WYKŁAD nr 2 1. Zadanie programowania liniowego (ZPL)

(1)

WYKŁAD nr 2

1. Zadanie programowania liniowego (ZPL)

Zadania programowania liniowego dotyczą znajdowania ekstremum funkcji liniowej przy liniowych ograniczeniach równościowych i nierównościowych . Mają duże znaczenie praktyczne zarówno jako niezależne problemy optymalizacyjne jak również pierwsze przybliżenia zadań optymalizacji nieliniowej . Stosowane są często jako etapy pomocnicze przy rozwiązywaniu bardziej skomplikowanych zagadnień programowania nieliniowego .

2. Podstawowe definicje i sformułowania

Dana jest liniowa funkcja skalarna zmiennych o postaci : n

n nx c x

c x c

z= ₁ ₁+ ₂ ₂ +...+ (2.1)

(2.2)

[

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

•

⋅

•

=

n n

x x x c c

c z

2 1

2

1

]

< c x > (2.3)

= z

zwana dalej funkcją kosztów, (funkcją kryterialna , wskaźnikiem jakości) oraz układ „m” nierówności liniowych w postaci np.:

m n mn m

m

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

= +

+ +

≤ +

+ +

≥ +

+ +

....

...

....

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

(2.4)

(2.5)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

≥ •

=

≤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

•

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

•

m n

mn m

m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

2 1 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11

, ,

Ax≤ b (2.6)

Macierz o wymiarach A

[

^{m *}ⁿ

]

zawiera współczynniki ^a_ij^,ⁱ=¹^,..,^m^,^j=¹^,..,ⁿ wynikające z treści ograniczeń.

(2)

Wektor to wektor zmiennych decyzyjnych x x_j ,j=1,..,n

Wektor to wektor wyrazów wolnych b b_i ,i=1,..,m globalnych ograniczeń ( wektor wymagań ).

Wektor c to wektor współczynników kosztów c_j , j=1,..,n 1. ZPL można sformułować następująco :

Znaleźć wektor (wektor optymalnych zmiennych decyzyjnych) , który zminimalizuje

xˆ

przy ograniczeniach Ax

>

⋅

=<c x

z ≤ b (2.7)

2. Minimalizacja funkcji kosztów (2.3) może być zastąpiona przez )

max(

minz =− −z (2.8)

3. Jeżeli w zbiorze ograniczeń ZPL występują ograniczenia nierównościowe to przez wprowadzenie nowych zmiennych (zmienne dopełniające) ograniczenia (2.6) można sprowadzić do ograniczeń równościowych:

+1

xn

Ax = b

( ) x( ) b i m j n k m

a x

a_i_,_j ⋅ _j + _i_,_n₊_k ⋅ _n₊_k = _i , =1,.., , =1,.., , =1,.., (2.9) np.:

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

≤⎡

⎥≥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1 2

1 22 21

12

11 ,

b b x

x a a

a

a wprowadzenie nowych

zmiennych ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

2 1

4 3 2 1

22 21

12 11

1 0

0 1

b b x x x x a

a a a

macierz

A

rozszerzona macierz

A

wektor zmiennych decyzyjnych

wektor wyrazów wolnych

wektor zmiennych decyzyjnych +

zmienne dopeniające

Rys. 2.1. Wprowadzenie zmiennych uzupełniających

(2.10)

4. Postać kanoniczna :

dowolna postać programowania liniowego może być sprowadzona do zapisu : znaleźć taki wektor zmiennych decyzyjnych dla którego xˆ

z=f(xˆ) < c x przy ograniczeniach Ax = b 0 (2.11) minx

= > x≥

(3)

5. Warunki optymalności dla ZPL :

znaleźć takie że xˆ < c xˆ >

0

minx∈X

= < c x >

gdzie zbiór zdefiniowany jest : X₀ X₀ = {x: x∈Rⁿ, Ax≤ b } A[m*n] ,b∈R^m,x

[

m*1

] [ ]

,bn*1

warunek konieczny: niech będzie rozwiązaniem ZPL wówczas istnieje takie że :

xˆ Rm

∈

≥ λ

λˆ 0, b - Axˆ ≤ 0

⋅

λˆ A=cT ^T ; c < xˆ > =<b⋅λˆ> (2.12)

