5. Obci¡»enie, ryzyko i porównanie estymatorów

Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)

5. Obci¡»enie, ryzyko i porównanie estymatorów

‚w. 5.1 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie dwumianowym B(n, p), gdzie p ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych a, b, c, znale¹¢

estymator nieobci¡»ony parametru θ = ap² + bp + c.

‚w. 5.2 Niech X = (X1, . . . , X_n)b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu Poissona P(λ) oraz

ˆ g(X) =

 1 − 1

n



n

P

i=1

Xi

b¦dzie estymatorem funkcji g(λ) = e^−λ. Poka», »e:

(a) ˆg(X) jest estymatorem nieobci¡»onym,

(b) ryzyko ±redniokwadratowe estymatora ˆg(X) wynosi e^−2λ(e^λ/n− 1).

‚w. 5.3 Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu U(0, θ).

a) Dla jakiego α estymator ˆ

g₁(X₁, . . . , X_n) = αX_n:n parametru θ jest estymatorem nieobci¡»onym?

b) Porównaj (w sensie bª¦du ±redniokwadratowego) estymator ˆg1(X₁, . . . , X_n) z in- nym estymatorem nieobci¡»onym parametru θ postaci

ˆ

g₂(X₁, . . . , X_n) = 2 n

n

X

i=1

X_i.

‚w. 5.4 Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu E ¹_λ

, λ > 0. Niech ˆ

g1(X1, . . . , Xn) = ¯Xn, ˆg2(X1, . . . , Xn) = cX1:n, c > 0,

b¦d¡ estymatorami parametru λ. Dobierz parametr c tak, aby ˆg2 byª nieobci¡»ony i wówczas porównaj bª¦dy ±redniokwadratowe obu estymatorów.

Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)

5'. Obci¡»enie, ryzyko i porównanie estymatorów Zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Zad. 5'.1 Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu N (µ, σ²). Dobierz staª¡ k tak, aby estymator

T (X) = k

n−1

X

i=1

E(X_i+1− X_i)²

byª nieobci¡»onym estymatorem parametru σ².

Zad. 5'.2 Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu o g¦sto±ci f (x) = m

1 − mx^2m−11−m1_(0,1)(x), 0 < m < 1.

Który z estymatorów

ˆ

g₁(X) = ¯X, ˆg₂(X) = ¯X − 3,

nale»y przyj¡¢ za oszacowanie nieznanego parametru m, je»eli za kryterium przyjmiemy ryzyko ±redniokwadratowe?

Zad. 5'.3 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu wykªadniczego E(λ).

Poka», »e estymator ˆg(X1, . . . , X_n) = _2n¹

n

P

i=1

X_i² jest nieobci¡»onym estymatorem wariancji rozkªadu E(λ). Wyznacz bª¡d ±redniokwadratowy tego estymatora.

Zad. 5'.4 Niech X ∼ B(n, θ) b¦dzie liczb¡ sukcesów w schemacie Bernoullego. Obliczy¢

i porówna¢ bª¦dy ±redniokwadratowe dwóch estymatorów: ENW ˆθ1 = X/n oraz θˆ2 = (X + 1)/(n + 2).

Zad. 5'.5 X1, X₂, . . . , X_njest prób¡ prost¡ z rozkªadu Poissona P (λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R \ N

θˆ_n= n +Pn

k=11{2}(Xk) n − a

jest nieobci¡»onym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2)?

Zad. 5'.6 Niech ˆθn: Rⁿ→ [0, 1],

θˆ_n(X₁, . . . , X_n) = n −Pn

i=11_{m}(X_i) n

b¦dzie estymatorem parametru θ = 1−p^mrozkªadu dwumianowego B(m, p). Poka»,

»e bª¡d ±redniokwadratowy estymatora ˆθn w punkcie θ jest równy ¹_np^m(1 − p^m).