Matematyka Twierdzenie Talesa

Uniwersytet Szczeci«ski

Twierdzenie Talesa

Skrypt jest przeznaczony dla uczniów szkóª ponadpodstawowych. Jest to zestaw zada«, które uczniowie mog¡ rozwi¡zywa¢ samodzielnie wspieraj¡c si¦ doª¡czonymi wskazówkami. Skrypt zawiera równie» wzorcowe rozwi¡za-nia zada«.

1. Twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie 1 (Twierdzenie Talesa). Je»eli ramiona k¡ta przetniemy dwie-ma prostymi równolegªymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu k¡ta s¡ proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu k¡ta. Przy oznaczeniach jak na rysunku 1, twierdzenie Talesa formuªuje si¦ nast¦-puj¡co.

Rysunek 1.1

Je»eli proste lAC i lBD s¡

równo-legªe, to |AB| |CD| = |P A| |P C| = |P B| |P D|. (1.1)

Przeformuªujemy tez¦ twierdzenia Talesa (czyli ukªad równo±ci (1.1)) w taki sposób, aby wygodnie byªo twierdzenie to udowodni¢. Po±wi¦cimy temu dwa pierwsze zadania.

1. Poka», »e ukªad równo±ci (1.1) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zacho-dz¡ równo±ci |AB| |P A| = |CD| |P C|, (1.2) |P B| |P A| = |P D| |P C|, (1.3)

|AB| |P B| =

|CD|

|P D|. (1.4)

Czy powy»sze stwierdzenie pozostanie prawdziwe, je±li pominiemy jedn¡ z równo±ci (1.2)-(1.4)?

2. Poka», »e równo±ci (1.2), (1.3) i (1.4) s¡ równowa»ne.

Wskazówki: W równo±ci (1.2) zapisz |AB| oraz |CD| jako ró»nice dªu-go±ci odcinków le»¡cych na odpowiednim ramieniu k¡ta. Przeksztaªcaj równo±¢, a» uzyskasz (1.3). Zauwa», »e wszystkie przeksztaªcenia s¡ rów-nowa»ne. Post¦puj¡c analogicznie, wyprowad¹ (1.3) z (1.4).

Uwaga 2. Przy oznaczeniach jak na rysunku 1, ukªad równo±ci (1.1) jest równowa»ny z dowoln¡ równo±ci¡ od (1.2) do (1.4). B¦dziemy korzysta¢ z tego faktu w ró»nych miejscach. Na przykªad dowodz¡c twierdzenie Talesa uzasadnimy jedynie równo±¢ (1.2).

3. Udowodnij twierdzenie Talesa. Wskazówki:

 Zapisz zaªo»enie i tez¦ (zgodnie z uwag¡ 2).

 Sporz¡d¹ rysunek albo jeden do±¢ du»y, albo trzy  po jednym na ka»dy kolejny punkt.

 Dorysuj odcinek BC. Przyjrzyj si¦ trójk¡tom 4ABC i 4P AC. Wy-ra¹ P4ABC

P4P AC jako stosunek dªugo±ci podstaw tych trójk¡tów (przy

ob-liczaniu pól jako podstawy wybierz boki le»¡ce na jednym ramieniu k¡ta).

 Dorysuj odcinek AD i wyprowad¹ analogiczn¡ zale»no±¢ dla pól i pod-staw trójk¡tów 4ADC i 4P AC.

 Uzasadnij, »e trójk¡ty 4ABC i 4ADC maj¡ równe pola.  Wywnioskuj tez¦.

W którym miejscu dowodu korzystamy z zaªo»enia?

4. Ramiona k¡ta przeci¦to dwiema prostymi równolegªymi jak na rysunku 1. Uzasadnij, »e

|P B| |P A| =

|BD|

|AC|. (1.5)

Wskazówki: Sporz¡d¹ rysunek i narysuj prost¡ równolegª¡ do prostej lCD, przechodz¡c¡ przez punkt A. Niech E b¦dzie punktem przeci¦cia tej

prostej z prost¡ lBD. Zastosuj twierdzenie Talesa dla k¡ta o wierzchoªku

Równo±¢ (1.5) b¦dziemy cz¦sto stosowa¢ w zadaniach, jako konsekwencj¦ twierdzenia Talesa.

