WYKŁAD 10
3.5. Zastosowania pochodnych: monotoniczność funkcji, ekstrema funkcji, wklęsłość, wypukłość, styczna do krywej.
Pochodna funkcji zawiera informacje o zachowaniu się tej funkcji, w szczególności informacje dotyczące monotoniczności.
3A+B106 (Twierdzenie: warunki monotoniczności funkcji). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na przedziale ( , )a b , to:
106.1. Funkcja f jest niemalejąca (albo nierosnąca) na ( , )a b wtedy i tylko wtedy gdy f x (odpowiednio '( ) 0 f x ) dla '( ) 0 x ( , )a b .
106.2. Jeżeli f x '( ) 0 (albo f x '( ) 0) dla x ( , )a b to funkcja f jest rosnąca (odpowiednio malejąca) na ( , )a b ;
106.3. Jeżeli f x dla '( ) 0 x ( , )a b to funkcja f jest stała na ( , )a b . Dowód wynika z 3A+B101.
Uwaga. Jeżeli f x dla '( ) 0 x ( , )a b , przy czym f x tylko dla '( ) 0 skonczonej liczby punktów x( , )a b , to f jest rosnąca na ( , )a b
(przykład: y f x( )x x3, ( 1,1); '( )f x 3 , '(0)x2 f ). 0
Ćwiczenie (B). Podać warunek konieczny i wystarczający ścisłej monotoniczności.
3A107 (Definicja: ekstrema funkcji). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum (albo minimum) lokalne jeżeli istnieje otoczenie O x( , )0 takie, że
( ) ( 0)
f x f x (odpowiednio f x( ) f x( 0)) dla x S x( , )0 . Jeżeli zamiast powyższych nierówności słabych spełnione są odpowiednio nierówności mocne
( ) ( 0)
f x f x (albo f x( ) f x( 0)), to maksimum (minimum) lokalne nazywamy właściwym. Maksima i minima nazywamy ekstremami (lokalnymi).
Określonego tu ekstremum (lokalnego) nie należy mylić z ekstremum absolutnym czyli globalnym, tzn. maksimum (minimum) globalnym, co oznacza po prostu największą (albo odpowiednio najmniejszą) wartość funkcji w podanym zbiorze.
Uwaga (B). Funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu, w którym przyrost f funkcji nie zmienia znaku.
f(x)
a min max max min b x0 x
3A+B108 (Twierdzenie Fermata). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i ma ekstremum lokalne w punkcie x , to 0 f x'( 0) . 0 f(x)
0 x x 0
Uwaga. Implikacja odwrotna jest fałszywa (prz.: f x( )x x3, 0 ). 0
3A109 (Wniosek: warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeżeli funkcja f ma ekstremum w punkcie x , to 0 f x'( 0) lub nie istnieje (to jest funkcja może 0 mieć ekstrema lokalne tylko w takich punktach).
3A+B110 (Warunek wystarczający ekstremum). Jeżeli funkcja f ciagla w otoczeniu O x( 0) i f x dla '( ) 0 xO x( 0),xx0, oraz ( )f x dla 0
0 0
( ),
xO x x , to w punkcie x x funkcja f ma własciwe maksimum lokalne. 0 Jeżeli '( ) 0f x dla xO x( 0),xx0, i f x '( ) 0dla xO x( 0),x , to w x0 punkcie x funkcja f ma (własciwe) minimum lokalne. 0
3A+B111 ( II warunek istnienia ekstremum). Jeżeli funkcja f spełnia warunek
0 0
'( ) ''( )
f x f x ... f(n1)(x0)0, f( )n (x0) , to jeżeli 0 111.1) n jest liczbą parzystą, gdzie n , to 2
1) dla f( )n (x0) funkcja f w punkcie 0 x ma minimum lokalne (własciwe), 0 2) dla f( )n (x0) funkcja f w punkcie 0 x ma maksimum lokalne (własciwe); 0 111.2) n jest liczbą nieparzystą, to funkcja w punkcie x nie ma ekstremum 0 lokalnego.
3A112 (Uwaga). Z twierdzenia Weierstrassa 3A+B81.1 wynika, że funkcja ciągla na przedziale ograniczonym i domkniętym przyjmuje wartość
najmniejszą i największą, to jest ma ekstrema globalne. Zatem, aby znależć ekstrema globalne funkcji w przedziale domkniętym i ograniczonym, wystarczy obliczyć jej wartości w punktach krytycznych (tzn. tych, w których pochodna funkcji jest równa zeru i w punktach, w których pochodna nie istnieje), zatem w punktach brzegowych i wybrać z nich wartość największą i najmniejszą.
Przykłady. Znależć
1) wszystkie ekstrema funkcji
4 1 2 1 4 ) 1
(x x4 x2
f ;
2) wartości najwększą i najmniejszą tej funkcji na przedziale domkniętym [ 1,2].
3A+B113 (Definicja: wklęsłość i wypukłość). Funkcja f jest wypukła w
przedziale ( , )a b , jesli dla każdych dwóch punktów x x1, 2( , )a b i dla każdego [0,1]
t zachodzi nierówność f x( 1 t x( 2 x1)) f x( )1 t f x( ( 2) f x( ))1 . Oznacza to, że odcinek siecznej wykresu funkcji f łączący punkty
1 1 2 2
( , ( )),( , (x f x x f x )) leży nad wykresem. Jeżeli dla
1, 2 ( , ) ( )t ( )1 ( ( 2) ( ))1
x x a b f x f x t f x f x
, gdzie xt x1 t x( 2 x1),
[0,1]
t , to funkcję nazwiemy wklęsłą (odcinek secznej leży pod wykresem funkcji).
f(x2) f(x1) + t(f(x2) - f(x1)
f(xt) f(x1)
0 x1 xt x2
Dla funkcji różniczkowalnej wypukłość i wklęsłość można opisać przy pomocy stycznej do wykresu: jeśli styczna leży zawsze 1) pod wykresem, to funkcja jest wypukła, 2) nad wykresem, to funkcja jest wklęsła. Dla funkcji dwukrotnie różniczkowalnej mamy
113.1 (Twierdzenie). Jeśli dla każdego x( , )a b zachodzi warunek f ''( )x 0, to funkcja f jest wypukła w tym przedziale (prz.: y f x( )x x2, ).
