ZESTAW 4:
Problem wież z Hanoi: Mamy trzy pręty. Na jednym z nich umieszczone jest n- krążków tak, że krążek na samym spodzie ma największą średnicę a krążek na samej górze ma najmniejszą średnicę. Zadanie polega na przeniesieniiu całej wieży krążków na jeden z pozostałych prętów, przy czym w każdym ruchu można brać tylko jeden krążek i nie wolno położyć większego krążka na mniejszym.
1. Znajdź najkrótszą sekwencję ruchów przekładających wieżę n krążków z lewego pręta A na prawy pręt B, jeśli bezpośrednie ruchy między A i B są zabronione.
(Każdy ruch musi dotyczyć środkowego pręta.)
2. Pokaż, że podczas przenoszenia wieży z ograniczeniami z poprzedniego zadania napotkamy każde dopuszczalne ułożenie krążków na 3 prętach.
3. Dowolną liczbę całkowitą dodatnią n można przedstawić w postaci n = 2m+1, gdzie 0 ≤ l < 2m. Przedstaw l i m jako funkcje n. We wzorach możesz użyć nawiasów podłogi i sufitu.
4. Znajdź warunek konieczny i dostateczny, by dla dodatnich liczb całkowitych n za- chodziła równość bnxc = n bxc. (Twój warunek powinien zawierać {x}, gdzie {x} = x − bxc dla dowolnej liczby rzeczywistej x).
5. Proszę udowodnić przydatne reguły:
(a) x < n ⇐⇒ bxc < n, (b) n < x ⇐⇒ n < dxe, (c) x ≤ n ⇐⇒ dxe ≤ n, (d) n ≤ x ⇐⇒ n ≤ bxc,
w których x ∈ R (x - rzeczywiste), n ∈ Z (n - całkowite).
6. Proszę udowodnić zasadę szufladkową Dirichleta: jeśli n elementów rozmieszczamy w m pudełkach to pewne pudełko zawiera co najwyżej bn/mc przedmiotów (i pewne pudełko zawiera co najmniej dn/me przedmiotów - ta część zasady była wg. notatek częściowo udowodniona na wykładzie).
7. Czy możesz powiedzieć coś ciekawego o bf (x)c, gdy f (x) jest ciągłą i malejącą funkcją o wartościach całkowitych tylko dla całkowitych liczb x?
Podpowiedź: Wskazówek proszę szukać w wykładzie nr 5.
Zadania pochodzą z podręcznika
R.L Graham, D.E Knuth, O. Patasnik Matematyka konkretna, rozdział 1-3.
