Algebra liniowa, WNE, 2018/2019
ćwiczenia 5. – rozwiązania zadań domowych
16 października 2018
1. Czy układ wektorów (2, 6, −6, −3), (5, 9, −3, 3), (1, 1, 1, 2) jest liniowo niezależny?
Wpisujemy w macierz i sprawdzamy:
2 6 −6 −3
5 9 −3 3
1 1 1 2
w1↔ w3
−−−−−−→
1 1 1 2
5 9 −3 3
2 6 −6 −3
w2− 5w1, w3− 2w1
−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 1 2
0 4 −8 −7
0 4 −8 −7
w3− w2
−−−−−→
1 1 1 2
0 4 −8 −7
0 0 0 0
Mamy wiersze zerowy, więc badany układ nie jest liniowo niezależny.
2. Dla jakich wartości parametru c ∈ R wektor (1, 1, c) jest kombinacją liniową wektorów (2, 1, 3), (1, 2, 4), (3, 0, 2), (2, −2, −2)?
Sprawdzamy czy i kiedy układ równań ma rozwiązanie:
2 1 3 2 1
1 2 0 −2 1 3 4 2 −2 c
w1↔ w2
−−−−−−→
1 2 0 −2 1
2 1 3 2 1
3 4 2 −2 c
w2− 2w1, w3− 3w1
−−−−−−−−−−−−−−→
1 2 0 −2 1
0 −3 3 6 −1
0 −2 2 4 c − 3
w3·−1
−−−−−→3
1 2 0 −2 1
0 1 −1 −2 13
0 −2 2 4 c − 3
w3+ 2w2
−−−−−−→
1 2 0 −2 1
0 1 −1 −2 13 0 0 0 0 c − 73
Ten układ jest niesprzeczny tylko dla c = 73.
3. Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ wektorów (0, 1, 2, a), (1, 1, 3, 1), (2, 1, 4, 1) jest liniowo niezależ- ny?
Wpisujemy do macierzy i sprowadzamy do postaci schodkowej:
0 1 2 a
1 1 3 1 2 1 4 1
w1↔ w2
−−−−−−→
1 1 3 1
0 1 2 a
2 1 4 1
w3− 2w1
−−−−−−→
1 1 3 1
0 1 2 a
0 −1 −2 −1
w3+ w2
−−−−−→
1 1 3 1
0 1 2 a
0 0 0 a − 1
A zatem aby nie było wiersza zerowego (a więc układ był liniowo niezależny) potrzeba i wystarcza, by a 6= 1.
1
