). Po- chodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej x w punkcie (x

Funkcje wielu zmiennych

Informacje pomocnicze

Denicja 1. Niech funkcja f(x, y) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x

, y

). Po- chodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej x w punkcie (x

, y

) okre±lamy wzorem:

∂f

∂x (x

, y

) := lim

h→0

f (x

+ h, y

) − f (x

, y

)

h .

Pochodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej y w punkcie (x

, y

) okre±lamy wzorem:

∂f

∂x (x

, y

) := lim

h→0

f (x

, y

+ h) − f (x

, y

)

h .

Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz¡stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje

∂f

∂x

(x, y) ,

(x, y) nazywamy pochodnymi cz¡stkowymi pierwszego rz¦du funkcji f w zbiorze D.

Uwaga 2. Pochodna cz¡stkowa

(x, y) jest pochodn¡ funkcji f(x, y), gdzie zmienna y traktowana jest jako staªa. Analogicznie mo»na interpretowa¢ pochodn¡ cz¡stkow¡

(x, y) :

∂f

∂x (x, y) = d

d x [f (x, y)|

)];

∂f

∂y (x, y) = d

d y [f (x, y)|

)].

Zatem obliczanie pochodnych cz¡stkowych mo»na wykonywa¢ z wykorzystaniem znanych reguª ró»- niczkowania. Pami¦taj¡c, »e przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem x (symbol

(x, y) lub f

(x, y) ) nale»y uwa»a¢ y za staªa, a przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem y (symbol

(x, y) lub f

(x, y) ) nale»y uwa»a¢ x za staªa.

Denicja 3. (ró»niczkowalno±¢ funkcji w punkcie)

Niech istniej¡ pochodne cz¡stkowe

(x

, y

),

(x

, y

). Wówczas mówimy, »e funkcja f(x, y) jest ró»niczkowalna w punkcie (x

, y

), gdy:

lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) − f (x

, y

) −

(x

, y

)(x − x

) −

(x

, y

)(y − y

) p(x − x

)

+ (y − y

)

= 0.

Denicja 4. (ró»niczka funkcji trzech zmiennych)

Niech funkcja f ma pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie (x

, y

, z

). Ró»niczk¡ funkcji f w punkcie (x

, y

, z

) nazywamy wyra»enie:

df (x

, y

, z

)

= ∂f

∂x (x

, y

, z

)(x − x

) + ∂f

∂y (x

, y

, z

)(y − y

) + ∂f

∂z (x

, y

, z

)(z − z

). (1)

Fakt 5. (zastosowanie ró»niczki do oblicze« przybli»onych) Niech funkcja f ma ci¡gªe pochodne

Fakt 6. (zastosowanie ró»niczki do szacowania bª¦dów pomiarów)

Niech funkcja z = f(x, y, w) opisuje zale»no±¢ pomi¦dzy wielko±ciami x, y, w, z, pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du funkcji f s¡ ci¡gªe. Ponadto warto±¢ |x − x

| jest bezwzgl¦dnym bª¦dem pomiaru warto±ci x (odpowiednio |y−y

|, |w −w

| to bª¦dy bezwzgl¦dne warto±ci y i w). Wówczas maksymalny bª¡d bezwzgl¦dny szacujemy nast¦puj¡co:

∆z ≤    

∂f

∂x    

· |x − x

| +    

∂f

∂y    

· |y − y

| +    

∂f

∂z    

· |w − w

|. (3)

Fakt 7. (równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji)

Niech funkcja z = f(x, y) ma ci¡gle pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie (x

, y

). Wów- czas dowolny wektor normalny pªaszczyzny stycznej do funkcji f w punkcie (x

, y

) jest postaci

~ n = h

∂f

∂x

(x

, y

),

(x

, y

), −1 i, a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

, y

) wyra»a si¦ wzorem:

− z − z

+ ∂f

∂x (x

, y

)(x − x

) + ∂f

∂y (x

, y

)(y − y

) = 0. (4) Denicja 8. Pochodnymi cz¡stkowymi rz¦du drugiego funkcji dwóch zmiennych f(x, y) oznaczamy symbolami

,

,

,

nazywamy pochodne cz¡stkowe jej pochodnych cz¡stkowych

,

tzn.

∂

f

∂x

= ∂

∂x

 ∂f

∂x



, ∂

f

∂x∂y = ∂

∂x

 ∂f

∂y

 ,

∂

f

∂y∂x = ∂

∂y

 ∂f

∂x



, ∂

f

∂y

= ∂

∂y

 ∂f

∂y

 .

U»ywamy nast¦puj¡cych oznacze«:

= f

,

= f

,

= f

,

= f

. Denicja 9. (pochodna kierunkowa)

Niech funkcja f(x, y) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x

, y

). Wówczas pochodn¡

kierunkow¡ funkcji f w kierunku wektora jednostkowego(wersora) ~[v] = [v

, v

] okre±lamy wzorem:

∂f

∂~ v (x

, y

)

= lim

t→0⁺

f (x

+ tv

, y

+ tv

) − f (x

, y

)

t .

