Edward Nieznański
Uproszczenie Jaśkowskiego
interpretacji zdań kategorycznych
Studia Philosophiae Christianae 10/1, 101-113S tu d ia P h ilo so p h ia e C h ris tia n a e ATK
10(1974)1
EDW ARD N IEZN A Ń SK I
UPROSZCZENIE JAŚKOWSKIEGO INTERPRETACJI ZDAŃ KATEGORYCZNYCH I. W stę p . II. I n te rp re ta c je z d a ń k a te g o ry c z n y c h : 1. I n te rp re ta c je w k la sy czn y m ra c h u n k u p re d y k a tó w . 1.1. O k re śle n ie ję z y k a i te o r ii in te rp re to w a n e j i in te rp re tu ją c e j. 1.2 P o ję c ie in te r p r e ta c ji i m o d e lu (sy n ta k ty c z n e g o ). 1.3 P o ję c ia b lisk o z n a c z n e in te rp re ta c ji J a ś k o w sk ie g o : 1.3.1 F u n k c ja H. B. Sm itha, 1.3.2 In te r p r e ta c ja St. Ja ś k o w sk ie g o , 1.3.3 F u n k c ja A . R. T u r- q u e tte 'a , 1.3.4 P o sta ć u p ro sz c z o n a in te rp re ta c ji S m ith a -Ja śk o w sk ie g o i sy n - ta k ty c z n y m o d el n a n ie j z b u d o w an y , 1.3.5 F u n k c ja A . M en n eg o , 1.3.6 F u n k c ja P. F. S traw so n a-W . A. Sm irnow a. 2. I n te r p r e ta c ja z d a ń k a te g o ry c z n y c h w e le m e n ta rn e j te o r ii re la c ji z w ro tn y c h . 2.1 K ry ty k a in te r p r e ta c ji w k la sy czn y m ra c h u n k u p re d y k a tó w : 2.1.1 K ry ty k a in te rp re ta c ji Ja śk o w sk ie g o , 2.1.2 K ry ty k a in te rp re ta c ji w m o d e la c h z a k sjo m a te m o n ie p u s to śc i w szel k ich p re d y k a tó w . 2.2 T ra d y c y jn a a se rto ry c z n a lo g ik a fo rm a ln a ja k o f r a g m en t e le m e n ta rn e j te o rii re la c ji zw ro tn y c h . III. Z ak o ń czen ie. IV . W y k a ż
b ib lio g raficzn y . V. S um m ary.
I. W arty ku le są zam ierzone dwa uproszczenia dla in terp re tacji zdań kategorycznych zdefiniow anej w [5] przez Stanisła wa Jaśkow skiego. Pierw sze z nich polegać ma na ustaleniu takiej relacji będącej funkcją określoną na zbiorze w yrazów , term ów i formuł CSn1, która: 1° różni się od in terp retacji J a ś kowskiego tylko praw ą dziedziną; 2° w artość tej funkcji dla każdego funktora arystotelesow ego (''A", "E", "I", "O") jest formułą krótszą (mającą mniej wyrazów) niż w artość in terp re tacji Jaśkow skiego dla tego samego funktora, 3° obie te w ar tości są inferencyjnie rów now ażne w klasycznym rachunku
predykatów . N atom iast drugie z przew idyw anych uproszczeń ma polegać na określeniu takiej funkcji, k tó ra spełnia w arunki 1° i 2°, a je st zwolniona od ograniczeń jakie nakłada w arunek 3°, o ile tylko funkcja ta odw zorow uje zbiór w szystkich praw CSn logiki w zbiór tw ierdzeń pew nej (różnej od KRP) teorii
zbudow anej na klasycznym rachunku predykatów . II. Interp retacje zdań kategorycznych.
