Algorytmika Problemów Trudnych Wykªad: Szeroko±¢ drzewowa

Algorytmika Problemów Trudnych

Wykªad: Szeroko±¢ drzewowa Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2020/21

Szeroko±¢ drzewowa

I Szeroko±¢ drzewowa - denicja.

I Szeroko±¢ drzewowa - równowa»ne denicje.

I Obliczanie dekompozycji drzewowej.

I Szeroko±¢ drzewowa w grafach planarnych:

I

Twierdzenie o separatorze w grafach planarnych. Szeroko±¢

drzewowa grafów planarnych.

I

Szeroko±¢ drzewowa grafów k zewn¦trznie planarnych.

Dekompozycja i szeroko±¢ drzewowa

Denicja

Dekompozycj¡ drzewow¡ grafu G nazywamy par¦

T = ( T , {X

: t ∈ V (T )}), gdzie T jest drzewem, { X

: t ∈ V (T )} jest zbiorem zbiorów wierzchoªków V (G), która speªnia nast¦puj¡ce warunki:

I dla ka»dej kraw¦dzi {u, v} w G istnieje t ∈ V (T ) taki, »e {u, v} ⊂ X

,

I dla ka»dego wierzchoªka zbiór

{ t ∈ V (T ) : v ∈ X

} jest poddrzewem (drzewem spójnym) w drzewie T .

Szeroko±ci¡ drzewow¡ dekompozycji drzewowej T jest

liczba max

| X

| − 1, oznaczana przez tw(T ) .

Rysunek: Wikipedia.

Notacja:

I zbiory {X

} nazywamy w¦zªami dekompozycji drzewowej T ,

I je»eli {u, v} ∈ E(G) oraz {u, v} ⊂ X

, to mówimy, »e kraw¦d¹ {u, v} jest realizowana w w¦¹le X

,

I dla v ∈ V (G), zbiór {t ∈ T : v ∈ X

} nazywamy poddrzewem wierzchoªka v .

Rysunek: Wikipedia.

Szeroko±¢ drzewowa

Denicja

Szeroko±¢ drzewowa grafu G, oznaczana przez tw(G), jest deniowana jako tw(G) = min{tw(T ) : T jest dekompozycj¡ drzewow¡ G}.

‚wiczenie:

I Jaka jest szeroko±¢ drzewowa drzewa? cyklu? grafu zewn¦trznie planarnego?

Niech T = (T , {X

: t ∈ V (T )}) b¦dzie dekompozycj¡ drzewow¡ szeroko±ci k n-wierzchoªkowego grafu G. Wtedy:

I G ma co najwy»ej kn kraw¦dzi,

I dla dowolnego w¦zªa t w T zbiór X

jest separatorem rozmiaru 6 k + 1 (przy zaªo»eniu, »e po usunieciu w¦zªa t z T drzewo rozbija si¦ na komponenty spójne, z których co najmniej 2 zawieraj¡ jakie± drzewo T

dla pewnego v ∈ V (G)), I dla dowolnych dwóch w¦zªów t

, t

s¡siaduj¡cych w T zbiór X

∩ X

jest

separatorem rozmiaru 6 k, (przy zaªo»eniu, »e po usunieciu w¦zªów t

, t

z T drzewo rozbija si¦ na komponenty spójne, z których co najmniej 2 zawieraj¡

jakie± drzewo T

dla pewnego v ∈ V (G)).

grafy ci¦ciwowe

Denicja

Graf G jest grafem ci¦ciwowym je»eli ka»dy cykl dªugo±ci ≥ 4 zawiera ci¦ciw¦, to jest kraw¦d¹ ª¡cz¡c¡ dwa nies¡siednie wierzchoªki tego cyklu.

Innymi sªowy grafy ci¦ciwowe to grafy, które nie posiadaj¡ cykli indukowanych dªugo±ci

≥ 4.