113.2 (Twierdzenie). Jeśli f ''( )x 0dla x ( , )a b , to funkcja f jest wklęsła w tym przedziale.
113.3 (Twierdzenie). Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna i wypukła (albo wklęsła) w przedziale ( , )a b , to f ''( )x (odpowiednio 0 f ''( )x ) dla 0
( , ) x a b
.
113.4 (Definicja). Jeśli w punkcie x funkcja zmienia się z wypuklej we wklęsłą 0 lub na odwrót, punkt x0 (punkt ( , (x0 f x0)) nazywa się punktem przegięcia funkcji ( wykresu funkcji ) f (przykład: yx x3, 0 ). 0
3A+B114 (Twierdzenie). Warunki istnienia punktu przegięcia:
114.1) konieczny: jeśli ( , (x0 f x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji, to ''( )0 0
f x lub nie istnieje;
114.2) wystarczający: jeżeli funkcja ciągła f w punkcie x0 ma pochodną (może niewłaściwą) i istnieje sąsiedztwo S x( 0) takie, że f ''( )x0 (albo 0
''( 0) 0
f x ) dla xx x0, S x( 0) oraz f ''( )x (odpowiednio 0 f ''( )x0 ) 0 dla xx x0, S x( 0) (mówimy, że druga pochodna zminia znak w
punkcie x ), to 0 ( , (x f x0 0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f.
Przykład: 1 4 1 2 1 2 0 1
( ) ''( ) 3 1 0
4 2 4 3
f x x x f x x x punkty
0 0
1 1
3, 3
x x są punktami przegięcia funkcji f.
3A+B115 (Badanie funkcji). Celem badania przebiegu zmienności danej funkcji jest podanie jej podstawowych własności i naszkisowanie wykresu. Badanie obejmuje zwykle następujące czynności:
115.1. Wstępne badanie funkcji:
1) ustalenie dziedziny funkcji;
2) wskazanie podstawowych własności funkcji: parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość (szukamy punktów niciągłości i badamy granice jednostronne w tych punktach) i t.d.;
3) znalezienie asymptot pionowych i ukośnych;
4) obliczenie granic lub wartości funkcji na «krańcach» dziedziny itd.
115.2. Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:
1) wyznaczenie dziedziny pochodnej funkcji i jej obliczenie;
2) wyznaczenie punktów (krytycznych), w których funkcja może mieć ekstrema;
3) ustalenie predziałów monotoniczności funkcji;
4) ustalenie ekstremów funkcji;
5) obliczenie granic lub wartości pochodnej na «krańcach» jej dziedziny.
115.3. Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:
1) wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej i jej obliczenie;
2) wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć punkty przegięcia tzn.
punktów w których druga pochodna zeruje się ( ''( ) 0)f x lub nie istnije;
3) ustalenie przedziałów wypukłości i wklęsłości;
4) wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji;
5) obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia.
115.4. Sporządzenie wykresu funkcji.
Ćwiczenie (A). Zbadać funkcję
x x x x
f
33 1 )
( .
3B+C116 (Rozwinięcie Taylora funkcji). Niech funkcja f ma w pewnym otoczeniu O x( 0) punktu x0 pochodną rzędu n+1. Wtedy mamy
116.1. Wzór Taylora z resztą Lagrange’a:
0 2
0 0 0 0
''( )
( ) ( ) '( )( ) ( )
2!
f x
f x f x f x xx xx ... ( )( 0) 0
( ) ( )
!
n
n n
f x
x x R x
n
dla pewnego punktu c między x i x0, gdzie
( 1)
1 0
( ) ( )( )
( 1)!
n
n n
f c
R x x x
n
jest
resztą Lagrange’a, xO x( 0).
116.2. Jeżeli x 0 0 otrzymamy wzór Maclaurina ( cx):
( ) ( 1)
(0) ( ) 1
( ) (0) '(0) ...
! ( 1)!
n n
n n
f f x
f x f f x x x
n n
dla pewnej liczby
, 0 1
. Mamy zatem
1) ( ) ( ) 1 ... 1 1
! ( 1)!
x
x n e n
f x e f x x x x
n n
;
2)
1 2 3
3 2 1
1 ( 1) ( 1)
( ) sin ... sin ( (2 3) )
3! (2 1)! (2 3)! 2
n n n
n x
f x x x x x x n
n n
,
0 ; 1
3) 1 2 ( 1) 2 2 1
( ) cos 1 ... ( )
2! (2 )!
n n
f x x x x R n x
n
;
4)
1
1 2 ( 1)
( ) ln (1 ) ... ( )
2
n n
f x x x x x R xn
n
;
5) 1 ( 1) 2 ... ( 1) ... ( 1)
1 2 !
( ) (1 ) x x n xn n( )
f x x n R x
.
3A+B117 (Kąt przecięcia wykresów funkcji). Jeżeli wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny ( ,x y i funkcje są różniczkowalne w punkcie 0 0) x , to kątem 0 przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt ostry między stycznymi wystawionymi do wykresów tych funkcji w punkcie ( ,x y . 0 0)