1. Interp retacje w klasycznym rachunku predykatów .
1.1 A by można było przeprow adzić (w sposób dostatecznie ścisły) rozw ażania w kierunku zapow iedzianych uproszczeń niezbędne jest dokonanie w pierw pew nych m etajęzykow ych (w stosunku do CSn i KRP) ustaleń term inologicznych. I tak; niech Vp = ("a", "b", "c", "m", ' V , "a2",...}, gdzie "a", "b",... — to zmienne logiczne używ ane w CSn jako zmienne nazwowe pierw szego rzędu, a w KRP ■—■ jako zmienne predykatow e pierw szego rzędu. N iech dalej Vj —‘{"x”, "y", "z", "x i”, "x2",...}, gdzie "x", "y", "z",... — to zmienne nazw ow e zerow e go rzędu. N iech P = {"A", "E”, "I”, "O ”), przy czym "A" ("każde... je st "), "E" ("żadne...nie jest "), ”1" ("pewne... jest_ ."), "O" ("pewne..nie je st ") są arystotelesow ym i p re dykatam i drugiego rzędu. N iech F = { " n "} , gdzie "n" — to funk- tor negacji nazw otw órczej. N iech Sx = {"cv>"}, "cv>" — spójnik negacji. N iech S2 = "v", ” = "} , gdzie — im pli kacja, "&" — koniunkcja, "v" — altern aty w a i " = " — rów no ważność. N iech w reszcie Q = {"Π ", "Σ"}, gdzie "П " jest, kw antyfikatorem ogólnym, a "Σ" — szczegółowym. Po tych ustaleniach możemy zdefiniować klasę τ term ów CSn:
Df.l t = (r»X) [Vp С X & (ΠίεΡ) (ΠίεΧ) f f f ε X]. M ożemy rów nież określić klasę cpL form uł CSn:
Df.2 (pL = (r>X) [(IlRsP) (Π γ, sex) rR vs1 εΧ & (nfsSx) (ΠαεΧ) ffa1 εΧ & (IlfESj) (Πα, βεΧ) fafß1 εΧ],
M ając natom iast określone term y i form uły dla CSn, definiu jem y język L:
Df.3 L = (V p^P'-'Fv-.S1>-'S2,T,<pL).
Di.4cpL. = (riX)[(IIfsVp) (Π ν εν ο rfvkX & (IlfeSj) (ΠαεΧ^ίανΧ & (IIfsS2) (lia, βεΧ)Γαίβ’εΧ & (ΙΙλεΟ) (Πνεν*)
(ΠαεΧ) Γλα1 εΧ],
V
M ając natom iast określony słow nik i form uły dla KRP, defi niujem y język L„:
Df.5 Lt = ( V p wVł w S iw S ,w Q 1(|)b ).
M ając w ten sposób określone języki L i L, dla CSn i KRP, mo żemy już przystąpić do definiow ania obu ty ch teorii. Jednakże pojęcia operacji konsekw encji w tych teoriach są różne i dla ich określenia musim y uprzednio w prowadzić oznaczenia kil kunastu znanych operacji na formułach. Przyjm ujem y więc, że: Oj —· będące odwzorowaniem klasy tw ierdzeń KRZ w zbiór cpL (op TKRZ->-cpL) — jest funkcją podstaw iania za zmienne zdaniowe form uł z języka CSn;
o2: TKHZ—kpl, — jest funkcją podstaw iania za zmienne zdanio w e form uł języka KRP;
03: <Pl-><Pl je st o p eracją p odstaw ian ia za zm ienne n a zw o w e ze zbioru Vp elem en tó w zbioru t;
o 4: Фь.->Фь. je st o p era cją p odstaw iania za zm ienne n a zw o w e n a leżą ce do V j elem en tó w teg o sam eg o zbioru Vj;
05: operacją podstaw iania za zm ienne predykato-we ze zbioru V p w yrażeń pow stałych przez usunięcie n a leżącej do Vi zm iennej w olnej z ty ch form uł qpL„ które po
siadają tylko jedną z Vi zmienną wolną; Об'· Фь X Фь->Фь jest operacją odryw ania dla Фь; o7: fpL, X ->cpL, jest operacją odryw ania dla cpL,;
°g: фьХфь~>Фь jest operacją rów now ażnościow ego zastępow a nia dla фь ;
° B: Фь.->Фь. jest operacją opuszczania Σ w poprzedniku im pli kacji dla Фь.;
° i0: Фь,-^-Фь.]ез1 operacją dołączania Σ w poprzedniku im plika cji dla Фь.;
° i i : фь.->Фь. jest operacją opuszczania П w następniku impli kacji dla Фь.;
o12: фь.->фь , jest operacją dołączania П w następniku im plika cji dla фь. ;
o« : Фь.->Фь. jest operacją uogólniania dla фь,.