6. Warunki istnienia rozwiązania układów liniowych

Układ równań liniowych ^A^x⁼^b^,^A

[

^m^*ⁿ

]

^,^dim^x⁼ⁿ ^,^dim ^b⁼^m^ma

rozwiązanie x∈Rⁿ wtedy i tylko wtedy , gdy macierz A_R =[A,b] utworzona z macierzy i wektora jest takiego samego rzędu co macierz . A b A

( )

A rz

( )

A !!!!!

rz _R = (2.13)

Rząd macierzy równy jest maksymalnemu wymiarowi różnego od zera minora wyjętego z tej macierzy.

np.:

( )

_⎥ (2.14)

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

2 1 22

21 12

11 , 1 ,

b wektor b a rz

a a

macierz A a A b

(2.15) 1

) ( ,

2 22 21

1 12

11 ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ _R

R rz

b a a

b a

macierz A a A

układ równań zbudowany w oparciu o A,b ma rozwiązanie,

Jeżeli rząd macierzy równy jest rzędowi macierzy występują trzy przypadki

AR A

1. rz(A)=m=n układ równań posiada jedno rozwiązanie,

2. rz(A)=n < m układ równań posiada jedno rozwiązanie oraz

(

m− równań zbędnych , n

)

3. rz(A)=n > m nieskończenie wiele rozwiązań układ nieoznaczony.

(4)

7. Podstawowe definicje dotyczące rozwiązania ZPL

Niech będzie dane ZPL w postaci kanonicznej a mianowicie : znaleźć wektor

(2.16)

n m

n o

X x

R R

n x m

R X

z że taki

o

∈

≥

=

>

<

=

>

=<

∈

c b

x x b x x

x c, x

c, x

, ,

] [

} ,

0 , :

{

ˆ min ˆ

A

a.) wektor x∈X_ograniczen_ia_liniowe nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym , b.) macierzą bazową B układu równań Ax=b rz(A)=m ,n>m

nazywamy nieosobliwą macierz kwadratową o wymiarze utworzoną z liniowo niezależnych kolumn macierzy .

[

^{m *}^m

]

a A

c.) rozwiązaniem bazowym układu równań Ax=b rz(A)=m ,n>m nazywamy wektor x_B =B⁻¹⋅b

Składowe wektora x_B noszą nazwę zmiennych bazowych .

d.) rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem dopuszczalnym jeżeli wektor jest nieujemny

xB

≥0 xB

e.) maksymalna ilość rozwiązań bazowych wynosi :

)!

(

!

! m n m

n

−

⋅

f.) niezdegenerowanym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym nazywamy rozwiązanie bazowe , w którym wszystkie zmienne są dodatnie ; x_B ≥0 g.) rozwiązaniem optymalnym zadania ZPL nazywamy rozwiązanie

dopuszczalne które minimalizuje funkcje kosztów (wskaźnik jakości , funkcje celu )

xˆ

>

=< xc, z

3. Przykłady zastosowania PL Przykład nr.2

Przyjmiemy układ ograniczeń liniowych w postaci układu nierówności :

−x₁+x₂ ≤1 , x₁+x₂ ≥2 , x₁≤2 (2.17) który wyznacza obszar rozwiązań dopuszczalnych jak na rys.2.2

(5)

Określimy wskaźnik jakości z=< xc, > w którym wektor współczynników kosztów wynosi . Zadanie sprowadza się do poszukiwania w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych takiego wektora rozwiązań , dla którego iloczyn skalarny ( wskaźnik jakości ) osiągnie wartość minimalną

[

3 5

=

c

]

> x

< xc,

x1

x2

2

0 2

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych

1≤2 x

2 1

1+ ≤

− x x

2 2

1+ x ≥ x

A

B

C

Rys.2.2 Obszar rozwiązań dopuszczalnych wyznaczonych przez układ nierówności liniowych .