Denicja 10. Gradientem funkcji f(x, y) w punkcie (x

, y

) nazywamy wektor:

gradf(x

, y

)

=  ∂f

∂x (x

, y

), ∂f

∂y (x

, y

)

 .

Twierdzenie 11. Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x

, y

) ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du, to:

∂f

∂~ v (x

, y

) = gradf(x

, y

) ◦ ~ v = ∂f

∂x (x

, y

)v

+ ∂f

∂y (x

, y

)v

.

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Denicja 12. Mówimy, »e funkcja z=f(x,y) posiada w punkcie (x

, y

) maksimum (minimum) lo- kalne, je»eli istnieje otoczenie O punktu (x

, y

) takie, »e dla ka»dego punktu (x, y) ∈ O speªniona jest nierówno±¢ :

f (x, y) ≤ f (x

, y

) 

f (x, y) ≥ f (x

, y

) 

. (5)

Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych nazywamy ekstremami lokalnymi.

Twierdzenie 13. (warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych)

Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x

, y

) ekstremum lokalne oraz w punkcie tym istniej¡ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du

(x

, y

),

(x

, y

) to obie w tym punkcie s¡ równe zeru, tzn. zachodzi:

∂f

∂x (x

, y

) = 0, ∂f

∂y (x

, y

) = 0. (6)

Twierdzenie 14. Niech wyznacznik pochodnych cz¡stkowych drugiego rz¦du funkcji f, w punkcie (x

, y

) tzw. wyznacznik Hessa (hesjan), oznaczymy przez = ∆

:

∆

=     

∂²f

∂x²

(x

, y

)

(x

, y

)

∂²f

∂y∂x

(x

, y

)

(x

, y

)      .

Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego na otoczeniu punktu (x

, y

) oraz obie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w tym punkcie s¡ równe zeru

∂f

∂x (x

, y

) = 0, ∂f

∂y (x

, y

) = 0.

Wówczas:

a) je±li ∆

> 0 oraz ∆

=

(x

, y

) > 0, to w punkcie (x

, y

) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne;

b) je±li ∆

> 0 oraz ∆

< 0, to w punkcie (x

, y

) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne;

c) je»eli ∆

< 0, to w punkcie(x

, y

) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.

d) je»eli ∆

= 0 to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x

, y

) przeprowadzamy innymi me- todami.

Algorytm wyznaczania ekstremów funkcji dwóch zmiennych:

1. wyznaczamy dziedzin¦ funkcji f;

2. obliczamy pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du;

4. w ka»dym z punktów krytycznych obliczamy Hesjan ∆

oraz warto±¢ ∆

; 5. sprawdzamy, który z punktów a) − d) Twierdzenia 14 zachodzi.

Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych funkcji dwóch zmiennych w obszarze do- mkni¦tym:

1. Wyznaczamy punkty krytyczne na istnienie ekstremów lokalnych wewn¡trz obszaru otwartego;

2. Wyznaczamy szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie¢ ekstrema warunkowe. W tym celu skªadamy funkcj¦ dwóch zmiennych z funkcj¡ okre±laj¡c¡ brzeg obszaru (brzeg nale»y podzieli¢ na sum¦ cz¦±ci, które mo»na opisa¢ równaniami y = ϕ(x) lub x = ψ(y)).

3. Porównujemy warto±ci funkcji w powy»szych punktach i ustalamy warto±¢ najmniejsz¡ i naj-

wi¦ksz¡ w tym obszarze domkni¦tym.

Zadania na ¢wiczenia

1. Wyznacz dziedziny naturalne funkcji:

(a) f (x, y) = x

y

− x sin y; (b) f (x, y, z) = x

y

− x

ln z + y

e

; (c) f (x, y) =

√

x²+y²−9

; (d) f (x, y) = ln(4x + yx);

(e) f (x, y) = arcsin

; (f ) f (x, y) = p2x

− y

.

2. Na podstawie denicji oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji w punkcie (0, 0) :

(a) f (x, y) =

( x

+ y

dla xy = 0

0 dla xy 6= 0; ; (b) f (x, y) = px

− y

.

3. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»- niczkowania):

(a) f (x, y) = x

y

− x sin y; (b) f (x, y, z) = x

y

− x

sin z + y

e

; (c) f (x, y) = x

; (d) f (x, y) = (ln x)

;

(e) f (x, y, z) = (2x + 3z)

; (f ) f (x, y, z) = xy

; (g) f (x, y) = ln sin(x − 2y); (h) f (x, y) = (1 + xy)

;

(i) f (x, y) = ye

; (j) f (x, y) = ln(x + px

+ y

);

(k) f (x, y) = (x + y) ln

(1 − x − y); (l) f (x, y) =

; (m) f (x, y) = e

arctg(xy); (n) f (x, y) = arcsin

q

; (o) f (x, y) = (xy

+ 1) arctg

(y √

x); (p) f (x, y, z) = √

xy(4x + 3z)

; 4. Oblicz pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du podanych funkcji:

(a) f (x, y) =

ln(x

+ y

); (b) f (x, y) = arctg

;

(c) f (x, y) = sin xy; (d) f (x, y) = x sin(x + y) + y cos(x + y);

(e) f (x, y, z) = e

; (f ) f (x, y, z) = px

+ y

+ z

. 5. Wyka», »e:

(a) funkcja z(x, y) = √

x ln

speªnia równanie x

+ y

=

; (b) funkcja u(x, y) = x

speªnia równanie

+

= 2u;

(c) funkcja w(x, y, z) = ln(x

+ y

+ z

− 3xyz) speªnia równanie

+

+

=

. 6. Zbadaj ró»niczkowalno±¢ funkcji f(x, y) w punkcie (0, 0) :

(a) f (x, y) =

(

x²+2y²

dla (x, y) 6= (0, 0)

0 dla (x, y) = (0, 0); ; (b) f (x, y) = √

xy.