Twierdzenie 3 (Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa). Je»eli ra-miona k¡ta przetniemy dwiema prostymi i odcinki wyznaczone na jednym ramieniu k¡ta s¡ proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ra-mieniu k¡ta, to proste te s¡ równolegªe.

Przy oznaczeniach jak na rysunku 1 twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa mo»na zapisa¢ w nast¦puj¡cy sposób.

Je»eli |AB| |CD| = |P A| |P C| = |P B| |P D|, to proste lAC i lBD s¡ równolegªe.

5. Udowodnij twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Poprowad¹ do-wód nie wprost w oparciu o rozumowanie z dowodu twierdzenia Talesa. Wskazówki: Zapisz zaªo»enie i tez¦. Przypu±¢, »e teza nie zachodzi. Wywnioskuj st¡d, »e P4ABC 6= P4ADC. Z zaªo»enia wywnioskuj, »e

|AB| |P A| =

|CD|

|P C|, a st¡d »e P4ABC = P4ADC (skorzystaj z zale»no±ci dla

pól i podstaw odpowiednich trójk¡tów z dowodu twierdzenia Talesa). Zauwa», »e uzyskana sprzeczno±¢ ko«czy dowód.

Uwaga 4. Stosuj¡c twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa, b¦dziemy wnioskowa¢ równolegªo±¢ prostych, gdy zachodzi którakolwiek z równo±ci od (1.2) do (1.4). Zgodnie z uwa-g¡ 2 taki warunek jest równowa»ny z zaªo»e-niem twierdzenia.

2. Zadania

6. Na jednym ramieniu k¡ta wybrano trzy punkty A1, A2, A3, a na drugim

trzy punkty B1, B2, B3 w taki sposób, aby prosta lA2B1 byªa równolegªa

do prostej lA1B2, a prosta lA3B2 byªa równolegªa do prostej lA2B3. Wyka»,

»e proste lA3B1 i lA1B3 s¡ równolegªe.

Wskazówki: Narysuj k¡t o wierzchoªku P . Na jednym ramieniu wybierz kolejno punkty A1, A2, A3 a na drugim ramieniu wybierz punkt B1 (nie

zbyt blisko P ). Reszt¦ punktów wyznacz konstruuj¡c odpowiednie proste. Zastosuj twierdzenie Talesa dla lA2B1 i lA1B2 oraz dla lA3B2 i lA2B3.

Z odpowiednich proporcji i wywnioskuj proporcj¦ dla odcinków odci¦-tych przez lA3B1 i lA1B3. Zastosuj twierdzenie odwrotne do twierdzenia

Talesa.

Je±li nie wiesz, które proporcje wybra¢ stosuj¡c twierdzenie Talesa, to wypisz odpowiednik warunku (1.1) w obu przypadkach. Zaobserwuj, ja-kie odcinki si¦ powtarzaj¡. Wybierz równo±ci, w których wyst¦puj¡ te odcinki. Z nich wywnioskuj równo±¢, w której te odcinki ju» nie wyst¦-puj¡.

7. Dane s¡ odcinki o dªugo±ciach a, b i c. Skonstruuj odcinek o dªugo±ci a) a·b c , b) a2 b , c) a3 b2.

Wskazówki: (a) Dªugo±¢ szukanego odcinka oznacz jako x. Mamy x b = a

c. Potraktuj t¦ równo±¢ jak równo±¢ (1.2) (przyjmij |P A| = b, |P C| = c

i |CD| = a). Narysuj k¡t o wierzchoªku P i skonstruuj punkty A, C i D. Punkt B wyznacz konstruuj¡c prost¡ równolegª¡ do lAC przechodz¡c¡

przez punkt D. Otrzymany odcinek AB ma dªugo±¢ x. (b) Post¦puj jak w (a). Tutaj x

a = a b.