Niech G b¦dzie grafem. Par¦ (T , {T

: v ∈ V (G)}), gdzie T jest drzewem, { T

: v ∈ V (G)} zbiorem poddrzew drzewa T , nazywamy reprezentacj¡ drzewow¡

grafu G je»eli speªniony jest warunek:

{ u, v} jest kraw¦dzi¡ w G ⇐⇒ T

∩ T

6= ∅.

Twierdzenie (Gavril, 1974)

Graf G jest grafem ci¦ciwowym wtedy i tylko wtedy, gdy G posiada reprezentacj¦

drzewow¡.

Lemat o Wzajemnie Przecinaj¡cych si¦ Poddrzewach

Lemat (O Wzajemnie Przecinaj¡cych si¦ Poddrzewach)

Niech T b¦dzie drzewem za± {T

, . . . , T

} zbiorem wzajemnie przecinaj¡cych si¦

poddrzew drzewa T . Wtedy istnieje t ∈ T taki, »e t ∈ T

dla ka»dego i ∈ [k].

Wniosek: Szeroko±¢ drzewowa grafu ci¦ciwowego G jest równa ω(G) − 1, gdzie ω(G)

to rozmiar najliczniejszej kliki w G.

Twierdzenie (Gavril, 1974)

Graf G jest grafem ci¦ciwowym wtedy i tylko wtedy, gdy G posiada reprezentacj¦

drzewow¡.

Dowód: G ma reprezentacj¦ drzewow¡, to G jest ci¦ciwowy.

I Niech {T , {T

: v ∈ V (G)}} b¦dzie reprezentacj¡ ci¦ciwow¡ grafu G.

I Šatwo zauwa»y¢, »e je»eli T

, . . . , T

s¡ takie, »e T

∩ T

6= ∅ dla ka»dego i ∈ [k − 1] (cyklicznie) (a zatem, wierzchoªki v

, . . . , v

tworz¡ cykl C w G), to T

∩ T

6= ∅ dla pewnych dwóch nies¡siednich i, j ∈ [k − 1]

(cyklicznie). Oznacza to, »e cykl C posiada ci¦ciw¦.

I Graf G jest zatem ci¦ciwowy.

reprezentacje drzewowe grafów ci¦ciwowych

Twierdzenie (Gavril, 1974)

Graf G jest grafem ci¦ciwowym wtedy i tylko wtedy, gdy G posiada reprezentacj¦

drzewow¡.

Dowód: G ma reprezentacj¦ drzewow¡, to G jest ci¦ciwowy. Dowód indukcyjny:

indukcja po liczbie wierzchoªków w G.

I Teza prawdziwa dla |V (G)| = 1. Zaªó»my, »e teza prawdziwa dla wszystkich grafów ci¦ciwowych takich, »e |V (G)| < n.

I Niech G b¦dzie grafem takim, »e |V (G)| = n.

I Je»eli G jest klik¡, to G posiada dekompozycj¦ drzewow¡. Zaªó»my zatem, »e w G istniej¡ dwa wierzchoªki u, v takie, »e {u, v} nie jest kraw¦dzi¡ w G.

I Niech X b¦dzie minimalnym ze wzgl¦du na liczno±¢ (u, v)-separatorem rozª¡cznym ze zbiorem {u, v}.

I Twierdzimy, »e zbiór X jest klik¡.

Twierdzenie (Gavril, 1974)

Graf G jest grafem ci¦ciwowym wtedy i tylko wtedy, gdy G posiada reprezentacj¦

drzewow¡.

Dowód (c.d.): G ma reprezentacj¦ drzewow¡, to G jest ci¦ciwowy.

I Zbiór X jest klik¡.

I

Niech G

, G

b¦d¡ skªadowymi spójnymi G \ X zawieraj¡cymi u oraz v, odpowiednio.

I

Ka»dy wierzchoªek x ∈ X jest poª¡czony kraw¦dzi¡ ze skªadow¡ spójn¡

G

oraz skªadow¡ spójn¡ G

(w przeciwnym razie, X \ {x} jest ( u − v)-separatorem rozª¡cznym z {u, v} o mniejszym rozmiarze),

I

Wybierzmy dwa wierzchoªki x

, x

∈ X .

