Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 4

Algorytmika Problemów Trudnych

Wykład 4

Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2019/20

I Algorytmy rozgałęziające się.

I Metoda analizy mierz i zwyciężaj (Measure & Conquer):

I Maksymalny zbiór niezależny.

I Minimalny zbiór rozcyklający.

Metoda mierz i zwyciężaj

Metoda mierz i zwyciężaj:

I cel: polepszenie analizy algorytmów rozgałęziających się,

I sposób: stosujemy bardziej wyrafinowane miary do mierzenia wielkości podzadań (zazwyczaj: rozmiar podzadania to liczba wierzchołków grafu).

Makysmalna klika (bądź minimalne pokrycie wierzchołkowe)

Spostrzeżenie. Dla każdego wierzchołka v stopnia ≥ 2:

I albo v jest (wtedy żaden wierzchołek z N(v ) nie jest) w maksymalnym zbiorze niezależnym,

I albo v nie jest w maksymalnym zbiorze niezależnym.

MaxIndSet(G ):

I if exists v ∈ V with d (v ) = 0 return 1 + maxIndSet(G \ v ), I if exists v ∈ V with d (v ) = 1 return 1 + maxIndSet(G \ N[v ]), I if d (v ) 6 2 for all v ∈ V : solve polynomially in n,

I if exist v ∈ V with d (v ) ≥ 3:

I choose a vertex v of maximum degree in G ,

I return max(MaxIndSet(G \ v ), 1 + maxIndSet(G \ N[v ]))

Makysmalna klika (bądź minimalne pokrycie wierzchołkowe)

Spostrzeżenie. Dla każdego wierzchołka v stopnia ≥ 2:

I albo v jest (wtedy żaden wierzchołek z N(v ) nie jest) w maksymalnym zbiorze niezależnym,

I albo v nie jest w maksymalnym zbiorze niezależnym.

MaxIndSet(G ):

I if exists v ∈ V with d (v ) = 0 return 1 + maxIndSet(G \ v ), I if exists v ∈ V with d (v ) = 1 return 1 + maxIndSet(G \ N[v ]), I if d (v ) 6 2 for all v ∈ V : solve polynomially in n,

I if exist v ∈ V with d (v ) ≥ 3:

I choose a vertex v of maximum degree in G ,

I return max(MaxIndSet(G \ v ), 1 + maxIndSet(G \ N[v ])) Wektor rozgałęzień algorytmu: (1, 4), co daje czas działania O^∗(1.3803ⁿ), gdyż τ (1, 4) = 1.3803. Prosta analiza uzyskana metodą mierz i zwyciężaj daje oszacowanie O^∗(1.3248ⁿ) (wynika z τ (1, 5) = 1.3248).

Przyjmujemy miarę G jako sumaryczną wagę wszystkich wierzchołków w G , gdzie:

I wierzchołki o stopniu 0 i stopniu 1 ważą 0 (i tak się ich zaraz pozbędziemy),

I wierzchołki o stopniu 2 ważą ¹₂ (czekają do końca, jak ich jest dużo, to szybko kończymy),

I wierzchołki o stopniu ≥ 3 ważą 1 (te sprawiają kłopot).

Przed rozpoczęciem algorytmu miara instancji 6 n.

Analiza algorytmu MaxIndSet

Wektory rozgałęzień w algorytmie (pokażemy na kolejnych slajdach):

I są typu (a, b) gdzie, a + b ≥ 6, a ≥ 1, b ≥ 1,

I widać, że dla każdego rozgałęzienia (a, b) mamy τ (a, b) 6 τ (1, 5), I konkludując, czas działania algorytmu jest ograniczony od góry przez

c · (τ (1, 5))ⁿ= c · (1.3248ⁿ).

Analizę tego algorytmu można wzmocnić (różne wagi dla różnych stopni) do O^∗(1.2905)

Rozpatrzmy dwa możliwe typy rozgałęzień:

I rozgałęzienie na wierzchołku stopnia ≥ 4, I rozgałęzienie na wierzchołku stopnia = 3.

Analiza algorytmu MaxIndSet

Rozpatrzmy typ I rozgałęzienia: na wierzchołku v stopnia ≥ 4.

Mamy dwa podzadania:

I lewe– na podgrafie G − v , I prawe– na podgrafie G − N(v ).

