Udowodnij, że następujące liczby są niewymierne: (a b

Ćwiczenia nr 4, AM I, 25.10.2019

Logarytmy, funkcja wykładnicza. Granica ciągu I Zadanie 1. Udowodnij, że następujące liczby są niewymierne:

(a) ²₃√³ 2 + ³₂, (b) √

2 +√ 3 +√

6, (c) (1 +√

2)√⁴ 2.

Zadanie 2. Czy liczba ³

q

20 − 14√ 2 + ³

q

20 + 14√

2 jest wymierna?

Zadanie 3. Oblicz log₂32, log₅0, 04, log^√₃9, log_π1, log^√₂₋₁(√

2 + 1).

Zadanie 4. Wiedząc, że log 2 ≈ 0, 30103, log 3 ≈ 0, 477 znajdź przybliżone wartości log 4, log 5, log 6, log 15.

Zadanie 5. Wykaż, że log 2 jest liczbą niewymierną.

Zadanie 6. Czy liczba 2ⁿ, gdzie n ∈ N, może zaczynać się cyfrą 9?

Zadanie 7. Wykaż, że (a) log 2 < 1/3, (b) 2 log 7 < 2 − log 2.

Zadanie 8. Uprość

(a) 10 · 100¹²log 9−log 2, (b) 15^{2 log1540},

(c) 7^log495−1.

Zadanie 9. Znajdź B, jeśli

log 16/3 log B jest rozwiązaniem równania 2^2x+4+ 3^3x+2 = 4^x+3. Zadanie 10. Rozwiąż równania i nierówności

(a) 3^2x+1 = 3^x+2+√

1 − 6 · 3^x+ 3^2(x+1), (b) ^1₅^x

2+5x

> 25⁻³,

(c) log_x+1(x − 0, 5) = log_x+0,5(x + 1), (d) log₂(2x − 1) + log₂(x + 5) = log₂13,

(e) (log_x+1x) · log_1/x(x − 2) > 1.

Zadanie 11. Udowodnij, że dla n > 1000000 zachodzi nierówność √ⁿ

2 < 1.000001.

Zadanie 12. Wykazać, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n prawdziwe są nierów- ności (a) n! > 1000ⁿ, (b) 1.001ⁿ> n¹⁰⁰⁰

Zadanie 13. Wykaż, korzystając z definicji granicy ciągu, że

(a) limn→∞ 1 n = 0, (b) limn→∞ 2n+1

n+1 = ¹₂,

Zadanie 14. Oblicz granicę ciągu (a_n) lub wykaż, że taka granica nie istnieje, jeśli a_n =:

(a) √

n + 13 −√

n, (b) √ⁿ

3ⁿ− 2ⁿ, (c) √ⁿ

3ⁿ+ sin n, (d) 1 + _n+1ⁿ cos^nπ₂ , (e) cos n, (f) √ⁿ n!, (g) 10·11·12·...·(n+9)

1·3·5·...·(2n−1) , (h) ₃n³+nⁿ⁻²²·2ⁿⁿ, (i) (n+1)!+(n−1)!

(n+1)!−(n−1)!, (j) _n¹k

_n+k

k

, (k) ^log_log^an2−n

an³+1, a > 0, gdzie a 6= 1 jest ustaloną liczbą, (l) √ⁿ

1 + 2ⁿ⁽⁻¹⁾ⁿ.

Zadanie 15. Zbadaj zbieżność i oblicz granicę ciągu lub (a) √

2,

q

2 +√ 2,

r

2 +

q

2 +√ 2, itd.

(b) a_n= ¹₂^a_n−1+_a⁵

n−1

, dla a₀ = 2 i a₀ = 3.

Zadanie 16. Znajdź granicę ciągu (a_n), jeśli a₀ = ₁₀¹ oraz (a) a_n+1 = sin a_n, (b) a_n+1 =

−an+¹₂a³_n, (c) an+1 = 2^an.

Zadanie 17. Przypuśćmy, że ciąg (an) jest zbieżny do liczby g. Uzasadnij, że limn→∞

1 + ^a_n^nn= e^g.

Zadanie 18. Oblicz granice ciągów (a)^1 + _n−1^{1 n+2}, (b)^0.999 +_n^1n, (c)^1.001 + ¹_n^n, (d)^n_n²2⁺ⁿ⁺¹³−n+3

n

. Zadanie 19. Udowodnij, że ciąg

1 + 1 2 +1

3 + . . . + 1

n − ln n jest zbieżny.

Zadanie 20. Udowodnij, że ciąg ^1 + ¹_n^n jest rosnący, a ciąg^1 + _n^1n jest malejący. Jakie są granice tych ciągów?

Zadanie 21. Udowodnij, że jeśli ciag (a_n) jest zbieżny do zera, a ciąg b_n jest ograniczony, to granicą ciągu (a_nb_n) jest zero.

Zadanie 22. Załóżmy, że ciąg g = lim_n→∞a_n. Wykaż, że ciąg ^bna_n^nc jest zbieżny do g.

2