I

Niech P

[P

] b¦dzie najkrótsz¡ ±cie»k¡ rozpoczynaj¡c¡ si¦ w x

i ko«cz¡c¡ si¦ w x

, której wszystkie wewn¦trzne wierzchoªki s¡ w skªadowej spójnej G

[G

, odpowiednio].

I

Zlepienie ±cie»ek P

oraz P

tworzy cykl dªugo±ci ≥ 4 w G.

I

Poniewa» G jest ci¦ciwowy, cykl ten posiada ci¦ciw¦. Zauwa»my, »e { x

, x

} jest jedyn¡ mo»liw¡ ci¦ciw¡ tego cyklu.

I

Ostatecznie, z dowolno±ci wyboru x

, x

, X jest klik¡.

reprezentacje drzewowe grafów ci¦ciwowych

Twierdzenie (Gavrilm, 1974)

Graf G jest grafem ci¦ciwowym wtedy i tylko wtedy, gdy G posiada reprezentacj¦

drzewow¡.

Dowód (c.d.): G ma reprezentacj¦ drzewow¡, to G jest ci¦ciwowy.

I Rozpatrzmy dwa grafy:

I

G

 indukowany przez wierzchoªków V (G

) ∪ X ,

I

G

 indukowany przez zbiór wierzchoªków (V (G) \ V (G

)) ∪ X . I G

,G

s¡ ci¦ciwowe, X jest zbiorem ich wspólnych wierzchoªków (tworzy klik¦),

liczba wierzchoªków G

oraz G

jest ±ci±le mniejsza od n.

I G

 posiada reprezentacj¦ drzewiast¡ (T

, { T

: v ∈ V (G

)}) , G

 posiada reprezentacj¦ drzewiast¡ (T

, { T

: v ∈ V (G

)}) .

I Poniewa» X jest klik¡ w G

, z Lematu o Przecionaj¡cych si¦ Poddrzewach,

drzewa {T

: v ∈ X } si¦ wzajemnie przecinaj¡, i = 1, 2. Oznacza to, »e istnieje

wierzchoªek t

w drzewie T

, który nale»y do wszystkich poddrzew T

, v ∈ X .

Twierdzenie (Gavril, 1974)

Graf G jest grafem ci¦ciwowym wtedy i tylko wtedy, gdy G posiada reprezentacj¦

drzewow¡.

Dowód (c.d.): G ma reprezentacj¦ drzewow¡, to G jest ci¦ciwowy.

I Reprezentacj¦ drzewow¡ (T , {T

: v ∈ V (G)}) dla G tworzymy nast¦puj¡co:

I

Drzewo T powstaje z drzew T

oraz T

poprzez wprowadzenie nowego wierzchoªka t i poª¡czenie go kraw¦dzi¡ z t

oraz z t

.

I

Drzewo reprezentuj¡ce wierzchoªek v ∈ X deniujemy jako T

∪ T

∪ { t}.

I

Drzewa dla innych wierzchoªków pozostaj¡ niezmienione, tzn. T

= T

je»eli v ∈ V (G

) \ V (G

) oraz T

= T

je»eli v ∈ V (G

) \ V (G

) .

I

Sprawdzenie, »e (T , {T

: v ∈ V (G)}) jest reprezentacj¡ drzewow¡ G jest

ju» proste.

szeroko±¢ drzewowa  grafy ci¦ciwowe

Twierdzenie

Szeroko±¢ drzewowa G jest 6 k wtedy i tylko wtedy, gdy G jest podgrafem grafu ci¦ciwowego ch(G) takiego, »e ω(ch(G)) 6 k + 1.

Dowód:

I Zaªó»my, »e tw(G) 6 k. Niech T = (T , {X

: t ∈ T }) b¦dzie dekompozycj¡

drzewow¡ o szeroko±ci 6 k.

