Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
13. Ciągi
13.1. Ciąg liczbowy
Ciągiem liczb rzeczywistych nazywamy dowolną funkcję a : N → R. Zamiast a(n), piszemy a
n. Ciąg oznaczamy następująco: (a
n) ⊂ R, (a
n)
∞n=1⊂ R lub {a
n}
∞n=1⊂ R.
13.2. Monotoniczność ciągu
1. Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy rosnącym, jeśli a
n6 a
n+1dla n ∈ N.
2. Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy silnie rosnącym, jeśli a
n< a
n+1dla n ∈ N.
3. Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy malejącym, jeśli a
n+16 a
ndla n ∈ N.
4. Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy silnie malejącym, jeśli a
n+1< a
ndla n ∈ N.
5. Ciąg (a
n)
∞n=1⊂ R nazywamy stałym, jeśli a
n+1= a
ndla n ∈ N.
6. Ciąg rosnący lub malejący nazywamy monotonicznym, a ciąg silnie rosnący lub silnie malejący nazywamy silnie monotonicznym.
13.3. Ograniczoność
1. Ciąg (a
n)
∞n=1nazywamy ograniczonym od góry, jeśli istnieje M ∈ R takie, że a
n6 M dla każdego n ∈ N.
2. Ciąg (a
n)
∞n=1nazywamy ograniczonym od dołu, jeśli istnieje M ∈ R takie, że M 6 a
ndla każdego n ∈ N.
3. Ciąg (a
n)
∞n=1nazywamy ograniczonym, jeśli istnieje M ∈ R takie, że |a
n| 6 M dla każdego n ∈ N.
Łatwo zauważyć, że jeśli ciąg jest ograniczony od dołu i od góry, to jest on ograniczony i na odwrót:
jeśli jest ograniczony, to jest ograniczony od góry i od dołu.
13.4. Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny to ciąg (a
n), dla którego a
n+1− a
n= const dla każdego n ∈ N, czyli
∃
r∈R∀
n∈Na
n+1= a
n+ r
a
n+1= a
1+ (n − 1)r − n − ty wyraz ciągu arytmetycznego
S
n= (a
1+ a
n) n
2 = [2a
1+ (n − 1)r] n
2 − suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a
n= a
n−1+ a
n+12 − średnia arytmetyczna
13.5. Ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny to ciąg (a
n), dla którego
an+1an
= const dla każdego n ∈ N, czyli
∃
q∈R∀
n∈Na
n+1= a
n· q
a
n+1= a
1· q
n−1− n − ty wyraz ciągu geometrycznego S
n=
{
n · a
ndla q = 1,
a
1·
11−q−qndla q ̸= 1. − suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego a
2n= a
n−1· a
n+1− średnia geometryczna
Ciąg sum częściowych ciągu geometrycznego (S
n)
∞n=1, S
n= a
1·
11−q−qnjest zbieżny i ma granicę S wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1, tzn.
S = lim
n→∞
S
n= a
11 − q 13.6. Granica ciągu
Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego (a
n)
∞n=1, jeśli dla każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą wyrazów), tzn.
n
lim
→∞a
n= g ⇐⇒ ∀
ε>0∃
M∈R∀
n>M|a
n− a| < ε.
Ciąg (a
n), który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym.
Ciąg (a
n)
∞n=1jest zbieżny do + ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M , tzn.
n
lim
→∞a
n= + ∞ ⇐⇒ ∀
M∈R∃
m∈R∀
n>ma
n> M.
Ciąg (a
n)
∞n=1jest zbieżny do −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M , tzn.
n
lim
→∞a
n= −∞ ⇐⇒ ∀
M∈R∃
m∈R∀
n>ma
n< M.
13.7. Ważne twierdzenia Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli lim
n→∞
a
n= lim
n→∞
b
n= g oraz jeśli (c
n)
∞n=1jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność a
n6 c
n6 b
n, to ciąg (c
n)
∞n=1jest zbieżny oraz lim
n→∞
c
n= g.
Twierdzenie
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Twierdzenie Jeżeli lim
n→∞
a
n= a, lim
n→∞
b
n= b, to 1. lim
n→∞
(a
n± b
n) = a ± b, 2. lim
n→∞
(a
n· b
n) = a · b,
3. lim
an=
a, jeśli b ̸= 0, b ̸= 0.