Po ty ch ustaleniach i przypom nieniu, że napis ty p u Oi (Z) ozna cza οι-obraz zbioru Z, możemy określić operację konsekw encji
CnL dla CSn:
Df.6 c n Lx = ( п г ) [ Х с г л ф ь & (01 (Tkrz) « o3 (z) ^ o6
(zx
XZ) ^ o8(Z X Z) с Z)].
M ożemy rów nież zdefiniować operację konsekw encji CnL, dla KRP:
M .7 CnL,X = (^ Z )P C C Z n ÇL,& ( o 2 (TKR z)^ o 4 (Z )u o 5 (Z )u '-'Og (Z) v->o10 (Z) ^ o u (Z) ^ o 12 (Z) u o ls (Z) ^ o 7 (Z X Z) c Z)]. Przyjm ując znaną (choćby od C. A. M ereditha wg [10] s. 310, czy też z [17], [15], [11], lub [2]) aksjom atykę dla CSn:
Df.8 Al = {"A aa", "Iaa", "Amb & Aam ->Aab", "Eab, s = A an b ", " Ia b = oo Eab", "O ab = oo Aab"}
możemy w reszcie zdefiniować teorię T dla CSn: Df.9 T = {«Pl, CnL, AL)
i zauw ażyć, że zbiór tw ierdzeń tradycyjnego CSn zaw iera się w zbiorze CnLAL. M ożemy także zdefiniować każdą teorię Tj zbudow aną na operacji konsekw encji z KRP i aksjom atyce Xi ^ Фь, ·
Df.10 Ti = (фь„ CnL„ Xi), gdzie CcpLt, i = 1,2,...
Zauw ażam y przy tym, że zbiór tw ierdzeń KRP pokryw a się ze zbiorem CnL,A (gdzie "Л" oznacza pusty zbiór formuł z <pL).
1.2. M ając opisane interesujące nas języki L, L„ i teorie T, Tj możemy określić (w ograniczeniu do faktycznych potrzeb arty kułu) istotne dla dalszych rozw ażań pojęcia in terp retacji (syn- taktycznej) i syntaktycznego modelu:
D f.ll In terp retacja syntaktyczna je st funkcją określoną na zbiorze w yrazów, term ów i form uł jednego języka i przyjm u jącą w artości w zbiorze w yrażeń języka drugiego.
Df.12 (Teoria Tj - (L„, CnL„ Xi) jest modelem syntaktycz- nym teorii T = (L, CnL, AL) przy in terpretacji φ ^ Ε - ^ , ) =
1.3 Rozważymy obecnie sześć in terp retacji zdań kategorycz nych w KRP. Ich w spólną cechą jest to, że dla każdego n atu ralnego i, 1 ^ i ^ 6 interpretacja w yrażeń języka L w języku L, jest funkcją, dla której: <Pi (Vp) = Vp, φ; (Sr) = S lr Ψί (S2) = S2,
("n") = "co", cpi ("E '') = Φί ("A... η M), Φι ("I____ ") = — Φί(''οο A... n "), Φ ί('Ό '') = Φί("ίνο А ’’) oraz (Πα ε Al)[Φι(α) ε CnL,X J czyli że Tj = (L„ CnL„ Xi) jest modelem syntaktycznym dla T = (L, CnL, AL) przy in terpretacji Φί.