I Graf ci¦ciwowy ch(G) z reprezentacj¡ drzewow¡ (T , {T

: v ∈ V (G)}), gdzie T

= { t ∈ T : v ∈ X

} , jest nadgrafem G oraz speªnia ω(ch(G)) 6 k + 1.

Ostatnia nierówno±¢ wynika z Lematu o Wzajemnie Przecinaj¡cych si¦

Poddrzewach (wierzchoªki ka»dej kliki grafu ch(G) znajduj¡ si¦ w pewnym w¦¹le

drzewa T ).

Twierdzenie

Szeroko±¢ drzewowa G jest 6 k wtedy i tylko wtedy, gdy G jest podgrafem grafu ci¦ciwowego ch(G) takiego, »e ω(ch(G)) 6 k + 1.

Dowód:

I Zaªó»my, »e G jest podgrafem grafu ci¦ciwowego ch(G) takiego, »e

ω( ch(G)) 6 k + 1. Niech (T , {T

: v ∈ V (G)}) b¦dzie reprezentacj¡ drzewiast¡

ch(G)

I Oczywi±cie, para (T , {X

: t ∈ T }), gdzie X

= { v ∈ V (G) : t ∈ T

} jest

dekompozycj¡ drzewiast¡ G o szeroko±ci nie wi¦kszej ni» k.

szeroko±¢ drzewowa  gra w policjantów i zªodzieja

Gra w policjantów i zªodzieja (Seymour, Thomas, 1993) rozgrywana jest w rundach na grae G przez k policjantów i zªodzieja.

Zasady gry:

I W pierwszej rundzie gry policjanci (którzy przemieszczaj¡ si¦ po grae helikopterami) rozmieszczaj¡ sie w wierzchoªkach grafu G. Nast¦pnie zªodziej (który porusza si¦ na motorze) ustawia si¦ w pewnym, nie zaj¦tym przez

»adnego policjanta wierzchoªku.

I Przed ka»d¡ kolejn¡ rund¡, policjanci znaj¡ poªo»enie zªodzieja.

I W ka»dej kolejnej rundzie:

I

najpierw cz¦±¢ policjantów przenosi si¦ helikopterem w inne wierzchoªki grafu,

I

w tym czasie zªodziej, który widzi wszystkie poczynania policjantów (wie, które helikoptery s¡ w powietrzu i w którym miejscu b¦d¡ l¡dowa¢) przesuwa si¦ motorem po ±cie»kach w grae. Zªodziej nie mo»e przejecha¢

przez wierzchoªek, w którym aktualnie stoi policjant. Ponadto, na koniec

rundy, zªodziej musi ustawi¢ si¦ w wierzchoªku, w którym nie ma »adnego

policjanta.

Wynik gry w policjantów i zªodzieja:

I Gr¦ wygrywaj¡ policjanci, je»eli maj¡ strategi¦, która w pewnej rundze gry uniemo»liwia zªodziejowi wykonanie poprawnego ruchu.

I Gr¦ wygrywa zªodziej je»eli ma strategi¦, która pozwala mu ucieka¢ w

niesko«czono±¢.

szeroko±¢ drzewowa  gra w policjantów i zªodzieja

Twierdzenie (Seymour, Thomas, 1993)

Szeroko±¢ drzewowa grafu G jest 6 k wtedy i tylko wtedy, gdy (k + 1) policjantów ma strategi¦ wygrywaj¡c¡ w grze w policjantów i zªodzieja rozgrywan¡ na grae G.

Uwagi:

I Je»eli tw(G) 6 k, to istnieje strategia wygrywaj¡ca dla (k + 1) policjantów:

dowód prosty (patrz ¢wiczenia).

I Je»eli istnieje strategia wygrywaj¡ca dla (k + 1) policjantów, to tw(G) 6 k

(dowód trudny).

Problem Szeroko±ci Drzewowej:

Wej±cie: : Graf G oraz parametr k.

