Zadanie 1. Niech V b edzie pewn

ALGEBRA LINIOWA

I JEJ METODY OBLICZENIOWE 1

Kolokwium 17-01-2006

Uwaga: ka˙zde zadanie warte jest 6 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

Zadanie 1. Niech V b edzie pewn

a przestrzeni

a liniow

a, a W jej podprzestrzeni

a. Wyka˙z,

˙ze dimV = dimW + dimV /W , gdzie V /W jest odpowiedni a przestrzeni

a ilorazow

a.

Zadanie 2. Niech W b edzie podprzestrzeni

a w IR

rozpi et

a na wektorach [3, 1, 2,

−1]

, [4, 2, 1, 5]

, [5, 5, 4, 3]

. Znajd´z uk lad r´owna´ n opisuj acy W , tzn. taki uk lad, dla kt´orego W

jest zbiorem jego rozwi aza´

n.

Zadanie 3. Znajd´z rozwi azanie og´olne uk ladu r´owna´

n liniowych











x

+ 3x

+ 2x

+ x

+ 2x

= 2 3x

+ 9x

+ 7x

+ 4x

+ 4x

= 7 5x

+ 15x

+ 11x

+ 6x

+ 8x

= 11 2x

+ 6x

+ 5x

+ 3x

+ 2x

= 5

Zadanie 4. Niech macierz

A =





1 4 7 4 6 8 2 5 10





.

Znajd´z rozk lad macierzy A na czynniki P A = LU , gdzie P jest macierz a permutacji, U ma-

cierz a tr´ojk

atn

a g´orn

a, a L macierz

a tr´ojk

atn

a doln

a z jedynkami na przek

atnej i elementami

co do modu lu nie wi ekszymi od jedno´sci. Czy taki rozk lad jest jednoznaczny?

Zadanie 5. Oblicz uwarunkowanie macierzy A z Zadania 4 w normie ∞.