Udowodnić, że x→2limx2=4

Część 9

9.1. Udowodnić, że

x→2limx²=4.

9.2. Udowodnić, że

x→1lim 1

(1 − x)² =∞.

9.3. Udowodnić, że

x→1lim x −1 x²−1 = 1

2.

9.4. Pokazać, że nie istnieje granica funkcji:

1. limx→1sin_x−1¹ ; 2. lim_x→02^1/x.

9.5. Obliczyć granicę funkcji f w punkcie x0, jeśli:

(i)

f(x) =









2x, −2 < x < 1, 1, x =1,

x +1, 1 < x < 2, x0= ¹₂, x0=1, x0=1, 001.

(ii) f(x) =cos x+4 tan x

2−x−x⁴ , x₀=0;

(iii) _x^x2²−12x+20^−5x+6 , x0=2;

(iv) _x^x₂²_−12x+20^−5x+6 , x₀=10;

(v)

√1+x−1

x , x0=0;

(vi) ^{sin 2x}₂ , x₀=0.

9.6. Obliczyć

x→0lim sin 2x

x .

9.7. Obliczyć

x→lim∞

2x + 3 2x + 1

x+1

.

9.8. Uzasadnić, że nie istnieje granica

x→∞lim xsin x.

9.9. Obliczyć granicę lewostronną (prawostronną) funkcji f w punkcie x₀:

(i) f(x) =_x¹, x0=0;

(ii) f(x) = _1−x¹₂, x₀=1.

9.10. Czy f jest funkcja ciagłą (i)

f(x) =





1

1+2^1/x, x6= 0,

0, x =0;

(ii)

f(x) =





xsin^2π_x, x6= 0,

1, x =0?

9.11. Zbadać ciągłość funkcji f(x) = x − [x], x ∈ R.

9.12. Czy można funkcję f rozszerzyć do funkcji cią- głej na R?

(i) f(x) =^1−x_1+x²; (ii) f(x) = tg x;

(iii) f(x) =|x|, |x| > 1.

9.13. Dla jakich parametrów a, b ∈ R funkcja f jest ciągła na R?

f(x) =





x²+ ax + b, |x| < 2, x√

x²−4, |x| > 2.

9.14. Uzasadnić ciągłość funkcji f(x) = x(|x| + 1)⁻¹, x∈ R.

9.15. Uzasadnić, że równanie 4^x = x²+2 ma jedno rozwiązanie w przedziale (0, 1).

9.16. Udowodnić tzw. twierdzenie Brouwera o punk- cie stałym : jeśli f : [0, 1] → [0, 1] jest funkcją ciągłą, to istnieje taki punkt x0∈ [0, 1], że f(x0) = x0.

9.17. Uzasadnić, że każdy wielomian stopnia trzeciego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

9.18. Uzasadnić, że wśród wszystkich prostokątów wpisanych w koło o promieniu R jest taki o największym polu.

9.19. Uzasadnić, że wśród wszystkich walców wpisa- nych w stożek o promieniu podstawy R i wysokości H istnieje taki o największej objętości.

Zadania dodatkowe D.9.1. Udowodnić, że

x→−lim∞

1 x =0.

D.9.2. Udowodnić, że

x→lim∞x²=∞.

D.9.3. Korzystając z definicji w sensie Cauchy’ego uzasadnić, że

x→3lim(5x + 8) = 23.

D.9.4. Obliczyć:

(i) lim_x→1^x_2x^2+x−32−2x; (ii) lim_x→πx^sin₂₋₁^x3; (iii) lim_x→^π

4 tan 2x;

(iv) lim_x→0^{sin 4x}_{sin 2x}; (v) lim_x→0^{sin 5x}_{cos x}; (vi) lim_x→0^{sin 8x}₄ ; (vii) lim_x→1

√2−x−1 x−1 ; (viii) lim_x→^π

2

sin x−1 x−^π₂ ; (ix) lim_x→−∞√

x²+1 − x;

(x) lim_x→∞ ^x_x²2⁺¹−1

x²

; (xi) limx→∞ 3^x−2^x
1_x

.