(c) Oznaczmy dªugo±¢ uzyskanego w (b) odcinka jako y. Szukamy odcinka dªugo±ci x, gdzie x

y = a

b. Dalej post¦puj jak w (a).

8. W trójk¡cie 4ABC wysoko±¢ CD ma dªugo±¢ 5, |AD| = 4 i |DB| = 8. Oblicz dªugo±¢ odcinka równolegªego do CD, którego ko«ce le»¡ na bo-kach trójk¡ta i który dzieli pole trójk¡ta na poªowy.

Wskazówki: Niech EF b¦dzie odcinkiem, którego dªugo±ci szukamy, przy czym E le»y na DB, a F na BC. Oznacz x = |EF | i y = |EB|.

Skorzystaj z zale»no±ci mi¦dzy polami 4ABC i 4EBF oraz z twierdze-nia Talesa (u»yj równo±ci (1.5)). W obu przypadkach otrzymasz równanie z x i y. Wyznacz x z ukªadu równa«.

9. Niech S b¦dzie punktem przeci¦cia przek¡tnych trapezu ABCD (AB k CD). Prosta równolegªa do podstaw przechodz¡ca przez S przecina boki AD i BC odpowiednio w punktach M i N. Wyka», »e |SM| = |SN|. Wskazówki: Zastosuj twierdzenie Talesa trzykrotnie: dla k¡ta ]CAD, dla boków trapezu i dla k¡ta ]DBC.

Je±li ta wskazówka to za maªo, to post¦puj w nast¦puj¡cy sposób. Wy-ra¹ |SM |

|CD| jako iloraz dªugo±ci odpowiednich odcinków na boku trapezu

(pierwsze zastosowanie twierdzenia Talesa), nast¦pnie iloraz ten przed-staw jako iloraz odpowiednich odcinków na drugim boku trapezu (drugie zastosowanie), ostatni iloraz przedstaw jako |SN |

|CD| (trzecie zastosowanie).

Wyci¡gnij wnioski.

10. Przy oznaczeniach, takich jak w poprzednim zadaniu wyka», »e |MN| zale»y wyª¡cznie od dªugo±ci podstaw trapezu.

Wskazówki: Zgodnie z poprzednim zadaniem |MN| = 2|MS|, wi¦c wy-starczy pokaza¢, »e |MS| zale»y wyª¡cznie od a = |AB| i b = |CD|. Zastosuj twierdzenie Talesa dla k¡tów ]CAD i ]ADB. Z otrzymanych równo±ci wyznacz MS.

Bardziej szczegóªowo: wyra¹ |M S| a i

|M S|

b jako ilorazy odpowiednich

od-cinków na boku AD. Otrzymane równo±ci dodaj stronami i wyznacz |M S|.

3. Rozwi¡zania

1. Wyprowadzamy (1.1) z ukªadu równo±ci (1.2)(1.4)        |AB| |P A| = |CD| |P C| / · |P A| |CD| |P B| |P A| = |P D| |P C| / · |P A| |P D| |AB| |P B| = |CD| |P D| / · |P B| |CD| ⇔        |AB| |CD| = |P A| |P C| |P B| |P D| = |P A| |P C| |AB| |CD| = |P B| |P D| ⇔ |AB| |CD| = |P A| |P C| = |P B| |P D|

Zauwa»my, »e w drugim ukªadzie ka»da równo±¢ wynika z dwóch po-zostaªych, wi¦c mo»emy skre±li¢ dowoln¡ z nich jako nic nie wnosz¡c¡ do ukªadu. To samo dotyczy pierwszego ukªadu, tylko nieco trudniej to zauwa»y¢. Dla przykªadu usu«my równo±¢ (1.4). Nadal zachodz¡ równo-wa»no±ci: (_|AB| |P A| = |CD| |P C| / · |P A| |CD| |P B| |P A| = |P D| |P C| / · |P A| |P D| ⇔ (_|AB| |CD| = |P A| |P C| |P B| |P D| = |P A| |P C| ⇔ |AB| |CD| = |P A| |P C| = |P B| |P D| 2. Przeksztaªcamy równo±¢ (1.2) i (1.4), obserwuj¡c, »e wszystkie

prze-ksztaªcenia prowadz¡ do równo±ci równowa»nej z poprzedni¡. Pierwsze przeksztaªcenie wynika z poªo»enia punktów na rysunku 1.

