5. Obciążenie, ryzyko i porównanie estymatorów

Statystyka matematyczna

5. Obciążenie, ryzyko i porównanie estymatorów

Ćw. 5.1 Niech X = (X₁, . . . , X_n) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P(λ) oraz

ˆ g(X) =



1 − 1 n



n

P

i=1

Xi

będzie estymatorem funkcji g(λ) = e^−λ. Pokaż, że:

(a) ˆg(X) jest estymatorem nieobciążonym,

(b) ryzyko średniokwadratowe estymatora ˆg(X) wynosi e^−2λ(e^λ/n − 1).

Ćw. 5.2 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu U (0, θ).

a) Dla jakiego α estymator

ˆg₁(X1, . . . , X_n) = αXn:n

parametru θ jest estymatorem nieobciążonym?

b) Porównaj (w sensie błędu średniokwadratowego) estymator ˆg1(X1, . . . , Xn) z innym esty- matorem nieobciążonym parametru θ postaci

ˆ

g₂(X₁, . . . , X_n) = 2 n

n

X

i=1

X_i.

Ćw. 5.3 Niech ˆθn: Rⁿ→ [0, 1],

θˆ_n(x₁, . . . , x_n) = n −^Pn_i=11{m}(x_i) n

będzie estymatorem parametru θ = 1 − p^m rozkładu dwumianowego B(m, p). Pokaż, że błąd średniokwadratowy estymatora ˆθ_n w punkcie θ jest równy _n¹ p^m(1 − p^m).

Statystyka matematyczna

5’. Obciążenie, ryzyko i porównanie estymatorów Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 5’.1 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym B(n, p), gdzie p ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych a, b, c, znaleźć estymator nieobcią- żony parametru θ = ap²+ bp + c.

Zad. 5’.2 Niech X = (X₁, . . . , X_n) będzie próbą prostą z rozkładu N (µ, σ²). Dobierz stałą k tak, aby estymator

T (X) = k

n−1

X

i=1

E(X_i+1− X_i)² był nieobciążonym estymatorem parametru σ².

Zad. 5’.3 Niech X₁, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości f (x) = m

1 − mx^2m−11−m1_(0,1)(x), 0 < m < 1.

Który z estymatorów

ˆ

g₁(X) = ¯X, ˆg₂(X) = ¯X − 3,

należy przyjąć za oszacowanie nieznanego parametru m, jeżeli za kryterium przyjmiemy ryzyko średniokwadratowe?

Zad. 5’.4 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu wykładniczego E(λ). Pokaż, że estymator ˆg(X₁, . . . , X_n) = _2n^{1 Pn}

i=1

X_i² jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu E(λ). Wyznacz błąd średniokwadratowy tego estymatora.

Zad. 5’.5 Niech X ∼ B(n, θ) będzie liczbą sukcesów w schemacie Bernoullego. Obliczyć i porów- nać błędy średniokwadratowe dwóch estymatorów: ENW ˆθ₁ = X/n oraz ˆθ₂ = (X +1)/(n+2).

Zad. 5’.6 X₁, X₂, . . . , Xnjest próbą prostą z rozkładu Poissona P (λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R\N θˆ_n= n +^Pn_k=11{2}(X_k)

n − a

jest nieobciążonym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2)?

Zad. 5’.7 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu E^_λ^1, λ > 0. Niech ˆ

g₁(X₁, . . . , X_n) = ¯X_n, ˆg₂(X₁, . . . , X_n) = cX_1:n, c > 0,

będą estymatorami parametru λ. Dobierz parametr c tak, aby ˆg₂ był nieobciążony i wówczas porównaj błędy średniokwadratowe obu estymatorów.