Statystyka matematyczna (3 mef, 2015/2016)
6. Asymptotyczne wªasno±ci estymatorów
w. 6.1 Poka», »e ci¡g {ˆθn}, gdzie
θˆn : (0, ∞)n→ (0, ∞), θˆn(x1, . . . , xn) = exp
− n
x1+ . . . + xn
,
jest mocno zgodnym ci¡giem estymatorów parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkªadzie wykªadniczym.
w. 6.2 Poka», »e
ˆλ = − ln
1 − ]{1 ≤ i ≤ n : Xi > 0}
n
jest mocno zgodnym estymatorem parametru λ w rozkladzie Poissona P(λ).
w. 6.3 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu N(0, θ). Uzasadnij asympto- tyczn¡ normalno±¢ estymatora parametru θ postaci
T (X1, . . . , Xn) = 1 n
n
X
i=1
Xi2.
w. 6.4 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Cauchy'ego C(0, θ).
Zbadaj asymptotyczn¡ normalno±¢ estymatora
T (X1, . . . , Xn) = 1 n
n
X
i=1
1(a,∞)(Xi)
funkcji g(θ) = Pθ(X1 > a), gdzie a jest ustalon¡ liczb¡ rzeczywist¡ i wyznacz jego asymptotyczn¡ wariancj¦.
w. 6.5 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu P oiss(λ). Uzasadnij, »e 2√
n(p ¯Xn−√
λ) ma w przybli»eniu standardowy rozkªad normalny.
Statystyka matematyczna (3 mef, 2015/2016)
6'. Asymptotyczne wªasno±ci estymatorów Zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 6'.1 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu wykªadniczego E(λ).
Poka», »e estymator ˆg(X1, . . . , Xn) = 2n1
n
P
i=1
Xi2 jest mocno zgodnym estymatorem wariancji rozkªadu E(λ).
Zad. 6'.2 X1, X2, . . . , Xnjest prób¡ prost¡ z rozkªadu Poissona P (λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R \ N
θˆn= n +Pn
k=11{2}(Xk) n − a
jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2)?
Zad. 6'.3 Niech X1, . . . , Xnb¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu N(θ, 1). Poka», »e estymator
T (X1, . . . , Xn) = 1 n
n
X
i=1
1(−∞,a](Xi), a ∈ R
funkcji g(θ) = Pθ(X1 ≤ a), dla ustalonego a jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczn¡ wariancj¦.
Zad. 6'.4 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu wykªadniczego E(λ). Uza- sadnij, »e estymator parametru e−λ postaci
T (X1, . . . , Tn) = exp
− 1 X¯n
jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczn¡ wariancj¦.
Zad. 6'.5 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu 0-1 z parametrem p. Poka»,
»e estymator
T (X1, . . . , Xn) =
n
P
i=1
Xi+ 3 n + 5
parametru p jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczn¡ wariancj¦.