Twierdzenie Jeżeli lim
n→∞
a
n= a, lim
n→∞
b
n= b i prawie wszystkie wyrazy ciągów (a
n) i (b
n) spełniają nierówność a
n6 b
n, to a 6 b.
Twierdzenie o ciągu monotonicznym
Każdy ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.
Każdy ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.
13.8. Różne granice
n
lim
→∞1 n
= 0
n
lim
→∞|a
n| = ∞ =⇒ lim
n→∞a1n= 0
(∀
n∈Na
n> 0 ∧ lim
n→∞a
n= 0
)
= ⇒ lim
n→∞a1n= + ∞
n
lim
→∞a
n=
0, gdy |a| < 1 1, gdy a = 1 + ∞, gdy a > 1
n
lim
→∞√
nn = 1 lim
n→∞
√
na = 1, gdy a > 0
n
lim
→∞(
1 + 1
n
)n= e lim
n→∞
(
1 − 1
n
)n= 1
e lim
n→∞
(
1 + a
n
)n= e
aa > 1, k > 1 = ⇒ lim
n→∞a
nn
k= + ∞ 13.9. Przykładowe zadania
1. Zbadać monotoniczność ciągu a
n=
2n+13n+1. Rozwiązanie:
Badamy różnicę a
n+1− a
n.
a
n+1− a
n=
2(n+1)+13(n+1)+1−
2n+13n+1=
2n+33n+4−
2n+13n+1=
(2n+3)(3n+1)−(2n+1)(3n+4)(3n+4)(3n+1)
=
(3n+4)(3n+1)−1< 0 dla każdego n ∈ N.
Odpowiedź: Ciąg a
njest silnie malejący.
2. W ciągu arytmetycznym a
5= 12, a
10= 32. Obliczyć a
1, r.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego a
n= a
1+ (n − 1)r.
Zatem a
5= a
1+ 4r = 12, zaś a
10= a
1+ 9r = 32. Stąd r = 4, a
1= −4.
Odpowiedź: r = 4, a
1= −4.
3. W ciągu arytmetycznym a
3= 21, r = 8. Obliczyć S
13. Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego a
n= a
1+ (n − 1)r.
Zatem a
3= a
1+ 2r = a
1+ 2 · 8 = 21, stąd a
1= 5.
Korzystamy ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego S
n=
[2a1+(n2−1)r]·nS
13=
(2·5+12·8)·132
= 689
Odpowiedź: S
13= 689.
4. Dla jakich wartości x liczby 2, 2x, x
2− 2 tworzą ciąg arytmetyczny?
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną a
2=
a1+a2 32x =
2+x22−2, zatem x
2− 4x = 0, czyli x
1= 0, x
2= 4 Odpowiedź: x
1= 0, x
2= 4.
5. Zbadać, czy ciąg a
n=
8n5−3jest arytmetyczny.
Rozwiązanie:
Ciąg jest arytmetyczny, gdy jest stała różnica pomiędzy wyrazem następnym a poprzednim.
a
n+1− a
n=
8(n+1)5 −3−
8n5−3=
8n+8−3−8n+35=
85Odpowiedź: Ciąg jest arytmetyczny.
6. W ciągu geometrycznym a
3= 48, a
9= 3072. Obliczyć a
1i q.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu geometrycznego a
n= a
1· q
n−1Zatem a
3= a
1· q
2= 48, zaś a
9= a
1· q
8= 3072. Stąd q
6= 64, zatem q = ±2, a
1= 12.
Odpowiedź: q = ±2, a
1= 12.
7. W ciągu geometrycznym S
n= −1533, a
5= −48, q = 2. Obliczyć n.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na n–ty wyraz ciągu geometrycznego a
n= a
1· q
n−1Zatem a
5= a
1· 2
4= −48, stąd a
1= −3.
Korzystamy ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego S
n= a
11−qn 1−qS
n= a
11−qn1−q
= −3 ·
1−21−2n= 3(1 − 2
n).
Stąd 3(1 − 2
n) = −1533, zatem 1 − 2
n= −511, czyli 2
n= 512, stąd n = 9.
Odpowiedź: n = 9.
