Przykªadowe zagadnienia brzegowe z RR cz¡stkowych.
Metoda Fouriera rozdzielania zmiennych.
1.
u tt − 4u xx = (1 − x) cos t, 0 < x < π, t > 0;
u x (0, t) = cos t − 1 u x (π, t) = cos t;
u(x, 0) = x 2π
2, u t (x, 0) = cos 3x.
odpowied¹: U(x, t) = 2π x
2+ (1 − cos t)(1 − x) + 2t π
2+ 1 6 sin 6t cos 3x.
2.
u tt − 4u xx = 0, 0 < x < π, t > 0;
u x (0, t) = u x (π, t) = 0;
u(x, 0) = 3 cos x, u t (x, 0) = 1 − cos 4x.
odpowied¹: U(x, t) = t + 3 cos 2t cos x − 1 8 sin 8t cos 4x.
3.
u tt − 16u xx = ω 2 x sin ωt, 0 < x < π, t > 0; ω > 0
u(0, t) = u x (5, t) = 0;
u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = −xω.
odpowied¹:
U (x, t) = n
20(−1)
k+1ω
π
2(2k−1)
2t cos t + 50ω(−1) π
3(2k−1)
k+13sin h 4
π
10 + π(k−1) 5 i t o
sin h 4
π
10 + π(k−1) 5 i x+
+
∞
P
n=1 n6=k
