Kwantowe pole E-M Emisja spontaniczna

Kwantowe pole E-M Emisja spontaniczna

Proste kwantowanie.

Dwie strony fotonu.

Detekcja.

Powtórzenie

d
₁₀ =
1|e
r|0

ψ(t)|e
r|ψ(t) = Tr{ˆ ρ(t)e
r} = ℜ{(σ ^x − iσ ^y )
d}

|1

|0

|0−|1√

2 |0+|1√

2

Ω Ω Ω Ω

∆ ∆

∆ ∆

H =
ω ˆ ₀ σ _z + 1

2 +
(Ωσ ₋ + Ω ^∗ σ ₊ )

Ω =
d ₁₀ ·
E ₀ e ^iωt /2

Pole elektryczne od oscylującego dipola

Dla momentu dipolowego oscylującego z częstościa ω i amplitudą d

Jackson, Elektrodynamika klasyczna, rozdz. 9.2

E = −
^ω _c ^{2 2 e ikr} _r
n × (
n ×
d)

moc wypromieniowana:

P = _3c ^{ω 4 3} |d| ²

Rozkład pola E-M na mody

• Klasyczne pola D(x,t) i B(x,t) można rozłożyć w bazie rozwiązań równań Maxwella:

I. & Z. Białyniccy, QED in Encyclopedia of Modern Optics, Elsevier

D =

n

−p

(t)
u

(
x) B =

n

q

(t)
v

(
x)

v

= ∇ ×
u

wtedy współczynniki p i q spełniają znane równania

Chcemy, żeby problem stał się formalnie identyczny z zestawem oscylatorów harmonicznych, o częstościach ω_n i masach ε.

H =



d

r

 D

2ǫ + B

2µ



→ 

k

 p

2ǫ + ǫω

q

2



wymusza to normalizacje modów u

˙q

= p

/ǫ, ˙p

= −ǫω

q

Kwantowanie

Kwantujemy każdy oscylator harmoniczny

ˆ a

=

 ǫω

2

 ˆ

q

+ i p ˆ

ǫω



wymuszamy

wprowadzamy

hamiltonian

H = 

k

ω

(ˆ a

a ˆ

+ 1/2) D = ˆ 

n

−ˆ p

(t)
u

(
x)

stany o ustalonej energii

|n

, n

, . . . , n

 = ˆa

ˆ a

. . . ˆ a

|0

operator pola

[ˆ q

, ˆ p

] = i
δ

[ˆ a

, ˆ a

] = δ

statystyka i charakterystyka modowa

|0〉〉〉〉

|1〉〉〉〉

|2〉〉〉〉

|n〉〉〉〉

k k

k

Ważne stany

stany Foka

|n

, n

, . . . = ˆ a

a ˆ

. . .

√ n

!n

! . . . |0

stany koherentne

|α

, α

, . . . =

 

n

e

e

|0

n|E|n = 0

E =

. . . α _n u _n

Sposoby na impuls

|α

, α

, . . . =

 

n

e

e

|0

E =

. . . α _n u _n

ˆb =  α

. . . a ˆ

[b, b ^† ] = 1

tu chowamy ewolucje czasową

Baza fal płaskich

u

= 1

√ V
e

exp(i
k ·
x)

ˆ

E(
x, t) = i 

k,λ


ω

2ǫV a ˆ

e

exp(i
k ·
x) + H.c.

ˆ

E(
x, t) = i 

λ



d

k

ω

2ǫ(2π)

ˆ a

e

exp(i
k ·
x) + H.c.

w obrazie oddziaływania

ˆ

a · e ^−iωt

u

= 1

2π

e

exp(i
k ·
x)

Klasyczny beamsplitter

1 −1/ √

2

1/ √

2 1 1/ √

2 1/ √

2

Odbicie od beamsplittera

ˆ a

ˆb

ˆ c

d ˆ

ˆ a → d − ˆc ˆ

√ 2

ˆb → d + ˆ ˆ c

√ 2

|2, 0 + |0, 2

√ 2

|1, 1

|2, 0 ± |0, 2

√ 2 = a

± b

2 |0

Bramka C-NOT

O’Brien et al., Nature 426, 46 (2003).

