Wªasno±ci estymatorów
Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ losow¡ na przestrzeni próbkowej Xn, za± {Pθ : θ ∈ Θ}b¦dzie rodzin¡ rozkªadów prawdopodobie«stwa na Xn.
De nicja 1. Estymator ˆg(X) wielko±ci g(θ) jest nieobci¡»ony, je»eli dla ka»dego θ ∈ Θ Eθˆg(X) = g(θ).
De nicja 2. Je»eli statystyka ˆg(X) jest estymatorem g(θ), to wielko±¢
b(θ) = Eθ(ˆg(X) − g(θ)), θ ∈ Θ nazywamy obci¡»eniem tego estymatora.
De nicja 3. Bª¦dem ±redniokwadratowym estymatora ˆg(X) wielko±ci g(θ) nazywamy funkcj¦ postaci
R(θ) = Eθ(ˆg(X) − g(θ))2, θ ∈ Θ.
Bª¡d ±redniokwadratowy estymatora nazywa si¦ tak»e funkcj¡ ryzyka przy kwadratowej funkcji straty.
Fakt 1. R(θ) = V arθˆg(X) + b(θ)2.
Fakt 2. Je»eli estymator ˆg(X) wielko±ci g(θ) jest nieobci¡»ony, to R(θ) = V arθˆg(X).
De nicja 4. Mówimy, »e estymator g1(X)jest lepszy ni» g2(X), je»eli dla ka»dego θ ∈ Θ R1(θ) ≤ R2(θ)
i dla pewnego θ ∈ Θ mamy R1(θ) < R2(θ).
![~x = [x1, x2, x3, x4]T ∈ R4 : x1− 2x2+ 2x3− x4 = 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)