Teoria mocy
Zbiory przeliczalne
De nicja. Zbiór, którego elementy mo»na ustawi¢ w ci¡g (sko«- czony lub niesko«czony), nazywamy przeliczalnym.
Przykªad. Z jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem prze- liczalnym.
Twierdzenie. Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Ogólniej:
Twierdzenie. a) Suma przeliczalnej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
b) Iloczyn kartezja«ski sko«czonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie. Q jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie. Je±li X jest zbiorem przeliczalnym, to zbiór wszyst- kich ci¡gów sko«czonych o wyrazach z X te» jest zbiorem prze- liczalnym.
Twierdzenie. Zbiór wielomianów jednej zmiennej o wspóªczyn- nikach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie. Zbiór liczb algebraicznych jest zbiorem przeliczal- nym.
Zbiory nieprzeliczalne
Twierdzenie. Zbiór zawieraj¡cy zbiór nieprzeliczalny jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie. Je±li zbiór X ma wi¦cej ni» jeden element, to zbiór wszystkich ci¡gów niesko«czonych o wyrazach z X jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Przykªad. R jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie. Ró»nica A \ B zbioru nieprzeliczalnego A i zbioru przeliczalnego B, jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Przykªad. Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieprzeliczal- nym.
Równoliczno±¢ zbiorów
De nicja. Zbiory A i B nazywamy równolicznymi, je±li istnieje bijekcja f: A → B.
Przykªad. Dwa zbiory sko«czone s¡ równoliczne dokªadnie wte- dy, gdy maj¡ t¦ sam¡ liczb¦ elementów.
Przykªad. Dowolne dwa niesko«czone zbiory przeliczalne s¡ rów- noliczne.
Przykªad. Dowolne dwa spo±ród nast¦puj¡cych zbiorów s¡ rów- noliczne:
R, R \ {0}, R+, R+ ∪ {0}, (0, 1), [0, 1), [0, 1].
Przykªad. Je±li a < b i c < d, to przedziaªy (a, b) i (c, d) s¡
równoliczne.
Twierdzenie. Je»eli zbiór A jest niesko«czony, to dla dowolnego podzbioru sko«czonego B ⊆ A, zbiory A i A \ B s¡ równoliczne.
Twierdzenie. Je»eli zbiór A jest nieprzeliczalny, to dla dowolnego podzbioru przeliczalnego B ⊆ A, zbiory A i A \ B s¡ równoliczne.
Wniosek. Zbiór R \ Q jest równoliczny z R.
Liczby kardynalne
Ka»demu zbiorowi odpowiada liczba kardynalna nazywana moc¡
tego zbioru.
Moc zbioru A oznaczamy symbolami: |A|, A, #A.
Zbiory A i B s¡ równoliczne dokªadnie wtedy, gdy ich moce s¡
równe: |A| = |B|.
Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy symbolem "alef zero":
|N| = ℵ0.
Moc zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem "continu- um":
|R| = C.
Przykªady zbiorów mocy continuum: R \ {0}, R+, (a, b), [a, b], [a, +∞), R \ Q.
Nierówno±ci mi¦dzy liczbami kardynalnymi
De nicja. Mówimy, »e moc zbioru A nie przekracza mocy zbioru B, je±li istnieje funkcja ró»nowarto±ciowa f: A → B. Oznaczenie:
|A| 6 |B|.
De nicja. Mówimy, »e moc zbioru A jest mniejsza od mocy zbioru B (co zapisujemy: |A| < |B|), je±li |A| 6 |B| i |A| 6= |B|.
Twierdzenie Cantora Bernsteina. Je±li |A| 6 |B| i |B| 6 |A|, to |A| = |B|.
Wniosek. Je±li |A| 6 |B|, |B| 6 |C| i |A| = |C|, to |A| = |B| = |C|.
Twierdzenie Cantora. Dla dowolnego zbioru A zachodzi nie- równo±¢ |2A| > |A|.
Niech (X, 4) b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym. Niech A ⊂ X b¦dzie dowolnym podzbiorem. Element b ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, je±li
∀a∈A a 4 b.
Lemat Kuratowskiego Zorna. Je±li w zbiorze cz¦±ciowo upo- rz¡dkowanym (X, 4) ka»dy podzbiór liniowo uporz¡dkowany po- siada ograniczenie górne, to w zbiorze X istnieje element mak- symalny.
Pewnik wyboru. Dla ka»dej rodziny zbiorów niepustych i parami rozª¡cznych istnieje zbiór, który z ka»dym ze zbiorów tej rodziny ma dokªadnie jeden element wspólny.
Hipoteza continuum. Dowolny niesko«czony podzbiór zbioru R ma moc ℵ0 lub C.