D.9.5. Obliczyć granicę lewostronną (prawostronną) funkcji f w punkcie x0:

(i) f(x) =√ ^x

| sin x|, x₀=0;

(ii) f(x) = ^x_x²2^−3x+2−2x+1, x0=1;

(iii) f(x) = ^x_x²₂^−3x+2_−2x+1, x₀=2;

(iv)

f(x) =





xsin x_x¹, −∞ < x < 0,

sin_x¹, 0 < x <∞ , x0=0.

D.9.6. Obliczyć

x→lim∞

q

x(x −p x²−1)

D.9.7. Stwierdzić nieciągłość funkcji f w punkcie x = 2,

f(x) =





|x−2|x−2 + x, x6= 2,

1, x =2.

D.9.8. Zbadać ciągłość funkcji 1. f(x) = _{cos x}^{sin x};

2. f(x) = ^x_x²₂^−x₋₁.

Czy można funkcję f rozszerzyć do funkcji ciągłej na ja- kimś większym zbiorze?

D.9.9. Wykazać, że równanie (1 − x) cos x = sin x ma rozwiązanie w przedziale (0, 1).

D.9.10. Wykazać, że równanie x³+6x − 2 = 0 ma do- kładnie jeden pierwiastek rzeczywisty w przedziale (0, 1).

D.9.11. Tak dobrać parametry a, b ∈ R, aby funkcja f była ciągła na R:

f(x) =





ax +1, x6^π2, sin x + b, x > ^π₂.

D.9.12. Uzasadnić ciągłość funkcji f danej wzorem f(x) =p

e^x+ x².

D.9.13. Uzasadnić, że wśród wszystkich prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku długości a ma- jących dwa wierzchołki na jednym boku trójkąta istnieje taki, którego pole jest największe.

D.9.14. Udowodnić, że wśród graniastosłupów prawi- dłowych o podstawie sześciokątnej wpisanych w kulę o promieniu podstawy R istnieje ten, który ma największą objętość.

Część 10

9.20. Kinetyczne równanie ruchu ma postać

h(t) = h0−gt² 2 ,

gdzie h0oznacza wysokość, z jakiej spada ciało, a t ozna- cza czas. Stała g, nazywana przyspieszeniem ziemskim, wynosi w przybliżeniu 9, 81^m_s2. Z wysokości 1000 me- trów upuszczono metalową kulkę. Obliczyć, z jaką pręd- kością porusza się kulka będąc 155 metrów nad ziemią.

Dla uproszczenia rachunków można przyjąć g = 10^m_s2.

9.21. W firmie obliczono, że zysk generowany przez maszynę produkującą pewien produkt zależy w następu- jący sposób od czasu pracy (podanego w godzinach) tej maszyny:

x7→ −x⁴+6x³−9x²+4x, x >0.

Jaki czas pracy maszyny generuje najwyższy zysk?

9.22. Podać równanie stycznej do funkcji f(x) = x³+1 w punkcie (2, 9).

9.23. Korzystając z definicji znaleźć pochodną f⁰ na- stępujących funkcji f.

(i) f(x) = c, c ∈ R, (ii) f(x) =√

x²+1, (iii) f(x) =|x|.

9.24. Uzasadnić, że jeśli f⁰(x) oraz g⁰(x)istnieją, to (i) (f + g)⁰(x) = f⁰(x) + g⁰(x),

(ii) (fg)⁰(x) = f⁰(x)g(x) + f(x)g⁰(x).

9.25. Znaleźć pochodną funkcji f, jeśli

(i) f(x) = x sin x, (ii) f(x) = x²e^x.

9.26. Znaleźć równanie prostej stycznej do funkcji f(x) = x +_x¹
5

w punkcie x0=1.

9.27. Określić parametry a, b, c tak, aby funkcja f miała pochodną na całym zbiorze liczb rzeczywistych

f(x) =









4x, x6 0,

ax²+ bx + c, 0 < x < 1, 3 − 2x, x> 1.

9.28. Obliczyć sumęPn

k=0ke^kx.

9.29. Znaleźć punkty, w których ekstrema lokalne ma funkcja f : R → R dana wzorem

f(x) = x⁴−2x².

9.30. Podać wartość największą i najmniejszą funkcji f(x) = x⁴−2x²

na przedziale−¹₂, 2.