Zmiana miar podzadań w stosunku do miary G :

I wierzchołka w o wadze 1 w G nie ma w podzadaniu lewym ani w podzadaniu prawym (lewe i prawe ‘ważą’ mniej o 1 w stosunku do G ), I jeżeli u waży 1 w G , to u nie ma w prawym podzadaniu (podzadanie

prawe ‘waży’ przynajmniej o 1 mniej w stosunku do G ),

I jeżeli u waży ¹₂ w G , to u waży 0 w prawym podzadaniu oraz u nie ma w prawym podzadaniu (rozmiar lewego i prawego podzadania zmniejsza się o ¹₂).

Konkludując, suma spadku miar podzadania lewego oraz prawego wynosi co najmniej |N(v )| + 2, czyli ≥ 6.

Rozpatrzmy typ II rozgałęzienia: na wierzchołku v stopnia = 3. Oznacza to, że stopień każdego wierzchołka w G jest 6 3.

Łatwo wykazać, że suma spadków miar prawego i lewego podzadania wynosi co najmniej 5 (dowód jak powyżej).

Aby zyskać jeszcze 1 rozważamy sąsiadów zbioru N[v ], czyli N(N[v ]) (wierzchołki w dystansie 2 od v ).

I jeżeli |N(N[v ])| ≥ 2, to w prawym podzadaniu wierzchołki z N(N(v )) tracą po ¹₂,

I pozostaje sprawdzić przypadki |N(N[v ])| = 1 bądź |N(N[v ])| = 0, co pozostawiamy jako ćwiczenie.

Minimalny zbiór rozcyklający

W problemie minimalnego zbioru rozcyklającego chcemy znaleźć najmniejszy zbiór przecinający wszystkie cykle w G (którego usunięcie ‘rozcykla’ graf G ).

Równoważnie: chcemy znaleźć największy zbiór X taki, że X jest lasem.

Łatwo możemy rozwiązać problem w czasie O^∗(2ⁿ).

Czy można szybciej? np. O^∗((2 − )ⁿ) dla pewnego  > 0?

Zaproponujemy algorytm rozgałęziający się o złożoności O^∗(1.8907ⁿ)

Stan algorytmu w każdym węźle drzewa przeszukiwań:

I F – zbiór wybranych wierzchołków do lasu,

I w F wyróżnony jest dokładnie jeden wierzchołek, nazwijmy go aktywnym, i oznaczmy go przez t.

Równoważna reprezentacja – każdą spójną składową indukowaną przez F możemy ‘ściągnąć’ do punktu i usunąć wierzchołki z G , które mają dwie krawędzie do jednego ze ‘ściągniętych’ punktów. Wtedy:

I F – zbiór niezależny (wierzchołki z F ),

I w F wyróżnony jest dokładnie jeden wierzchołek, nazwijmy go aktywnym, i oznaczmy go przez t.

minimalny zbiór rozcyklający

W jednym kroku algorytmu:

I w pierwszej kolejności wyrzucamy z grafu wierzchołki stopnia 0 oraz 1, (wkładamy je do zbioru F )

I jeżeli t nie jest izolowany, wybieramy jeden z wierzchołków v przyległych do t i rozgałęziamy się: albo dodajemy v do F albo usuwamy go z grafu (rozgałęzienie typu II),

I jeżeli t jest izolowany, zamieniamy go na inny z F , który ma jakiś sąsiadów,

I jeżeli wszystkie wierzchołki z F są izolowane, wybieramy dowolny wierzchołek v z V − F i rozgałęziamy się: usuwamy v z grafu bądź dodajemy v do F i czynimy go aktywnym (rozgałęzienie typu I).

Poprawność algorytmu: dla każdego v rozpatrujemy przypadki: albo v ∈ F albo v /∈ F , chyba że na wczesniejszym etapie wiadomo, że dodanie v do F utworzyłoby cykl. A zatem jeżeli X to pewien maksymalny las w G , to istnieje ścieżka w drzewie rozgałęzień prowadząca do F = X .

Dla wierzchołka v ∈ V \ F przyległego do t definiujemy jego stopień rozszerzony jako liczbę wierzchołków z V \ F grafu przyległych do v bądź osiągalnych z v ścieżką długości 2 przechodzącą przez wierzchołek z F różny od t.

Minimalny zbiór rozcyklający

Miara (ważenie) grafu G :

I wierzchołki z F otrzymują wagę 0,

I wierzchołki z V − F przyległe do t otrzymują wagę 1, I pozostałe wierzchołki z V − F otrzymują wagę 1.5.