7. Napisz ró»niczk¦ zupeªn¡ podanych funkcji:

(a) f (x, y) = √

x²+y²

; (b) f (x, y) = ln tg(x + y);

(c) f (x, y) = ln px

+ y

; w (x

, y

) = (−4, 3) (d) f (x, y) = x sin(x + z) + z cos(x + y);

(e) f (x, y, z) = (xy)

; (f ) f (x, y) = cos

.

8. Napisz równanie pªaszczyzny stycznej do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

9. Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji oblicz przybli»one warto±ci podanych wyra»e«:

(a) 1, 07

; (b) p1, 04

+ 3, 01

;

(c) arctg

; (d) ln(0, 09

+ 0, 99

);

(e) sin 29

· sin 46

, zakªadaj¡c, »e π = 3.142; (f ) p

(sin

1, 55 + 8e

)

; (g) cos 2, 36 · arctan 0, 97 · 3

; (h)

q3

098·

√

1,05³

.

10. Dany jest sto»ek o wysoko±ci h = 10 cm oraz promieniu podstawy R = 5cm. Jak zmieni si¦

obj¦to±¢ sto»ka, gdy wysoko±¢ wzro±nie o 2 mm a promie« zmaleje o 2 mm?

11. Promie« podstawy sto»ka wynosi R = 10, 2 ± 0, 2cm, a tworz¡ca l = 44, 6 ± 0, 1 cm. Znajd¹ obj¦to±¢ sto»ka, oraz okre±l jaki popeªniamy maksymalny bª¡d bezwzgl¦dny oraz wzgl¦dny przy obliczaniu tej obj¦to±ci.

12. Okre±l maksymalny bª¡d wzgl¦dny jaki po popeªnimy obliczaj¡c opór przewodnika ze wzoru R =

, gdzie napi¦cie na ko«cach przewodnika wynosi E = 100±2V, a nat¦»enie I = 10±0, 1A.

13. Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie:

(a) f (x, y) = 5x

y − 3xy

+ y

, (x

, y

) = (1, 2);

(b) f (x, y) = sin 

πpx

+ y



(x

, y

) = (3, 4);

(c) f (x, y, z) =

(x

, y

, z

) = (−2, 1, 3).

14. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x

, y

) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k¡t jaki tworzy wektor ~v z osi¡ Ox):

(a) f (x, y) = y

+ ln(xy), (x

, y

) = (2, 1), ~ v = [1, 1]

(b) f (x, y) = x

y, (x

, y

) = (5, 1), w kierunku punktu (x

, y

) = (−1, −2);

(c) f (x, y) = ln(e

+ e

), (x

, y

) = (1, 1), α = 45

; (d) f (x, y) = 3x

+ xy + y

, (x

, y

) = (1, 2), α = 135

;

(e) f (x, y) = xy, (x

, y

) = (1, 1), w kierunku wektora najszybszego wzrostu.

15. Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:

(a) f (x, y) = (x − 2)

+ 2y

; (b) f (x, y) = x

+ 4xy − 2y

;

(c) f (x, y) = 4x

y + 24xy + y

+ 32y − 6; (d) f (x, y) = x

+ y

− 2x

+ 4xy − 2y

; (e) f (x, y) = x

+ y

− 2x − 4 √

xy − 2y + 8; (f ) f (x, y) = e

(x + y

);

(g) f (x, y) = xy +

+

, x, y > 0; (h) f (x, y) = ln(y + 2x) − 3x − 2y

; (i) f (x, y) = 2|x − 1| + 3|y + 5|; (j) f (x, y) = e

;

(k) f (x, y) = x

+ y

− 2 ln x − 18 ln y, x, y > 0;

16. Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f(x, y) = x

+ y

− 24 ln(x + y) w trójk¡cie domkni¦tym ograniczonym prostymi x = 0, y = 2, x + y = 8.

17. Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f(x, y) = x

y w obszarze domkni¦tym ograniczonym krzy- wymi y = e

, y = e

, y = e

.

18. Z dªugiego prostok¡tnego pªata blachy o szeroko±ci 42cm nale»y skonstruowa¢ otwart¡ od góry rynn¦ o przekroju trapezu równoramiennego. Jak¡ szeroko±¢ powinno mie¢ dno rynny oraz pod jakim k¡tem b¦d¡ wygi¦te ramiona przekroju, aby rynna mogªa pomie±ci¢ jak najwi¦ksza ilo±¢

wody?