9.31. Wskazać ekstrema funkcji f(x) = 2 sin x + cos 2x.

9.32. Wskazać ekstrema funkcji f(x) = x³+1.

9.33. Zbadać istnienie punktów ekstremalnych funkcji f(x) = x⁴−4x³+16x + 4.

9.34. W kulę o promieniu R wpisano walec o najwięk- szej możliwej objętości. Znaleźć jego wymiary.

9.35. Znaleźć przedziały, w których funkcja f : R \ {±1} → R dana wzorem f(x) = _x2^x−1² jest wklęsła (wy- pukła).

9.36. Zbadać przebieg zmienności oraz naszkicować wykres funkcji f : R \ {2} → R danej wzorem

f(x) = x²−3 x −2.

9.37. Zbadać przebieg zmienności funkcji f : [−2π, 2π] → R danej wzorem f(x) = x − sin x.

Następnie naszkicować jej wykres.

9.38. Napisać formułę Taylora z resztą dla funkcji f(x) =ln x dla n = 3 i x0=1.

9.39. Znaleźć wartość przybliżoną cos 61^◦oraz zbadać błąd przybliżenia.

9.40. Uzasadnić, że jeśli f jest wielomianem stopnia n danym wzorem

f(x) = a0+ a1xⁿ+. . . + a_n−1xⁿ⁻¹+ anxⁿ, wówczas wzór Maclaurina stopnia n dla funkcji f jest równy wielomianowi f.

9.41. Podać wzór Taylora funkcji f(x) = e^x, dowolne- go n ∈ N i x⁰=0.

9.42. Człowiek porusza się po prostej ścieżce z prędko- ścią 1^m/s. Jego kroki śledzone są przez reflektor umiesz- czony na poziomie gruntu w odległości 20 m od ścieżki. Z jaką kątową prędkością obraca się reflektor w momencie, gdy człowiek jest w odległości 10 m od miejsca, w którym reflektor jest najbliżej ścieżki?

9.43. Zbiornik na wodę ma kształt stożka skierowa- nego wierzchołkiem ku dołowi. Jego wysokość wynosi 12 m, promień podstawy zaś 6 m. Woda pompowana jest z prędkością 10l/min. W przybliżeniu określić prędkość z jaką podnosi się poziom wody w zbiorniku, wówczas gdy ma on 3 m.

9.44. Niech f : [a, b] → R będzie funkcją różnicz- kowalną na (a, b) i ciągłą na [a, b]. Pokazać, że jeśli

|f(x) − f(y)| 6 (x − y)² dla dowolnych x, y ∈ [a, b], to fjest funkcją stałą.

9.45. Uzasadnić, że jeśli funkcja f : [a, b] → R ma ograniczoną pochodną, to spełnia warunek Lipschitza.

Podać przykład funkcji, która nie ma ograniczonej po- chodnej na (a, b).

9.46. Uzasadnić następującą nierówność x

x +1 <ln(1 + x) < x, x >0.

9.47. Uzasadnić, że

| arctan x − arctan y| 6 |x − y|

dla dowolnych x, y ∈ R.

9.48. Nie obliczając pochodnej stwierdzić, czy istnie- je w przedziale [−1, 1] punkt stacjonarny funkcji f(x) = 13x¹²+21x²+1.

9.49. Uzasadnić, że równanie x¹³+7x³+ x −5 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.

9.50. Czy funkcja

f(x) =





x²e^−x2, |x| 6 1,

1

e, |x| > 1 jest różniczkowalna na R.

9.51. Wiedząc, że równanie y⁴+3y − 4x³=5x + 1,

można rozwikłać (ze względu na zmienną x), znaleźć po- chodną funkcji y = f(x).

9.52. Podać równanie stycznej do wykresy funkcji y⁴+3y − 4x³=5x + 1,

w punkcie (x, y), dla którego x = 1 a f(1) = −2.

9.53. Podać wzór funkcji opisującej współczynnik na- chylenia stycznej do okręgu. Uzasadnić, że półprosta na- rysowana z początku układu współrzędnych przechodzą- ca przez punkt P przecina prostą styczną do okręgu w punkcie P pod kątem prostym.

Zadania dodatkowe

D.9.15. Pozycję punktu P na prostej ` w chwili czasu t opisuje funkcja f(t) = t²−6t. Znaleźć prędkość v punktu P w chwili t0. Ustalić kiedy punkt porusza się w prawo, a kiedy w lewo.