Wyj±cie: : TAK wtedy i tylko, gdy tw(G) 6 k (od algorytmu wymagamy wtedy, by zwracaª równie» dekompozycj¦ drzewow¡ G rozmiaru k).

Twierdzenie (Arnborg, Corneil, Proskurowski, 1987)

Problem szeroko±ci drzewowej jest NP-zupeªny.

Twierdzenie (Bodlaender, 1996)

Problem szeroko±ci drzewowej mo»na rozwi¡za¢ w czasie k

n. Oznacza to, »e

problem ten nale»y do klasy FPT.

Problem Szeroko±ci Drzewowej - algorytmy aproksymacyjne

C-aproksymacja szeroko±ci drzewowej.

Wej±cie: Graf G oraz parametr k.

Wyj±cie: Dekompozycja drzewowa rozmiaru 6 C · k + D lub ±wiadek dla tw(G) > k.

Twierdzenie (Reed, 1992)

Istnieje algorytm 4-aproksymacyjny dla Problemu Szeroko±ci Drzewowej dziaªaj¡cy w czasie O(27

· n

) .

Dowód oparty na dobrych separatorach jest przedsatwiony na kolejnych slajdach.

Lemat (O Istnieniu Dobrego Separatora)

Niech G b¦dzie grafem o szeroko±ci drzewowej 6 k, W zbiorem liczno±ci dokªadnie 3k + 4. Istnieje wtedy zbiór S rozmiaru 6 k + 1 taki, »e G \ S zawiera co najmniej 2 skªadowe spójne oraz skªadowe te mo»na podzieli¢ na dokªadnie dwie grupy, z których ka»da zawiera 6 2k + 2 elementów z W (zauwa», »e ka»da z tych grup zawiera przynajmniej jeden element z W ).

Uwaga: Zbiór S speªniaj¡cy tez¦ powy»szego lematu nazywamy dobrym separatorem

dla zbioru W .

Dobre Separatory

Dowód Lematu o Istnieniu dobrego Separatora:

I Niech G b¦dzie grafem o szeroko±ci drzewowej 6 k, W zbiorem liczno±ci 3k + 4.

I Niech T = (T , {X

: t ∈ T }) b¦dzie dekompozycj¡ drzewow¡ G o szeroko±ci 6 k tak¡, »e maksymalny stopie« w T jest ograniczony od góry przez 3.

I Rozwa»my kraw¦d¹ {u, v} drzewa T . Po usuni¦ciu kraw¦dzi {u, v} drzewo T rozpada si¦ na dwa poddrzewa: T

 zawieraj¡ce u, oraz T

 zawieraj¡ce v.

Kraw¦d¹ {u, v} kierujemy w kierunku:

I

v → u je»eli |{w ∈ W : T

⊆ T

}| ≥ 2k + 3.

I

u → v je»eli |{w ∈ W : T

⊆ T

}| ≥ 2k + 3.

I Oczywi±cie, nie mo»emy mie¢ jednocze±nie u → v oraz v → u (zbiór W miaªby wtedy co najmniej 4k + 6 elementów). Kraw¦d¹ {u, v} mo»e natomiast pozosta¢ nieskierowana. Ponadto, je»eli t jest li±ciem, to kraw¦d¹ ª¡cz¡ca t z drzewem jest skierowana w kierunku drzewa.

I Poniewa» drzewo T ma |T | w¦zªów i |T | − 1 kraw¦dzi, istnieje w¦zeª t ∈ T , z którego nie wychodzi »adna kraw¦d¹ (w¦zeª ten jest w¦zªem wewn¦trznym drzewa T ).

I Twierdzimy, »e wierzchoªki z X

s¡ dobrym separatorem dla W .

Dowód Lematu o Istnieniu dobrego Separatora:

I Twierdzimy, »e wierzchoªki z X

s¡ dobrym separatorem dla W :

I

Teza oczywista je»eli deg(t) = 2 w drzewie T .

I

Zaªó»my, »e deg(T ) = 3.

I

Usuni¦cie t z drzewa T powoduje rozpad T na 3 drzewa: T

, T

, T

.