Miara µG to sumaryczna miara po wszystkich wierzchołkach z G . Początkowo µ(G ) 6³₂n.

Rekurencja:

I dążymy do szacowania T (µG) 6 T (µG− 2.5) + T (µG − 1), I dla wektora rozgałęzień (1, 2.5) mamy τ (1, 2.5) = 1.5290, I w ogólności dostaniemy, że liczba liści jest ograniczona przez

T (µG) 6 O^∗(1.5290^1.5n) = O^∗(1.8907ⁿ),

I nie możemy sobie pozwolić na wektor rozgałęzień (1, 2), gdyż wtedy (τ (1, 2))^1.5= (1.6181)^1.5> 2.

Minimalny zbiór rozcyklający

Rozgałęzienia typu I (wszystkie wierzchołki z F są izolowane): wybieramy wierzchołek v z V − F i rozgałęziamy się:

I pierwsze podzadanie: usuwamy v z G ,

I drugie podzadanie: dodajemy v do F i ustawiamy t = v . Nidobór wzgledem zadania początkowego:

I pierwsze podzadanie: niedobór 1.5 (tyle ważył v ),

I drugie podzadanie: niedobór co najmniej 2.5 (v ważył 1.5, który teraz jako element z F waży 0, dodatkowo co najmniej dwaj sąsiedzi v tracą ¹₂), I wektor rozgałęzień nie gorszy niż (1.5, 2.5), czyli OK.

Rozgałęzienie typu II. Założenie: v przyległy do t ma stopień rozszerzony przynajmniej 3. Rozgałęziamy się:

I pierwsze podzadanie: usuwamy v z G

I drugie podzadanie: dodajemy v do F (i ściągamy komponent aktywny).

Nidobór wzgledem zadania początkowego:

I pierwsze podzadanie: niedobór 1 (tyle ważył v jako sąsiad t),

I drugie podzadanie: niedobór co najmniej 2.5 (v ważył 1, który teraz jako element z F waży 0, dodatkowo każdy rozszerzony sąsiad jeżeli ważył 1 (przylegał do t), waży 0 gdyż jest usuwany z grafu), jeżeli ważył 1.5 to teraz waży 1.

I wektor rozgałęzień nie gorszy niż (1, 2.5), czyli OK. Analiza nie przechodzi dla wierzchołków o stopniu rozszerzonym 2.

Minimalny zbiór rozcyklający

Rozgałęzienie typu II. Założenie: v przyległy do t ma stopień rozszerzony = 2.

Rozgałęziamy się:

I pierwsze podzadanie: dodajemy v do F

I drugie podzadanie: dodajemy dwóch sąsiadów rozszerzonych do F (i ściągamy komponent aktywny).

Poprawność. Jesteśmy w węźle drzewa rozgałęzień prowadzącym do pewnego maksymalnego lasu. Jeżeli v ma co najwyżej dwóch sąsiadów rozszerzonych, to:

I albo v jest w jakimś maksymalnym lesie,

I albo dwóch sąsiadów maksymalnych w1, w2wierzchołka v jest w jakimś maksymalnym lesie.

Dowód. Jeżeli tylko w1 jest w maksymalnym lesie, to zauważmy, że po dołożenie do X wierzchołka v sprawia, że wszystkie cykle grafu zawierają i v i w1. Tym samym, zbiór (X − w1) + v jest również maksymalnym lasem w G . Jeżeli v ma stopień rozszerzony = 1, to v jest w pewnym maksymalnym zbiorze drzewiastym (nie rozgałęziamy się)

Rozgałęzienie typu II. Założenie: v przyległy do t ma stopień rozszerzony = 2.

Rozgałęziamy się:

I pierwsze podzadanie: dodajemy v do F

I drugie podzadanie: dodajemy dwóch sąsiadów rozszerzonych do F (i ściągamy komponent aktywny).

Nidobór wzgledem zadania początkowego:

I pierwsze podzadanie: niedobór przynajmniej 2 (v ważył 1, jego sąsiedzi rozszerzeni spadają z 1 do 0 lub z 1.5 do 1),

I drugie podzadanie: niedobór co najmniej 2 (waga sąsiadów rozszerzonych spada do 0),

I wektor rozgałęzień (2, 2), nie jest gorszy niż (1, 2.5), czyli jest OK.