• Nie Znaleziono Wyników

Udowodnij, że następujące liczby są niewymierne: (a b

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Udowodnij, że następujące liczby są niewymierne: (a b"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Ćwiczenia nr 4, AM I, 25.10.2019

Logarytmy, funkcja wykładnicza. Granica ciągu I Zadanie 1. Udowodnij, że następujące liczby są niewymierne:

(a) 233 2 + 32, (b)

2 + 3 +

6, (c) (1 +

2)4 2.

Zadanie 2. Czy liczba 3

q

20 − 14√ 2 + 3

q

20 + 14

2 jest wymierna?

Zadanie 3. Oblicz log232, log50, 04, log39, logπ1, log2−1(

2 + 1).

Zadanie 4. Wiedząc, że log 2 ≈ 0, 30103, log 3 ≈ 0, 477 znajdź przybliżone wartości log 4, log 5, log 6, log 15.

Zadanie 5. Wykaż, że log 2 jest liczbą niewymierną.

Zadanie 6. Czy liczba 2n, gdzie n ∈ N, może zaczynać się cyfrą 9?

Zadanie 7. Wykaż, że (a) log 2 < 1/3, (b) 2 log 7 < 2 − log 2.

Zadanie 8. Uprość

(a) 10 · 10012log 9−log 2, (b) 152 log1540,

(c) 7log495−1.

Zadanie 9. Znajdź B, jeśli

log 16/3 log B jest rozwiązaniem równania 22x+4+ 33x+2 = 4x+3. Zadanie 10. Rozwiąż równania i nierówności

(a) 32x+1 = 3x+2+

1 − 6 · 3x+ 32(x+1), (b) 15x

2+5x

> 25−3,

(c) logx+1(x − 0, 5) = logx+0,5(x + 1), (d) log2(2x − 1) + log2(x + 5) = log213,

(e) (logx+1x) · log1/x(x − 2) > 1.

Zadanie 11. Udowodnij, że dla n > 1000000 zachodzi nierówność n

2 < 1.000001.

Zadanie 12. Wykazać, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n prawdziwe są nierów- ności (a) n! > 1000n, (b) 1.001n> n1000

Zadanie 13. Wykaż, korzystając z definicji granicy ciągu, że

(2)

(a) limn→∞ 1 n = 0, (b) limn→∞ 2n+1

n+1 = 12,

Zadanie 14. Oblicz granicę ciągu (an) lub wykaż, że taka granica nie istnieje, jeśli an =:

(a)

n + 13 −√

n, (b) n

3n− 2n, (c) n

3n+ sin n, (d) 1 + n+1n cos2 , (e) cos n, (f) n n!, (g) 10·11·12·...·(n+9)

1·3·5·...·(2n−1) , (h) 3n3+nn−22·2nn, (i) (n+1)!+(n−1)!

(n+1)!−(n−1)!, (j) n1k

n+k

k

, (k) loglogan2−n

an3+1, a > 0, gdzie a 6= 1 jest ustaloną liczbą, (l) n

1 + 2n(−1)n.

Zadanie 15. Zbadaj zbieżność i oblicz granicę ciągu lub (a)

2,

q

2 + 2,

r

2 +

q

2 + 2, itd.

(b) an= 12an−1+a5

n−1

, dla a0 = 2 i a0 = 3.

Zadanie 16. Znajdź granicę ciągu (an), jeśli a0 = 101 oraz (a) an+1 = sin an, (b) an+1 =

−an+12a3n, (c) an+1 = 2an.

Zadanie 17. Przypuśćmy, że ciąg (an) jest zbieżny do liczby g. Uzasadnij, że limn→∞

1 + annn= eg.

Zadanie 18. Oblicz granice ciągów (a)1 + n−11 n+2, (b)0.999 +n1n, (c)1.001 + 1nn, (d)nn22+n+13−n+3

n

. Zadanie 19. Udowodnij, że ciąg

1 + 1 2 +1

3 + . . . + 1

n − ln n jest zbieżny.

Zadanie 20. Udowodnij, że ciąg 1 + 1nn jest rosnący, a ciąg1 + n1n jest malejący. Jakie są granice tych ciągów?

Zadanie 21. Udowodnij, że jeśli ciag (an) jest zbieżny do zera, a ciąg bn jest ograniczony, to granicą ciągu (anbn) jest zero.

Zadanie 22. Załóżmy, że ciąg g = limn→∞an. Wykaż, że ciąg bnannc jest zbieżny do g.

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Jeśli nie wszystkie spośród liczb a, b, c mają jednakowy znak, to albo (1) dwie spośród liczb a, b, c są dodatnie, a trzecia ujemna, albo (2) dwie spośród liczb a, b, c są ujemne,

Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że odległość od środka kuli do najbliżej położonego punktu jest większa lub równa a, 0 &lt; a &lt;

Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że odległość od środka kuli do najbliżej położonego punktu jest większa lub równa a, 0 &lt; a &lt;

Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że odległość od środka kuli do najbliżej położonego punktu jest większa lub równa a, 0 &lt; a &lt;

Niech zdarzenia A, B są niezależne. Rzucamy trzema kostkami do gry. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek, B oznacza zdarzenie,

[r]

[r]

Prosta l jest równoległa do prostej AC i dzieli trójkąt ABC na dwie figury o równych polach.. Znajdź równanie