|AB| |P A| = |CD| |P C| |AB| |P B| = |CD| |P D| |P B| − |P A| |P A| = |P D| − |P C| |P C| |P B| − |P A| |P B| = |P D| − |P C| |P D| |P B| |P A| − 1 = |P D| |P C| − 1 1 − |P A| |P B| = 1 − |P C| |P D| |P B| |P A| = |P D| |P C| − |P A| |P B| = − |P C| |P D| |P B| |P A| = |P D| |P C| 3. Dowód twierdzenia Talesa.

Dla trójk¡tów 4P AC i 4ABC mamy P4ABC P4P AC = 1 2· h · |AB| 1 2 · h · |P A| = |AB| |P A|. (1.6) Analogicznie P4ADC P4P AC = 1 2 · h 0_{· |CD|} 1 2 · h0· |P C| = |CD| |P C|. (1.7)

Trójk¡ty 4ABC i 4ADC maj¡ wspóln¡ podstaw¦ AC, a wysoko±ci opuszczone na t¦ podstaw¦ lub jej przedªu»enie maj¡ t¦ sam¡ dªugo±¢ h00_.

Wynika to z zaªo»enia, »e lAC k lBD.

Mamy wi¦c P4ABC = 1 2· h 00_{· |AC| = P} 4ADC. Podsumowuj¡c: |AB| |P A| = P4ABC P4P AC = P4ADC P4P AC = |CD| |P C|, co ko«czy dowód.

Uwaga. Zaªo»enie o równolegªo±ci prostych wykorzystujemy dopiero, pokazuj¡c, »e P4ABC = P4ADC. Równo±ci (1.6) i (1.7) s¡ prawdziwe

równie» wtedy, gdy proste lAC i lBDnie s¡ równolegªe. Warto zapami¦ta¢

te równo±ci, bo skorzystamy z nich w dowodzie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa.

4. ZAŠO›ENIE: lAC k lBD TEZA: |P B|_{|P A|} = |BD|_|AC|

Do rysunku 1 dorysowujemy prost¡ równolegª¡ do lCD przechodz¡c¡

przez punkt A. Punkt przeci¦cia tej prostej z prost¡ lBD oznaczamy

Stosujemy twierdzenie Talesa dla k¡ta o wierzchoªku B, przy czym wnioskujemy tylko t¦ proporcj¦, w której pojawia si¦ |P B|

|P A|, tzn.:

|P B| |P A| =

|DB| |DE|.

Zgodnie z zaªo»eniem lAC k lBD i zgodnie z konstrukcj¡ lCD k lAE, wi¦c

AEDC jest równolegªobokiem. Wobec tego |AC| = |DE| i mamy |P B|

|P A| = |DB| |AC|.

5. Dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa. ZAŠO›ENIE: |AB|

|P A| = |CD|

|P C| TEZA: lAC k lBD

Przypu±¢my, »e proste lAC i lBD nie s¡ równolegªe. St¡d wnioskujemy,

»e wysoko±ci trójk¡tów 4ABC i 4ADC maj¡ ró»ne dªugo±ci. Mamy

h 6= h0 1 2 · h · |AC| 6= 1 2· h 0_{· |AC|} P4ABC 6= P4ADC

Z drugiej strony z zaªo»enia i z wyprowadzonych w dowodzie twierdzenia Talesa równo±ci (1.6) i (1.7) mamy

|AB| |P A| = |CD| |P C| P4ABC P4P AC = P4ADC P4P AC P4ABC = P4ADC

Otrzymali±my sprzeczne wnioski, a zatem przypuszczenie, »e proste lAC

i lBD nie s¡ równolegªe, byªo bª¦dne. To dowodzi, »e teza jest prawdziwa.

6. ZAŠO›ENIE: lA2B1 k lA1B2 i lA3B2 k lA2B3

Z zaªo»enia mamy

lA2B1 k lA1B2 i lA3B2 k lA2B3.