8. Zbadać, czy ciąg a
n= 2
−njest geometryczny.
Rozwiązanie:
Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz pomiędzy dowolnym wyrazem, a wyrazem go poprzedzającym jest stały (nie zależny od n). Obliczmy
an+1
an
=
2−(n+1)2−n=
2−n−12−n= 2
−1=
12.
Odpowiedź: Ciąg jest geometryczny.
9. Dla jakich wartości x liczby 4x, −4, x tworzą ciąg geometryczny?
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na średnią geometryczną a
2= √ a
1· a
3Zatem −4 = √
4x · x, stąd −4 = 2|x|, czyli x = −2.
Odpowiedź: x = −2.
10. Obliczyć sumę ciągu 1 −
√12+
12−
2√12+ . . . Rozwiązanie:
Jest to nieskończony ciąg geometryczny, w którym a
1= 1 oraz q = −
√12. Korzystamy ze wzoru S =
1a−q1S =
11−(−√1
2)
=
11+√1 2
=
√2+11√2
=
√22+1
= 2 − √ 2 Odpowiedź: S = 2 − √
2.
11. Obliczyć lim
n→∞
n2+n−5 2n2+3n+7
. Rozwiązanie:
Dzielimy każdy składnik licznika i mianownika przez n w najwyższej potędze z mianownika, czyli n
2.
Zatem
1+1 n−n25 2+n3+7
n2
.
Skoro n → ∞, to
n12→ 0,
n1→ 0.
Stąd lim
n→∞
1+n1−n25 2+n3+7
n2
=
12Odpowiedź:
12.
12. Obliczyć lim
n→∞
( √
n
2+ n − n).
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru a − b =
a2a+b−b2, otrzymujemy lim
n→∞
n2+n−n2
√n2+n+n
= lim
n→∞
√ n
n2+n+n
, dzielimy każdy składnik przez n, stąd lim
n→∞
√ 1
1+1n+1
=
12. Odpowiedź:
12.
13. Obliczyć lim
n→∞
√ 1
4n2−5n+3−2n
. Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru
a−b1=
aa+b2−b2, otrzymujemy lim
n→∞
√4n2−5n+3+2n
4n2−5n+3−(2n)2
= lim
n→∞
√4n2−5n+3+2n
−5n+3
, dzie- limy każdy składnik przez n, stąd lim
n→∞
√
4−n5+ 3
n2+2
−5+n3
=
−54= −
45. Odpowiedź: −
45.
14. Obliczyć lim
n→∞
3n+1−5·4n 4n+2+3n
. Rozwiązanie:
n
lim
→∞3n+1−5·4n 4n+2+3n
= lim
n→∞
3n·3−5·4n 4n·42+3n
= lim
n→∞
3n·3−5·4n
16·4n+3n
, dzielimy każdy składnik przez 4
n, stąd lim
n→∞
(34)n·3−5 16+(34)n
=
−
165.
Odpowiedź: −
165.
15. Obliczyć lim
n→∞
(1 +
n42)
3n2. Rozwiązanie:
n
lim
→∞(1 +
n42)
3n2= lim
n→∞
[(
1 +
n42)n24 ]12
= e
12Odpowiedź: e
12.
16. Obliczyć lim
n→∞
(
n−3n)
4n. Rozwiązanie:
n
lim
→∞(
n−3n)
4n= lim
n→∞
(1 −
3n)
4n= lim
n→∞
[(
1 −
n3)−n 3
]−12
= e
−12Odpowiedź: e
−12.
17. Obliczyć lim
n→∞
(1 +
4n)
n+2. Rozwiązanie:
n
lim
→∞(1 +
n4)
n+2= lim
n→∞
(1 +
n4)
n· (1 +
n4)
2= lim
n→∞
[(
1 +
n4 )n4]4· (1 +
4n)
2= e
4, bo
n4→ 0, więc (1 +
4n)
2→ 1
Odpowiedź: e
4. 18. Obliczyć lim
n→∞
(
nn+1−2)
3n. Rozwiązanie:
n
lim
→∞(
nn+1−2)
3n= lim
n→∞
(1−n2)3n
(1+n1)3n
= lim
n→∞
[
(1−n2)− n2
]−6
[(1+n1)n]3
=
ee−63= e
−5Odpowiedź: e
−2.
