O liczbach pierwszych bliźniaczych

W . Go ł u b i e w

O liczbach pierwszych bliźniaczych

W teorii liczb jest wiele problemów bardzo elementarnych w sformu­

łowaniu, ale opierających się dotąd próbom rozwiązania. Jednym z naj­

ciekawszych zagadnień tego rodzaju jest pytanie, czy istnieje nieskończe­

nie wiele par liczb bliźniaczych, tzn. takich par liczb pierwszych Px , p2J że px+ 2 = p 2.

Oznaczmy przez n2{x) ilość par liczb bliźniaczych zawartych między 1 a x. Jakkolwiek liczby pierwsze w ciągu liczb naturalnych rzedną bar­

dzo wyraźnie (я(х) — ilość liczb pierwszych między 1 а ж spełnia wzór я (a?) ~ ж/logo? (х)), to jednak już pobieżne przejrzenie małej tablicy liczb pierwszych prowadzi do wykrycia kilku par liczb bliźniaczych; np.

яа(100) = 8.

V. Brun [1] udowodnił, że istnieje taka stała dodatnia C, że dla każ­

dego x jest

n2{x) < Oo?/(logo?)2.

Łatwo stąd otrzymać dobrze znany wniosek:

Szereg

1 1 1 1

J p + T ( p + + T(2j- + • • • + “ Tir* +

1 1

Ж)

ллО + •

gdzie p^ , pf^ oznacza n-tą parą liczb bliźniaczych, jest zbieżny ( chociażby był nieskończony).

O liczbach bliźniaczych nie wiadomo właściwie nic więcej. G. П. Hardy i J. Б. Littlewood [2] podali następującą hipotezę dotyczącą rozkładu liczb bliźniaczych w ciągu liczb naturalnych:

(1) л2{х) 2x

(log x f (P - 1 f

gdzie p przebiega wszystkie liczby pierwsze nieparzyste.

P) Piszemy f(x ) ~ g (x ) zamiast lim(f(x)ig(x)) = 1; jest to tzw. asymptotyczna zbieżność funkcji / do funkcji g. iC->0°

O liczb a ch p i e r w s z y c h b liźn ia c z yc h 353

Przyjmując

r du i r

= 2 ^J

(2) t i2(x) ~ F{x).

Równoznaczność ta wynika z dość oczywistej relacji

x r X du

(log a?)2

J

Wzór (2), a zatem i (1) dobrze potwierdzają konkretne rachunki.

Tablica 1 (z pracy [2]) ilustruje tę zgodność.

T A B L I C A 1

n zr%{n) F (n )

i E'Ei j

1 0 0 0 0 0 1224 1246,3 1,018

2 0 0 0 0 0 2159 2179,5 1,009

300000 2 992 * 3 035,4 1,015 400000 3801 3846,1 1 , 0 1 2

500000 4562 4625,6 1,014

600000 5328 5381,5 1 , 0 1 0

700000 6 058 6118,7 1 , 0 1 0

800000 6763 6 840,2 1 , 0 1 1

900000 7 469 7548,6 1 , 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 8 164 8 245,6 1 , 0 1 0

Istnieją jeszcze inne przyczyny

— intuicje o charakterze analitycznym — które skłoniły Hardy’ego i Littlewooda do wysunięcia hipotezy (1). Te same intuicje prowadzą też

[2] do następującego uogólnienia hipotezy (1) (lub (2)):

(H) Niech b1, b 2, . . . , b m będą różnymi liczbami całkowitymi i niech 7i(x) bx, bm) oznacza liczbę układów n-\-bx, n-\-b2, ..., n-\-bm zawartych w przedziale od 1 do x i składających się z samych liczb pierwszych. Wówczas

gdzie

7t(x; bx, . .. , bm) G(bx, bm)lim{x) dla # - > o o ,

du (logu)m ’

Р — Гр

p - 1 , przy czym p przebiega wszystkie liczby pierwsze, a rv oznacza liczbę liczb bx, b 2, . . . , b n różnych według modułu p.

Szczególnym przypadkiem (H) jest (2) (m = 2, bx — 0 , b2 = 2);

inny przypadek otrzymamy przyjmując щ(х) — л(х; 0 , r). Mianowicie dla r parzystego hipoteza (H) daje

л,(х) = 2С1Ц2(ж) / 7 « Ь - 1)/(Ь+2)),

b

gdzie b przebiega wszystkie nieparzyste dzielniki pierwsze liczby r i Cx = / 7 ( i —!/(?>—! ) 2) (Por. [1]).

p

Roczniki P. T. M. - Prace Matematyczne II 23

354 W. Grołubiew

Powyższe przypuszczenie dla r = 2 daje hipotezę (2). (Zaznaczmy, że ogólnie lim(a?) ^ x](\ogx)m).

Prace cytowane

[1] У. В run, L e crible d ’ Eratosth&ne et le theoreme de Goldback, Videnskapssel- skapets Skrifter, Mat.-natury. Klasse, N. 3, Kristianja 1920.

[2] GL H. H a r d y and J. E. L it t le w o o d . Some problems of partitio numerorum.

Acta Mathematica 44 (1923), str. 1-70.

Б . Го л у б е в

О ДВОЙСТВЕННЫХ ЧИСЛАХ

Р Е З Ю М Е

Статья сообщает о проблеме двойственных чисел.

В . GrOŁUBIEW

ON TW IN NUMBERS

S U M M A R Y

The article contains information on the problem of twin numbers.