Stosuj¡c twierdzenie Talesa w obu sytuacjach otrzymamy |P A₁| |P A2| = |P B2| |P B1| i |P A₂| |P A3| = |P B3| |P B2| , a st¡d |P A₁||P B₁| = |P A₂||P B₂| i |P A₂||P B₂| = |P A₃||P B₃|. Zatem |P A1||P B1| = |P A3||P B3|, a wi¦c |P A1| |P A₃| = |P B3| |P B₁|.

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnioskujemy, »e lA3B1 k lA1B3.

7. Niech x b¦dzie dªugo±ci¡ szukanego odcinka. Kolejne konstrukcje s¡ na kolejnych ilustracjach.

(a) Mamy x = ab

c. Przyjmijmy, »e równo±¢ x b =

a

c ma si¦ do szukanej

konstrukcji tak, jak równo±¢ (1.2) do rys. 1. Dla uªatwienia przyjmiemy oznaczenia z rys. 1 i przyrównamy dªugo±ci odcinków w obu równo±ciach:

x = |AB|, b = |P A|, c = |P C|, a = |CD|.

Konstrukcja: Rysujemy k¡t o wierzchoªku P . Punkty A, C i D wyzna-czamy odkªadaj¡c odcinek P A dªugo±ci b na jednym ramieniu k¡ta oraz odcinki P C i CD o dªugo±ci odpowiednio c i a na drugim ramieniu k¡ta tak, »eby |P D| = c + a.

Punkt B konstruujemy tak, »eby le»aª on na póªprostej hP A, i »eby odcinki

AC i BD byªy równolegªe. Odcinek ABma dªugo±¢ x, bo zgodnie z twier-dzeniem Talesa zachodzi równo±¢

x b =

a c.

Na koniec zauwa»my jeszcze, »e konstrukcja jest jednoznaczna i nie zale»y od wyboru k¡ta, wi¦c zadanie ma zawsze jedno rozwi¡zanie.

Analogicznie konstruujemy odcinki z podpunktów (b) i (c), przy czym pomijamy ju» oznaczanie punktów.

(b) Mamy x = a2 b co oznacza, »e x a = a b. (c) Mamy x = a3 b2 = a b · a2 b , czyli x y = a b, gdzie y = a2 b . Odcinek dªugo±ci y zostaª skon-struowany w podpunkcie (b).

8. Niech EF b¦dzie odcinkiem, którego dªugo±ci szukamy. Oznaczmy x = |EF |i y = |EB|.

Z jednej strony wiadomo, »e P4EBF = 1 2P4ABC, wi¦c 1 2xy = 1 4· 5 · 12 xy = 30.

Z drugiej strony wiemy, »e EF k CD i mo»emy zastosowa¢ twierdzenie Talesa, a konkretnie równo±¢ (1.5):

8 y = 5 x x y = 5 8

Podsumowuj¡c, nale»y wyznaczy¢ x z ukªadu równa«: ( xy = 30 x y = 5 8

Mno»¡c równania stronami otrzymamy x2 ₌ 75

4, czyli x = 5 2

√ 3.

9. Mamy sytuacj¦ jak na rysunku. Stosujemy twierdzenie Talesa kilkakrot-nie, w wyniku czego otrzymujemy równo±ci:

|SM | |CD| = |AM | |AD|, |AM | |AD| = |BN | |BC|, |BN | |BC| = |SN | |CD|. St¡d |SM | |CD| = |SN | |CD|. Zatem |SM | = |SN |.

10. Oznaczmy a = |AB| i b = |CD|. Stosujemy twierdzenie Talesa dla k¡tów ]CAD i ]ADB. Mamy

|AM | |AD| = |M S| b i |DM | |AD| = |M S| a . Dodaj¡c te równo±ci stronami otrzymamy

1 = |M S| a + |M S| b / · ab ab = |M S|(b + a) |M S| = ab a + b

Z poprzedniego zadania wiemy, »e |MN| = 2|MS|, wi¦c |M N | = 2ab