I

Niech W

= { w ∈ W : T

⊆ T

} . Bez straty ogólno±ci zaªó»my, »e

| W

| ≥ | W

| ≥ | W

| .

I

Aby pokaza¢, »e X

jest dobrym separatorem, wystarczy pokaza¢, »e

| W

| + | W

| 6 2k + 2 (|W

| 6 2k + 2 z denicji t). Wtedy grupujemy elementy G \ X

na dwie grupy

{ v ∈ V (G) : T

⊆ T

} oraz {v ∈ V (G) : T

⊆ ( T

∪ T

)},

±wiadcz¡ce, »e X

jest dobrym separatorem dla W .

I

Z faktów, »e |W

| + | W

| ≥ 2k + 3 oraz |W

| ≥ | W

| wynika

| W

| ≥ k + 2. St¡d |W

| ≥ k + 2, i w konsekwencji

| W

| + | W

| + | W

| > 3k + 4, co przeczy |W | = 3k + 4.

Dobre separatory

Problem Dobrego Separatora:

Wej±cie: Graf G, zbiór W o mocy 3k + 4.

Wyj±cie: Dobry separator S dla zbioru W lub NIE je»eli separator taki nie istnieje.

Je»eli algorytm dla Problemu Dobrego Separatora zwraca NIE, to wnosimy, »e tw(G) > k.

Uwaga: Istnieje algorytm dla Problemu Dobrego Separatora dziaªaj¡cy w czasie

27

· n (redukcja do problemu znajdowania przepªywu, ¢wiczenia).

TREE-DECOMPOSITION(G,W):

Wej±cie: Graf G, zbiór W ⊆ V (G), |W | 6 3k + 4.

Wyj±cie: T  dekompozycja drzewowa T grafu G szeroko±ci 6 4k + 4 taka, »e

W ⊂ root(T ); NIE  je»eli tw(G) > k.

Problem Szeroko±ci Drzewowej - algorytm aproksymacyjny

TREE-DECOMPOSITION(G,W ):

I if |V (G)| 6 4k + 4, T ma tylko jeden w¦zeª V (G), return T ; I if |W | 6 3k + 3, rozszerz W dowolnie tak, aby |W | = 3k + 4,

I S  dobry separator dla W rozmiaru 6 k + 1; return NIE je»eli zbiór taki nie istnieje,

I H

, H

 podgrafy powstaªe ze skªadowych spójnych G \ S takie, »e zbiory W

, W

, gdzie W

= W ∩ V (H

) , zawieraj¡ co najwy»ej 2k + 2 elementy (podziaª wynikaj¡cy z Lematu o Dobrym Separatorze).

I for i ∈ [2]: G

= graf indukowany przez V (H

) ∪ S,

I

for i ∈ [2]: T

= TREE-DECOMPOSITION(G

,W

∪ S),

I

return NIE je»eli jedna z powy»szych procedur zwraca NIE,

I return dekompozycja T z korzeniem W ∪ S, którego dzie¢mi s¡ T

, T

.

Algorytm TREE-DECOMPOSITION(G,W ) jest algorytmem 4-aproksymacyjnym dla

Problemu szeroko±ci drzewowej dziaªaj¡cym w czasie 27

n

.

Szeroko±¢ drzewowa - algorytmy aproksymacyjne

Twierdzenie (Bodlaender, Drange, Dregi, Fomin, Lokshtanov, Pilipczuk)

Istenieje algorytm 5-aproksymacyjny dla Problemu Szeroko±ci Drzewowej dziaªaj¡cy

w czasie 2

n.

Twierdzenie (Lipton, Tarjan, 1979)

Ka»dy graf planarny G na n wierzchoªkach posiada separator S rozmiaru co najwy»ej 4 √

n taki, »e ka»dy komponent G \ S ma co najwy»ej

n wierzchoªków. Separator taki nazywamy zrównowa»onym.