D.9.16. Korzystając z definicji znaleźć pochodną f⁰ następujących funkcji f oraz ustalić dziedzinę funkcji f⁰.

(i) f(x) = 3x²+5x − 8, (ii) f(x) = _x¹, f(x) =√

x, x > 0.

9.54. Uzasadnić, że jeśli f⁰(x) oraz g⁰(x) istnieją oraz g⁰(x)6= 0, to

(i) (cf)⁰(x) = cf⁰(x), c ∈ R jest stałą, (ii)

 f g

0

(x) = f⁰(x)g(x) − f(x)g⁰(x) g²(x) .

D.9.17. Znajdź pochodną funkcji f, jeśli (i) f(x) = 17 − 6x,

(ii) f(x) = sgn x, gdzie sgn(x) = 1, gdy x > 0, sgn(x) =

−1, gdy x < 0 oraz sgn(0) = 0, (iii) f(x) = (1 +√

3x)², (iv) f(x) = [x],

(v) f(x) = 1 = x²+9x − 4, (vi) f(x) = (2x²−4x + 1)(6x − 5), (vii) f(x) =_1+x+x¹2+x³,

(viii) f(x) = 2x + 2x⁻¹, (ix) f(x) = tg x.

D.9.18. Policzyć pochodną f⁰następujących funkcji f:

(i) f(x) = 4x⁷−5x³+2x, (ii) f(x) = sin³x −2 cos⁵x, (iii) f(x) = x²ln x,

(iv) f(x) = x³log₃x², (v) f(x) = arctg x, (vi) f(x) = 2^x, (vii) f(x) = 2^x2+1, (viii) f(x) =_1+x^2x2,

(ix) f(x) = √^x x, (x) f(x) = ^{ln x}_x , (xi) f(x) =_x+1^ex , (xii) f(x) = arcsin x, (xiii) f(x) = arccos x, (xiv) f(x) = _x⁴4,

(xv) f(x) = _(1−x2)(1−2x^{3 3}),

(xvi) f(x) = (4x²−7x⁶)^3/2, (xvii) f(x) = ^{√ a}

x²−a, (xviii) f(x) = cos^2√1_x,

(xix) f(x) = arcsin√ x³, (xx) f(x) = sin√³

x², (xxi) f(x) = e^xcos x, (xxii) f(x) = ln_1−x^x2, (xxiii) f(x) =√⁴

x³+2 sin x.

D.9.19. Znaleźć ekstrema funkcji f (i) f(x) = 5 − 6x²−2x³,

(ii) f(x) = 1 − x^2/3, (iii) f(x) = x⁴−5x²+4, (iv) f(x) =√

x²−16, (v) f(x) = sin²x −cos x,

(vi) f(x) = (1 + sin x)(1 − sin x)⁻¹, (vii) f(x) = (2x − 3)(x²−9).

D.9.20. Znaleźć ekstrema funkcji f(x) = x³−12x. Jaką największą (najmniejszą) wartość funkcja ta przyjmuje w przedziale [−3, 5]?

D.9.21. Znaleźć asymptoty wykresu funkcji f : R \ {0} → R danej wzorem f(x) = ^x3−2x_2x2²⁺³.

D.9.22. Znaleźć przedziały monotoniczności poniż- szych funkcji:

(i) f(x) = x³−30x²+225 + 1, x ∈ R;

(ii) f(x) = arctan x − ln x, x > 0;

(iii) f(x) = x√

1 − x², −1 6 x 6 1.

D.9.23. Znaleźć przedziały, w których funkcja f : (0,∞) → R dana wzorem f(x) = ln(1 − ln x) jest wklęsła (wypukła). Wskazać gdzie ma punkty przegięcia.

D.9.24. Ustalić przedziały, w których funkcja f : R → R dana wzorem f(x) = x⁴−x³jest monotoniczna. Zbadać wypukłość funkcji f. Następnie naszkicować jej wykres.

D.9.25. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wy- kres funkcji

f(x) =3x⁴−4x³+1.

D.9.26. W dziedzinie określoności zbadać przebieg zmienności oraz naszkicować wykres funkcji

f(x) = xp 4 − x².

D.9.27. Podać wartość przybliżoną ln 1, 1 i zbadać błąd przybliżenia.

