru λ w rozkladzie Poissona P(λ).
w. 5.5 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu wykªadniczego E(λ).
Poka», »e estymator ˆg(X1, . . . , Xn) = 2n1
n
P
i=1
Xi2 jest nieobci¡»onym i mocno zgod- nym estymatorem wariancji rozkªadu E(λ). Wyznacz bª¡d ±redniokwadratowy tego estymatora.
Statystyka matematyczna (2 mie, 2013/2014)
5'. Obci¡»enie, ryzyko i mocna zgodno±¢ estymatorów Zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 5'.1 Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu N (µ, σ2). Dobierz staª¡ k tak, aby estymator
T (X) = k
n−1
X
i=1
E(Xi+1− Xi)2 byª nieobci¡»onym estymatorem parametru σ2.
Zad. 5'.2 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu o g¦sto±ci f (x) = m
1 − mx2m−11−m1(0,1)(x), 0 < m < 1.
Który z estymatorów
ˆ
g1(X) = ¯X, ˆg2(X) = ¯X − 3,
nale»y przyj¡¢ za oszacowanie nieznanego parametru m, je»eli za kryterium przyjmiemy ryzyko ±redniokwadratowe?
Zad. 5'.3 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu E λ1
, λ > 0. Niech ˆ
g1(X1, . . . , Xn) = ¯Xn, ˆg2(X1, . . . , Xn) = cX1:n, c > 0,
b¦d¡ estymatorami parametru λ. Dobierz parametr c tak, aby ˆg2 byª nieobci¡»ony i wówczas porównaj bª¦dy ±redniokwadratowe obu estymatorów.
Zad. 5'.4 Poka», »e ci¡g {ˆθn}, gdzie
θˆn : (0, ∞)n→ (0, ∞), θˆn(x1, . . . , xn) = exp
− n
x1+ . . . + xn
,
jest mocno zgodnym ci¡giem estymatorów parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkªadzie wykªadniczym.
Zad. 5'.5 X1, X2, . . . , Xnjest prób¡ prost¡ z rozkªadu Poissona P (λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R \ N
θˆn= n +Pn
k=11{2}(Xk) n − a
jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2). Dla jakich a estymator ten jest nieobci¡»ony?
Zad. 5'.6 Niech ˆθn: Rn→ [0, 1],
θˆn(x1, . . . , xn) = n −Pn
i=11{m}(xi) n
b¦dzie estymatorem parametru θ = 1−pmrozkªadu dwumianowego B(m, p). Poka»,
»e bª¡d ±redniokwadratowy estymatora ˆθn w punkcie θ jest równy 1npm(1 − pm).