Zauwa»my, »e szeroko±¢ drzewowa grafu planarnego na n wierzchoªkach jest rz¦du O( √

n):

I Niech S b¦dzie zrównowa»onym separatorem G. Wkªadamy zbiór S do korzenia r drzewa T dekompozycji drzewowej G, tzn. ustawiamy X

= S.

I Dla ka»dego komponentu G

grafu G \ S niech S

b¦dzie zrównowa»onym separatorem G

. Zauwa»my, »e |S

| 6 q

23

· 4 √ n.

I Dla ka»dego G

tworzymy w¦zeª t

b¦d¡cy dzieckiem r i ustawiamy X

= S ∪ S

. I Nast¦pnie, powtarzamy konstrukcj¦ dla ka»dego grafu G

\ S

, i.t.d. i.t.d.

I Zauwa»my, »e rozmiar ka»dego w¦zªa T jest ograniczony przez 4 √

n(1 + q

23

+ ( q

3

)

+ . . .) , co ogranicza si¦ przez O( √ n).

Zauwa»my, »e szeroko±¢ drzewowa gridu rozmiaru √ n × √

n jest równa √

n, a zatem ograniczenie O( √

n) na szeroko±¢ drzewow¡ grafów planarnych jest mo»liwie najlepsze.

Aproksymacja szeroko±ci drzewowej grafów planarnych

Twierdzenie (Kammer, Tholey)

Istnieje algorytm znajduj¡cy dekompozycj¦ drzewow¡ rozmiaru O(k) grafu planarnego o szeroko±ci drzewowej k dziaªaj¡cy w czasie O(nk

log k). W szczególno±ci, algorytm ten w czasie O(n

log n) konstruuje dekompozycj¦ drzewow¡ rozmiaru O( √

dowolnego n wierzchoªkowego grafu planarnego. n)

Uwaga: Ci¡gle otwarte pozostaje pytanie, czy mo»na policzy¢ dokªadn¡ szeroko±¢

drzewow¡ grafu planarnego w czasie wielomianowym od n i k.

Niech G b¦dzie grafem planarnym, narysowanym w sposób planarny na pªaszczy¹nie.

Pierwsz¡ warstw¡ grafu planarnego G nazywamy wierzchoªki przylegªe do ±ciany zewn¦trznej grafu G.

Drug¡ warstw¡ G nazywamy pierwsz¡ warstw¦ grafu planarnego powstaªego poprzez usuni¦cie wierzchoªków z warstwy pierwszej.

Ogólnie, i-t¡ warstw¡ grafu G nazywamy pierwsz¡ warstw¦ grafu planarnego powstaªego z G przez usuni¦cie wierzchoªków z warstw od 1 do i − 1.

Lemat

Szeroko±¢ drzewowa ka»dych k kolejnych warstw grafu planarnego jest ograniczona

przez 3k + 1.

Šadna Dekompozycja Drzewowa

Denicja

Dekompozycj¦ drzewow¡ T = (T , {X

: t ∈ T }) grafu G nazwiemy ªadn¡

dekompozycj¡ drzewow¡ (ang. nice tree decomposition) je»eli T jest drzewem ukorzenionym oraz ka»dy w¦zeª t ∈ T :

I albo ma dwóch snów t

i t

i wtedy X

= X

= X

(w¦zeª taki nazywamy w¦zªem ª¡cz¡cym),

I albo ma jednego syna t

i wtedy rozmiar X

oraz X

ró»ni¡ si¦ o 1 oraz

I

je»eli X

= X

∪ { v} to wtedy t jest w¦zeª t jest w¦zªem wprowadzaj¡cym v .

I

je»eli X

= X

\ { v} to w¦zeª t jest w¦zªem zapominaj¡cym v .

I albo jest li±ciem i wtedy X

jest zbiorem jednoelementowym.

Twierdzenie

Ka»dy n-wierzchoªkowy graf o szeroko±ci drzewowej k posiada ªadn¡ dekompozycj¦

drzewow¡ skªadaj¡c¡ si¦ z O(kn) w¦zªów.