Seria zadań domowych nr 2, AM 2, Termin oddania prac: 8.06.2017
Proszę wybrać dokładnie 3 zadania, które mam ocenić. Rozwiązania proszę starannie zredagować w zeszycie zadań domowych. Punktacja według reguł Klubu 44 Delty. Oceniam każde z wybranych zadań w skali od 0 do 1, a następnie ocenę mnożę przez współczynnik trudności danego zadania: WT = 4 − 3S/N , gdzie S oznacza sumę ocen za rozwiązania tego zadania, a N liczbę osób, które oddały rozwiązanie choćby jednego zadania.
Zadanie 1. Wykazać, że zbiór {(x, y) : x > 0, y < 0, x4− xy2− y3= 0} jest krzywą zamkniętą i obliczyć pole obszaru ograniczonego przez tę krzywą.
Zadanie 2. Udowodnić, że forma
ω = xdy − (y − 1)dx
x2+ (y − 1)2 −xdy − (y + 1)dx x2+ (y + 1)2
jest zamknięta, ale nie jest dokładna na R2\{(0, −1), (0, 1)}, natomiast jest dokładna na zbiorze R2\{(0, t) : t ∈ [−1, 1]}.
Zadanie 3. Niech
ω = (x − y2+ z3)(dy ∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy).
Obliczyć całkę z formy ω po brzegu kostki Ca= {(x, y, z) : 0 ¬ x, y, z ¬ a}.
Zadanie 4. Pole wektorowe −→
F na R3 zadane jest wzorem F(x,y,z) = [yz, 2xz, arctg(xyz)]. Obliczyć strumień pola wektorowego rot−→
F przez powierzchnię
M = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2− 4 cos z − cos2z = 4, |z| ¬ π}.
Zadanie 5. Znajdź taką krzywą C ⊂ R2, gładką i zamkniętą, dodatnio zorientowaną, żeby całka Z
C
(4y3− 6xy)dx + (4x − 3x3)dy
była możliwie największa i oblicz tę całkę.
Zadanie 6. Niech U = {(x, y, z) : x2+ y2 > 0}, Ht = {(x, y, z) : x2+ y2− z2 = t}, t ∈ R. Znaleźć taką 2-formę różniczkową ω na U , że jeśli a ∈ Ht, v, w ∈ TaHt, to |ω(v, w)| jest polem równoległoboku rozpiętego przez wektory v, w. Oblicz całkęR
Gdω, gdzie G = {(x, y, z) : x2+ y2< z2 i 0 < z < 1}.
Zadanie 7. Niech K = {(x, y, z) : x2− 2x + z = 0, y2− 2y − z = −1, x 1} będzie zorientowanym łukiem o początku (1, 0, 1) i końcu (1, 2, 1). ObliczyćR
K
xdx+ydy+zdz x2+y2+z2 ,R
K
zdz (x−1)2+(y−1)2+1.
Zadanie 8. Niech W = {(x, y, z) : x2+ y2 = 1, z2 ¬ 1} i niech (W, +) oznacza W z orientacją wyznaczoną przez zewnętrzny wektor normalny [1, 0, 0] w (1, 0, 0) ∈ W . Obliczyć całkę
Z
(W,+)
(x3+ y3)dy ∧ dz + dz ∧ dx + dx ∧ dy.
Zadanie 9. Oblicz całkęR
(M,+)ω, gdzie
ω = (x + y2)dy ∧ dz + (y + z2)dz ∧ dx + (z + x2)dx ∧ dy po zorientowanej powierzchni
M = {(x, y, z) : (x2+ y2+ z2+ 3)2= 16(x2+ y2), y > 0},
której strona dodatnia jest wyznaczona przez wektor [0, 1, 0], prostopadły do M w punkcie (0, 3, 0).