Wprowadzamy do układu nierówności przedstawiających ograniczenia zmienne dodatkowe sprowadzające układ nierówności w układ równań ;

2 2 1

5 1

4 2

1

3 2 1

= +

=

− +

= +

+

−

x x

x

x x x

x_i≥ i0, =1,..,5 (2.18)

równanie (2.18) zapiszemy w postaci macierzowej :

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

2 2 1

1 0 0 0 1

0 1 0 1 1

0 0 1 1 1

5 4 3 2 1

x x x x x

[ ]

^⋅³^*⁼⁵ ^m⁼³^, ⁿ⁼⁵ ^;^dim^x⁼⁵ ^dim^b⁼³

A A x b

(2.19)

(6)

ilość rozwiązań bazowych

)!

(

!

! m n m

n

−

⋅ = 10

)!

3 5 (

! 3

!

5 =

−

⋅

tworzymy macierze bazowe uformowane z kolumn macierzy .

[

a1 a2 a3 a4 a5

]

B

= A

Jak zaznaczono powyżej ilość rozwiązań bazowych wynika z ilości macierzy bazowych których zbiór przedstawia się następująco :

[ ]

^⎪^⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

5 4 3 10

5 4 2 9

5 3 2 8

4 3 2 7

5 4 1 6

5 3 1 5

4 3 1 4

5 2 1 3

4 2 1 2

3 2 1 1

:

a a a

B B B B B B B B B B

B

Z punktu widzenia sensowności zadania rz(B)=2 interesujące są jedynie te rozwiązania bazowe w których wektor zawiera obie zmienne wchodzące wchodzącego do wskaźnika jakości tj.

x

[

^x₁^{, x}₂

]

,a ogólna liczba zmiennych równa jest rzędowi macierzy B . Zatem do dalszej konkurencji mogą być jedynie brane rozwiązania bazowe powstałe w oparciu o macierze bazowe

3 .

2 1,B ,B B

Rozwiązanie bazowe nr 1

1./ Macierz bazowa B

[ ]

(2.20)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

=

0 0 1

0 1 1

1 1 1

3 2 1

1 a a a

2./ Macierz odwrotna do

(2.21)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅

−

=

⇒ ⁻

2 1 1

1 1 0

1 0 0 ) 1

1 (

1

1 B

B

3./ Rozwiązanie bazowe nr 1 x^B¹=B₁⁻¹⋅b (2.22)

(7)

(2.23)

( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 0 2

2 2 1

2 1 1

1 1 0

1 0 0 1

3 2 1 1

x x x xB

4./ Wartość wskaźnika jakości dla rozwiązania bazowego wynosi:

(2.24) b

x^B¹=B₁⁻¹⋅

[ ]

⁶

0 5 2

1 3

1 ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

=

>

=< ^B zB c,x

[ ]

(2.25)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

0 0 1

1 1 1

0 1 1

4 2 1

2 a a a

2./ Macierz odwrotna do

(2.26)

( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅

−

=

⇒ ⁻

2 1 1

1 0 1

1 0 0

1 1

2

2 B

B

3./ Rozwiązanie bazowe nr 2 x^B² =B⁻¹₂ ⋅b (2.27)

(2.28)

( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 3 2

2 2 1

2 1 1

1 0 1

1 0 0 1

4 2 1 2

x x x xB

(2.29) b

x^B² =B⁻¹₂ ⋅

[ ]

21

3 5 2

2 3

2 ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

=

>

=< ^B zB c,x

[ ]

(2.30)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

=

1 0 1

0 1 1

5 2 1

3 a a a

2./ Macierz odwrotna do (2.31)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⇒ ⁻

1 5 . 0 5 . 0

0 5 . 0 5 . 0

31

3 B

B

3./ Rozwiązanie bazowe nr 3 x^B³ =B⁻¹₃ ⋅b (2.32)

(8)

(2.33)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

5 . 1

5 . 0

2 2 1

1 5 . 0 5 . 0

0 5 . 0 5 . 0

5 2 1 3

x x x xB

b x^B³ =B⁻¹₃ ⋅

(2.34)

[ ]

⁹

5 . 1

5 . 5 0

3 3

3 ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

=

>

=< ^B zB c,x

Z układu równań (2.24) wynika ,że 2x₁ = oraz 0x₂= . Rozwiązanie to nazywamy zdegenerowanym ponieważ jedna ze zmiennych decyzyjnych przyjmuje wartość zero

Wskaźnik jakości dla rozwiązania zdegenerowanego wynosi:

(2.35)

[ ]