19. Obliczyć lim
n→∞
√
n3
n+ 5
n+ 10
n. Rozwiązanie:
Zachodzi następująca nierówność:
10
n6 3
n+ 5
n+ 10
n6 10
n+ 10
n+ 10
n= 3 · 10
n.
Obliczamy pierwiastek n–tego stopnia dla każdego ze składników nierówności. Jest to funkcja rosnąca, zatem znak nierówności nie zmieni się. Stąd
10 = √
n10
n6 √
n3
n+ 5
n+ 10
n6 √
n3 · 10
n6 √
n3 · 10.
Ponieważ √
n3 → 1, więc skrajne ciągi są zbieżne do 10. Stosujemy twierdzenie o trzech ciągach, stąd lim
n→∞
√
n3
n+ 5
n+ 10
n= 10.
Odpowiedź: 10.
20. Obliczyć lim
n→∞
sin n!
n
. Rozwiązanie:
Zachodzi następująca nierówność:
−1 6 sin n! 6 1
Wszystkie strony nierówności mnożymy przez
n1−
n1¬
n1· sin n! ¬
1nPonieważ −
n1→ 0 oraz
1n→ 0, więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że lim
n→∞
sin n!
n
= 0.
Odpowiedź: 0.
13.10. Zadania
1. Zbadać monotoniczność ciągu a
n=
3n1+2. Napisać cztery pierwsze wyrazy ciągu:
2. a
n= 2
n−1. 3. a
n= 2n
2− 3n + 2. 4. a
n=
2nn−12.
5. Dla jakich wartości parametru m liczby m + 2, 2m − 3, 4m + 7 tworzą ciąg arytmetyczny?
6. Obliczyć n w ciągu arytmetycznym, gdy a
1= −7, r = 5, a
n= 93.
7. W ciągu arytmetycznym S
25= −425, a
1= 7. Obliczyć r.
8. Czy ciąg a
n=
n1+ 3 jest ciągiem arytmetycznym?
9. Rozwiązać równanie 1 + 4 + 7 + . . . + x = 117.
10. Wyraz pierwszy ciągu arytmetycznego wynosi 7 i jest dwa razy mniejszy od wyrazu szóstego.
Obliczyć wyraz dwudziesty pierwszy.
11. Dla jakich x liczby 2
x+2+ 9, 2
x+ 1, 1 tworzą ciąg geometryczny?
12. Czy ciąg a
n= n
2+ 1 jest ciągiem geometrycznym?
13. Obliczyć 2 + √
2 + 1 + · · · .
14. W ciągu geometrycznym a
7− a
4= 112,
aa35
= 256. Obliczyć a
1i q.
15. W ciągu geometrycznym q = 3 oraz wiadomo, że suma odwrotności wyrazów a
1i a
2wynosi 18.
Obliczyć a
1.
16. Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego wynosi 60. Suma kwadratów tych wy- razów jest równa 2952. Znaleźć iloraz tego ciągu.
17. Liczby x, y, 3 tworzą ciąg arytmetyczny, a liczby 3, x, y ciąg geometryczny. Wyznaczyć te liczby.
Obliczyć granicę ciągu:
18. lim
n→∞
2n2+6 n3−4n2+1
. 19. lim
n→∞
4n3+2n+3 7n3−5n2+4
. 20. lim
n→∞
√n n2−1
. 21. lim
n→∞
( √
n
2+ n − 2 − n).
22. lim
n→∞
√ 1
9n2+6n−3n
. 23. lim
n→∞
4n+5n 4n+1+5n+1
.
24. lim
n→∞
2n+3n+1 3n+4n−1
. 25. lim
n→∞
(1 +
n2)
3n. 26. lim
n→∞
(1 −
n102)
3n2. 27. lim
n→∞
(
n+3n−2)
2n+5. 28. lim
n→∞
(
4n4n−1)
3n.
29. lim
n→∞
√
nπ
n+ e
n+ 3
n. 30. lim
n→∞
(2
n+ 7
n)
n1. 31. lim
n→∞
n ln(
n+1n).
32. lim
n→∞
sin(n!+1) n+3
. 33. lim
n→∞
cos (n+2)!
n+5