D.9.28. Rozwinąć funkcję f(x) = sin x w formułę Tay- lora dla n = 8 oraz x0=0.

D.9.29. Uzasadnić nierówność sin x + tg x > 2x, 0 < x < ^π₂.

D.9.30. Policzyć pochodną funkcji f(x) = x^x. Wie- dząc, że równanie

y⁴+3y − 4x³=5x + 1,

można rozwikłać (ze względu na zmienną x), znaleźć po- chodną funkcji y = f(x).

D.9.31. Podać równanie stycznej do wykresy funkcji y⁴+3y − 4x³=5x + 1,

w punkcie (x, y), dla którego x = 1.

D.9.32. Podać wzór funkcji opisującej współczynnik nachylenia stycznej do okręgu.

D.9.33. Wiedząc, że równanie można zapisać w posta- ci y = f(x), oblicz pochodną f⁰, jeśli

(i) 8x²+ y²=10, (ii) 4x³−2y³= x, (iii) 5x²− xy −4y²=0.

D.9.34. Znaleźć równanie prostej stycznej do funkcji xy +16 = 0

w punkcie (−2, 8).

Część 11

9.55. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji (i) f(x) = x² na przedziale [0,∞);

(ii) f(x) = x² na przedziale (0, 1);

(iii) f(x) = ¹₂
^x

na przedziale (0,∞);

(iv) f(x) = ¹₂
x

na przedziale (0, 1);

(v) f(x) = sin_x¹ na przedziale (0, 1);

(vi) f(x) = x + sin x na przedziale (0,∞).

9.56. Uzasadnić, że jeśli funkcja f spełnia warunek Lipschitza na przedziale [a, b], tzn.

f(x) − f(y) 6 L

x − y

, dla każdego x, y ∈ [a, b], to f jest jednostajnie ciągła na [a, b].

Zadania dodatkowe

D.9.35. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji (i) f(x) =_x¹ na przedziale (0, 1];

(ii) f(x) = 2^x na przedziale (0,∞);

(iii) f(x) = 2^x na przedziale (0, 1);

(iv) f(x) = sin_x¹ na przedziale (1,∞);

(v) f(x) = ln x na przedziale (0, 1);

(vi) f(x) = cos(x²+1) na przedziale (0,∞);

(vii) f(x) = x² na przedziale (1,∞).

Część 12

9.57. Obliczyć lim_x→x0f(x), jeśli:

(i) f(x) =^ln(x+1)_x , x₀=0, (ii) f(x) = x(e^x1 −1)
, x0= −∞, (iii) f(x) = _x−1¹ − _{ln x}¹ , x0=1, (iv) f(x) = x^x, x0=0⁺,

(v) f(x) = ^x2_{sin x}^sin1/x, x₀=0.

9.58. Pokazać, że granica

x→lim∞

sin x x

istnieje, ale nie istnieje granica

x→lim∞

(sin x)⁰ x⁰ .

Zadania dodatkowe

D.9.36. Obliczyć lim_x→x0f(x), jeśli:

(i) f(x) = x⁻¹ln x, x0=∞, (ii) f(x) = x^{sin x}, x₀=0⁺, (iii) f(x) =_ex¹−1− ¹_x, x0=0, (iv) f(x) =^{x2−2+2 cos x}_x4 , x₀=0,

(v) f(x) = _x¹−ctg x, x0=0.

Część 13

9.59. Uzasadnić, że funkcja d : R × R → [0, ∞) dana wzorem

d(x, y) =





1, x6= y, 0, x = y

jest metryką na R. Narysować kule o promieniu 1 i 2.

9.60. Uzasadnić, że funkcja d : R²× R²→ [0,∞) dana wzorem

d (x₁, y₁), (x₂, y₂)
=

x₂− x₁ +

y₂− y₁ 

jest metryką na R². Narysować kulę o środku w 0 i pro- mieniu 1.

9.61. Uzasadnić, że funkcja d : R²× R²→ [0,∞) dana wzorem

d (x1, y1), (x2, y2)
= max{x2− x1

, y2− y1

jest metryką na R². Narysować kulę o środku w 0 i pro- mieniu 1.

9.62. Rozwiązać równanie cos x = x

z dokładnością do 0,1.