Jeden foton

stan własny operatora całkowitej liczby

wzbudzeń z wartością własną równą 1.

n ˆ

= 

k

ˆ a

ˆ a

Da się zapisać jako:



k

c

ˆ a

|0



k

|c

|

= 1

Detekcja: zliczanie fotonów



dt a

(t)a(t)

ˆ

a(t) =



dωˆ a(ω)e ^−iωt

Jeden foton monochromatyczny

E = ˆ 

n

− p ˆ

(t)

ǫ

u

(
x) p ˆ

= √

ǫω ˆ a − ˆa

i √

2 ˆ

a

=

 ǫω

2

 ˆ

q

+ i p ˆ

ǫω



 dξ

2π e

p|1 = √ 2 √

ǫωπ
exp



− mωp

2

  mω

p

|
p|a

|0|

=
0|ˆaδ(p − ˆ p)ˆ a

|0

Oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny

q = p/m

p = -mω ² q

|1〉〉〉〉=a |0〉

q

|0〉

|1〉

|2〉

|3〉

a=(q+ip)/2

Detekcja homodynowa Detekcja homodynowa

φ

½|E_LO+E_S|²

½|E_LO-E_S|²

<E_LO|E_S>

1 foton

Lvovsky et al., Phys. Rev. Lett. 87, 050402 (2001)

Oddziaływanie z atomem

Atom we wnęce.

Emisja spontaniczna.

Oddziaływanie kolektywne i fale spinowe.

Mody wnęki

z = 0 z = L/2

E(x, z) =



dk

e

E(k ˜

, z) E(k ˜

, z) =

 dx

2π e

E(x, z)

E(k ˜

, L/2) = E(k

, 0)e

√

k²0−k^x2L/2

≃ E(k

, 0)e

E

(x, L/2) = E

(x, L/2)e

E ˜

= e

e

Lk′x 2 4k



dk

 dx

2π e

2

2R

e

Lk2 x 4k

E ˜ E ˜

=



dk

C(k

, k

) ˜ E

Mody wnęki

http://mathworld.wolfram.com/MehlersHermitePolynomialFormula.html

E ˜

=



dk

C(k

, k

) ˜ E

C(k

, k) = exp



− i

4k

[(L − 2R)(k

+ k

) + 4Rk

k]



Siegman, Lasers, rozdz. 19

w

= Lλ

√ 4π

 1 + g

1 − g g = 1 − R/L

u

(k) =

 w

√ π 2

n! H

(kw

)e

C(k

, k) = 

n

e

u

(k

)u

(k)

Wnęka rezonansowa

krótka: duża odległość między rezonansami

Hamiltonian Jaynesa–Cummingsa

H

=
ω

σ

/2 H

=
ωˆ a

a ˆ

H

= ˆ E · ˆ d ≃

(ˆ a

σ

+ ˆ a

σ

)

Za: Wikipedia

N = ˆ a

a + σ ˆ

Całkowita liczba wzbudzeń zachowana

pole

Ω

= 

∆ + Ω

(n + 1)

zachodzą oscylacje pomiędzy

|n, ↑ ↔ |n + 1, ↓

[σ

, σ

] = σ

2σ

= σ

± iσ

[σ

, σ

] = ±2σ

Emisja spontaniczna

Dostaliśmy oscylacje, bo foton odbija się i wraca do atomu

a₁ a_N

to spróbujmy inaczej:

u

(t) = 1/ √

τ lub 0

a skoro tak, to

Ω = Ed ∝ 1/ √

τ

Emisja spontaniczna 2

niech początkowo dla małych t

|ψ(t = 0) = |0, ↑

a teraz uwaga: przekładamy atom do drugiej wneki

|ψ(t) ≃ (1 − Ω

t

/2)|0, ↑ + Ω

t|1, ↓

|ψ(2t) ≃ (1 − Ω

t

/2)

|0, 0, ↑ + (1 − Ω

t

/2)Ω

t|0, 1, ↓ + Ω

t|1, 0, ↓

po czasie T=Nt

p

=



1 − Ω

T

2N



a₁ a_N

Ω

= Ω = Ed ∝ 1/ √

t

p

→ exp(−Γt)

Eksperyment…

Quantum interference between two single photons emitted by two single trapped atoms

http://www.acqao.org/workshops/Kioloa_2006/Messin.pdf

W domu

1. znajdź wielomodowy stan koherentny który spełnia ten warunek.

2. podobnie znajdź stan jednofotonowy. Jakie będzie N?

3. co stoi zamiast kropek we wzorach na slajdzie

“sposoby na impuls” ?

4. Zapisz końcowy stan pola ze slajdu “Emisja spontaniczna 2”

W płaszczyźnie z=0 zmierzono (wk>>1, τω>>1)

ˆa

(x, y, t)ˆ a(x, y, t) = N exp



− x

+ y

w

− t

τ



ˆa(x, y, t) ∝ e