Ćwiczenia AM II, 25.10/2016 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych
Zadanie 1. Wykazać, że funkcja f(x, y) =px3 2ynie jest różniczkowalna w (0, 0) chociaż ma obie pochodne cząstkowe w tym punkcie.
Zadanie 2. Niech f(x, y) = sin(xx2+y4+y24), jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Czy f jest różniczkowalna w (0, 0).
Zadanie 3. Niech f(x, y) = xx32+y+y32, jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest ciągła, ale nie jest różniczko- walna.
Zadanie 4. Pokazać, że funkcja f(x, y) = (x − y2)(3x − y2) po obcięciu do dowolnej prostej przechodzącej przez (0, 0) ma minimum lokalne w (0, 0). Czy f ma minimum lokalne w (0, 0) ?
Zadanie 5. Zbadać różniczkowalność funkcji f(x, y) = ln(1 + |xy|p), p ∈ R.
Zadanie 6. (f : Rn ⊃ U → R, a ∈ U , U otwarty podzbiór Rn) Uzasadnij, że następujący ciąg (a)-(f) jest ciągiem istotnie coraz słabszych warunków
(a) Pochodne cząstkowe funkcja f istnieją w otoczeniu punktu a i są ciągłe w a;
(b) Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a;
(c) Istnieją pochodne kierunkowe Dvf(a) funkcji f w kierunku dowolnego wektora v 6= 0, funkcja v 7→
Dvf(a) jest liniowa, a ponadto f jest ciągła w a;
(d) Istnieją pochodne kierunkowe Dvf(a) funkcji f w kierunku dowolnego wektora v 6= 0, funkcja v 7→
Dvf(a) jest liniowa;
(e) Istnieją pochodne kierunkowe Dvf(a) funkcji f w kierunku dowolnego wektora v 6= 0;
(f) Istnieją pochodne cząstkowe ∂x∂f
i(a), i = 1, . . . , n, funkcji f w punkcie a.
Zadanie 7. (ZD1, 4.11.2016) Niech 0 < a < b, n ∈ N. Niech
f(x1, . . . , xn) = x1x2. . . xn
(a + x1)(x1+ x2)(x2+ x3) · · · (xn+ b). Znaleźć supAf na zbiorze A = {(x1, . . . , xn) : a ¬ x1¬ x2¬ . . . ¬ xn ¬ b}.
Zadanie 8. (ZD2, 4.11.2016) Znajdź przykłady funckji pokazujące, że implikacje (c) =⇒ (b) oraz (d) =⇒ (c) z Zadania 6 nie zachodzą.
Zadanie 9. (ZD3, 4.11.2016) Wyznacz wszystkie punkty, w których funkcja
f(x, y) =
(ln(1+xy)
y , jeśli y 6= 0 x, jeśli y = 0.
jest różniczkowalna.
1