⁶

0 5 2

3 ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

=

>

=< ^d zd c,x

W świetle punktu 8 litera g rozwiązaniem optymalnym zadania ZPL nazywamy rozwiązanie dopuszczalne które minimalizuje funkcje kosztów (wskaźnik jakości , funkcje celu ) ) .Rozwiązaniem optymalnym przykładu nr 1 będzie rozwiązanie zdegenerowane nr 1 generujące wartość wskaźnika jakości równą 6 . Innym zagadnieniem jest, czy rozwiązanie zdegenerowane jest do przyjęcia z uwagi na istotę problemu opisanego przytoczonymi równaniami ograniczającymi i przedstawionym wskaźnikiem jakości .

xˆ

>

=< xc,

z xˆ

Przykład nr 1

Aglomeracja zasilana jest w wodę przez dwa ujęcia wody znajdujące się na tym samym cieku w miejscach poboru P₁ , P₂ .

Ilość wody z ujęcia nr 1 to zmienna decyzyjna , ilość wody z ujęcia nr 2 to zmienna decyzyjna . Zapotrzebowanie na wodę jest zmienne i zawiera się w przedziale co można zinterpretować jako ograniczenia w postaci:

x1

x2

3 2≤A_z ≤

3 :

2 :

2 1 2

2 1 1

≤ +

≥ +

x x g

x x

g (2.36)

Z uwagi na zasadę nienaruszalności przepływu wody w rzece w przekroju wodowskazowym zależności między poborami wyrażają się w postaci przykładowych ograniczeń :

S x₁ ,x₂

1 5 . 0 :

5 . 0 :

1 2

4

1 2

3

+

⋅

≤

⋅

≥ x x

g

x x

g (2.37)

(9)

Koszt poboru wody z ujęcia zawarty jest we współczynniku kosztów , oraz koszt poboru wody z ujęcia odzwierciedla współczynnik kosztów . Przy ograniczeniach oraz wskaźnika jakości

(sumaryczny koszt poboru wody ), wyznaczyć wektor optymalnych zmiennych decyzyjnych minimalizujący jego wartość .Wektor współczynników kosztów wyraża się liczbowo

P1 c₁

P2 c₂

{

^, ¹^,..,⁴

: g i=

G _i

}

z^{=< x}c, ^>

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

2 1

ˆ ˆ ˆ

x x x

[

₁, ₂

] [

= 1 2

]

= c c c

P1

P2 S

Rys 2.3 Aglomeracja , ujęcia wody , przekrój wodowskazowy S

x

1

x

2

2 0

1 g

2 2 g

3 g

4 g

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych

A B

C

D xˆ

1

xˆ

2

[ ] 2 . 67

66 . 0

33 . 2 1 1

66 . 0

33 . 1 ˆ

ˆ

2 1

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅ ⎡

=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ z

x D x

Rys.2.4 Interpretacja graficzna do przykładu nr3.

Interpretacja graficzna w/w zadania przedstawia się następująco.

Zaznaczony na rysunku czworokąt A, B,C ,D stanowi obszar rozwiązań

(10)

dopuszczalnych. Minimalną wartość wskaźnika jakości można odczytać wprost z rysunku uwzględniając współrzędne punktów i przemnażając przez współczynniki kosztów . Minimum wskaźnika jakości o wartości 2.67 znajduje się w punkcie

D C B A, , ,

c z

D .

Sprowadzamy układ równań ograniczeń do postaci kanonicznej przez wprowadzenie dodatkowych zmiennych , które pozwalają zapisać równania ograniczeń w postaci równościowej ;

1 5

, 0 :

0 5

, 0 :

3 :

2 :

6 2

1 4

5 2

1 3

4 2

1 2

3 2 1 1

= + +

−

=

− +

−

= +

+

=

− +

x x

x g

x x

x g

x x

x g

x x x g

(2.38)

a następnie przekształcając do liniowego równania macierzowego otrzymujemy

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

1 0 3 2

1 0 0 0 1 5 , 0

0 1 0 0 1 5 , 0

0 0 1 0 1 1

0 0 0 1 1 1

6 5 4 3 2 1

x x x x x x

, A⋅x=b (2.39)

Stosując metodę rozwiązań bazowych ( ilość możliwych macierzy bazowych B )! 15

4 6 (

! 4

! 6 )!

