Seria nr 3. Termin oddania — 16-10-2007.

Seria nr 3. Termin oddania — 16-10-2007.

W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach.

Rozwiązują Państwo jeden wybrany przez siebie podpunkt zadania 1. Pozostały są dodatkowe (bardzo polecam pozostałe podpunkty). Plusik przy numerze zadania oznacza, że zadanie jest trudniejsze.

1. Zbadać zbieżność następujących ciągów funkcyjnych: wyznaczyć obszar zbieżności, znaleźć funkcję graniczną, zbadać czy zbieżność jest jednostajna. Jeśli nie jest, znaleźć „sensownie”

duży przedział, na którym zbieżność jest jednostajna:

(a) f _n (x) = √

2 ⁿ + 3 ⁿ x, x ∈ [0, +∞);

(b) g n (x) = nxe ⁻ⁿ

^x , x ∈ R;

(c) h _n (x) = nx(1 − x) ⁿ , x ∈ [−3, 1].

2. Polecenie jak wyżej tylko dla szeregów:

(a)

+∞

X

n=1

nx ⁿ ;

(b) ⁺

+∞

X

n=1

n(n − 1)x ⁿ .

(Czyli dla funkcji typu f _n =

n

X

k=1

kx ^k )