1.3.1 Podana w 1924 r. (wg [16]) przez Η. B. Smitha in terp re tacja zdań kategorycznych, przy której: Φι ("Aab") = " П ( а х - >
X
-йгх) & {П (bx->ax)v [Σ (ax&bx) & Σ (счэах & cv> bx)]}"
posiada-X X X
la tę zaletę, że w modelu Tj zbiór aksjom atów jest pusty (Xi - Л).
1.3.2 N astępnie (1950 r.) Stanisław Jaśkow ski w [5] przyjął interpretację φ2, przy której: φ2 ("Aab") = " Σ ax& Σ счэах &
X X
& Σbx & Σ счэЬх->П (ax-^-bx)] & [co (Sax & Σον^χ &Σbx
X X X X X X
& Σον^χ) -> Π (ax bx)]". χ χ
1.3.3. W skazana w [16] przez A. R. T u rq u ette’a interpretacja: φ3 ("Aab") ="11 (ax->bx)& [П (bx->ax)v (Sax & Sooax & Σbx &
χ χ X X X
& ΣίχΛχ)]" jest rów now ażna in terpretacji φ2, gdyż [(p->q) & χ
& (cv>p->q&r)] = [q & (r v p)] z podstawieniami: p) Σηχ & Σοοβχ &
χ χ
& Σήχ & ΣονΛχ, q) П(ах->Ьх), г) П (bx->ax). Ponieważ w reszcie
X X X x
p & (qvr) = (p&rvp&q), stosując podstawienia: p) Π (ax->
X
->bx), q) П(Ьх->ах), r) Σax & Scoax & Σόχ & Σενώχ, ustalamy,
X X X X X
że rów noważnym i są interpretacje φ3 i φΙ; a pośrednio także — Ψ2 i Φι·
1.3.4 In terp retacja (a dokładniej w artości tej funkcji, k tó ra jest interpretacją) Sm itha-Jaśkow skiego jest pleonastyczna i można
ją uprościć przez usunięcie treści konsekutyw nych, posługu jąc się tautologią: Π (ax->bx) & S ax & Scoax & Sbx &
X X X X
Scobx = П (ax->bx) & S a x & Scobx, czyli przyjąć interpretację:
X X X X
φ4 ("Aab") = ''[Π (ax-*-bx) & Sax & Scv>bx] ν Π (ax = bx)”.
x X X X »
O in terp retacji φ4 można też w ykazać, że przy niej model syn- tak tyczn y T4 ma pusty zbiór aksjom atów (X4 = A), czyli (Πα ε ε Al ) [φ4 (a) ε CnL,A], Tw ierdzenie to w ynika z następujących lem atów (LI — L 6):
Li cp4( rA aan) ε CnL,A, bo ΓΠ (ax-^-ax) & S ax & Scoax ν Π (ax = X X X X
= ax)1 sGnL,A.
L2 φ4 ( T aa1 ) ε CnL,A, Γ[Σ (ax &ax) v ooSax v coSax] & S(ax = X X X X
^ a x ) 1 ε CnL,A.
L3 φ4 ( rIab =coE anbj) ε CnL*A, b o г (со p v c o q v c o r ) &co s = со (p&q&r ν s)1 ε TKRZ, o4: ρ) Π (ax->cvbx), q) Sax, r) Sbx,
X X X s) Π (ax = oo bx).
x
L4 φ4 ( [Oab = со A ab1) ε CnL,Abo r(co p v c o q v c o r ) & c o s = - - со (p&q&r v s ) 1 ε T Kr z ( Οι: ρ) Π (ax->bx), q) Sax, r) Sbx,
X X X s) Π (ax Ξ bx).
x
L5 φ4 ( rEab Ξ A anbl) ε CnL,A, bo (ρ = ρ 1 ε T Kr z i z definicji φ4.