(

!

! =

−

= ⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

⋅ n m m

n ) tworzymy kolejne macierze bazowe z kolumn macierzy

wg następującego schematu

A

[ ]

[ [ ]

[

₁ ₂ ₅ ₆

]

6

6 4 2 1 5

5 4 2 1 4

6 3 2 1 3

5 3 2 1 2

4 3 2 1 1

a a a a

=

B B B B B B

]

^(2.40)

Dla macierzy bazowej nie istnieje macierz odwrotna zatem dla tej macierzy brak rozwiązania bazowego .

B1

Dla macierzy bazowej B₂ rozwiązanie bazowe wynosi :x^B² =B⁽₂^{− )}¹ ⋅b

(11)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

−

1 1 66 , 1

33 , 1

1 0 3 2

1 1 0 0

0 0 1 1

666 , 0 0 333 , 0 0

666 , 0 0 666 , 0 0

1 0 3 2

0 0 1 5 ,

1 0 1 5 ,

0 0 1 1

0 1 1

1 ⁽ ¹⁾

5 3 2 1 2

x x x x xB

(2.41) Dla macierzy bazowej B₃ rozwiązanie bazowe wynosi: x^B³=B⁽₃^{− )}¹ ⋅b

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

−

1 1 1 2

1 0 3 2

1 1 0

0

0 0 1

1

0 66 , 0 333 , 0 0

0 66 , 0 666 , 0 0

1 0 3 2

1 0 1 5 ,

0 0 1 5 ,

0 0 1 1

0 1 1

1 ⁽ ¹⁾

6 3 2 1 3

x x x x xB

(2.42) Dla macierzy bazowej B₄ rozwiązanie bazowe wynosi: x^B⁴ =B⁽₄^{− )}¹ ⋅b

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

= −

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

−

1 1 33 , 1

66 , 0

1 0 3 2

1 1 0 0

0 0 1 1

666 , 0 0 0 333 , 0

666 , 0 0 0 666 , 0

1 0 3 2

0 0 1 5 ,

1 0 1 5 ,

0 1 1 1

0 0 1

1 ⁽ ¹⁾

5 4 2 1 4

x x x x xB

(2.43) Dla macierzy bazowej B₅ rozwiązanie bazowe wynosi: x^B⁵ =B₅⁽^{− )}¹ ⋅b

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

= −

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

−

1 1 66 , 0

33 , 1

1 0 3 2

1 1 0

0

0 0 1 1

0 666 , 0 0 333 , 0

0 666 , 0 0 666 , 0

1 0 3 2

1 0 1 5 ,

0 0 1 5 ,

0 1 1 1

0 0 1

1 ⁽ ¹⁾

6 4 2 1 5

x x x x xB

(2.44) Dla macierzy bazowej nie istnieje macierz odwrotna zatem dla tej macierzy brak rozwiązania bazowego .

B6

Otrzymane rozwiązania bazowe tworzą zbiór rozwiązań dopuszczalnych .

{ }

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

1 1 66 , 0

33 , 1 , 1 1 33 , 1

66 , 0 , 1 1 1 2 , 1 1 66 , 1

33 , 1 ,

,

, ³ ⁴ ⁵

2 B B B

B L

O x x x x

X (2.45)

(12)

W następnej kolejności sprawdzamy warunki ograniczające dla rozwiązań bazowych i przyjmujemy to rozwiązanie jako optymalne dla którego występuje minimalna wartość wskaźnika jakości . Rozwiązaniem optymalnym jest rozwiązanie bazowe dla którego wskaźnik jakości wynosi 2,667.

z ˆ^B5

x

Odpowiedź obowiązującą w rozpatrywanym przykładzie można sformułować następująco : z uwagi na przyjęte współczynniki kosztów i obowiązujące ograniczenia wielkości poborów wody z miejsc poboru wody powinny wynosić

2 1,P

[ ]

^m³ ^s ^, ^ˆ ⁰^,⁶⁶

[ ]

^m³ ^s P 33

,

ˆ₁=1 x₂=

x . Dla tych wartości poborów koszt

zaopatrzenia aglomeracji w wodę będzie najmniejszy .