Seria nr 8. Termin oddania — 04-12-2007.

Seria nr 8. Termin oddania — 04-12-2007.

W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach.

Na kartkach oddajemy zadanie 1.

1. Zbadaj moc zbioru A = { zbiór „pierwiastków kwadratowych”, czyli liczb postaci a + b √

k, gdzie a, b, k ∈ Q; k > 0 }.

2. Zbadaj moc zbioru B = { zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie };

3. Wykaż, że

a) rodzina wszystkich podzbiorów dwuelementowych zbioru przeliczalnego jest przeliczalna;

b) rodzina podzbiorów k-elementowych (k ∈ N

) też.

c) Wywnioskuj z tego, że rodzina wszystkich skończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego jest przeliczalna.

4. Wykaż, że zbiór prostokątów na płaszczyźnie o wierzchołkach w punktach o obu współrzędnych wymiernych jest przeliczalny.

5. Sprawdź, czy rodzina podzbiorów A zbioru X jest σ-ciałem dla:

a) X = {a, b, c}; A = {{a}, {b}, ∅}

b) X = {a, b, c}; A = {{a}, {b}, ∅, {a, b}, X}

c) X = {a, b, c}; A = {{a}, {b, c}, ∅, X}

d) X = {a, b, c, d}; A = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}, {a, c, d}, {c, d}}

e) X = R; A = {(a, b) : a, b ∈ R; a < b}

6. Czy istnieje σ-ciało mające 5 elementów? A 6?