L6 φ4 ( rAmb & Aam->Aab"‘) e CnL,A, bo:
(1) Π (ax->mx) & S ax & Scv>mx & Π (mx = Ьх)->П (mx->bx) &
X X X X x
& Sm x & Scobx1 ε CnL.A, bo ΓΠ (mx =Ь х)-> П (m x->bx)1, ГП
(ax-X X X X X
->mx) & S ax-^S m x1, ГП (со m x ^ c o bx) & Scvsmx—>Scobx1 ε
X X X X X
ε CnL,A
(2) ΓΠ (mx->bx) & Sm x & Soobx & П (ax = т х ) - ^ П (ax->mx) &
X X X X x
& Sax & Scomx 1 ε CnL,A x x
(3){[П(тх->Ьх) & Sm x & Soobx] ν П (mx = bx)} & {[П (ax->
x X X X x
—углу) & Sax & Scv>mx] ν П (ax = m x ) ->{[П (ax ^ m x ) & S ax &
X X X x x
Soomx & П (mx-^bx) & Sm x & Soobx ] v [ П (а х = т х ) & П ( т х =
X X X X x x
= b x ]} ne CnL,A, bo r(p&s->q)->{(q&r->pj->[(qvs) & (pvr)->(p& qv ν r&s)]} ] ε Tkrzi d : p) Π (ax-ymx) & S ax & Scv>mx, q) Π (mx->
X X X X
->bx) & Sm x & Soobx, г) Π (ax = mx), s) Π (mx = bx), o7: (1),
X X X x
(2).
(4) ΓΠ (ax->mx) & S ax & Scv>mx & Π (mx-»bx) & Sm x & Scvibx-> X X X X X X
->Π (ах-йэх) & S ax & S o o b x1 ε CnL,A. X X X
(5) ΓΠ (ax = mx) & Π (mx = Ьх)->П ( a x = b x ) 1 ε CnL.A.
X X X
(6) {[ Π (ax->mx) & S ax & Scomx & Π (mx->bx) & Sm x &
X X X X 'X
& Soobx] ν [Π (ax = mx) & Π (mx = bx)])—>{ [Π (ax->bx) &
X X x x
& Sax & Soobx] ν Π (ax = Ьх]лг CnL.A, bo: r(p^w )-> {(q -» t)-y X X X
-> [(p v q )-> (w v t)]} J e TKRZ, ° i : P) Г1(ах->тх)& Sax & Scv>mx
X X X
& П (mx->bx) & Sm x & Scv>bx, q) П (ax mx) & П (mx = bx),
X X X X x
w) П (ax->bx) & S ax & Soobx, t) П (ax = bx); o7: (4), (5). X X X X
(7) {[П (тх->Ьх) & Sm x & Soobx] ν П (mx = bx )] & {[П (ax->
X X X X x
->mx) & Sax & Scomx ] ν П (ax = тх )} -> [П (ax->bx) & S ax &
X X X x x
& Soobx] ν П (ax = bx) } 1 ε CnL,A, bo г(р~^)-*-[^->г)->(р->- x x
—s-г)]1 ε Tkkzî Oj, ο7: 3—>(6—>7).
(8) φ4 (rAmb & Аат-э-АаЬ"!-) ε CnL.A, bo (7) i definicja φ4.
1.3.5 A lbert M enne w tzw. G-systemie w [7], s. 115, podał in terpretację: Φ5 ("Aab") = „[ (Sax& Sbx & Scoax & Soobx)->·
-* Π (ах-Яэх)] v Π (ax = bjx)". O interp retacji tej tw ierdził
X X
bez dow odu — tw ierdzenie to następnie pow tórzyli A. R. Tur- quette w [16] i L. Gumański w [4], s. 35 — że jest ona rów no w ażna in terp retacji Sm itha-Jaśkowskiego. Dla obalenia tej hi potezy można pokazać chociażby to, że T5-model ni% może po siadać pustego zbioru aksjom atów , bo cp5 ("Amb & A am ^ A a b "), φ5 ("lab = cv> Eab"), cp5 ("Oab = cv> Aab") nie należą2 do zbioru CnL,A. M odelem dla T prizy in terp retacji φ5 jest np. T5 = = (Vl.i Спь ,,{''П ах"}> ale założenie uniw ersalności wszelkich
x
predykatów jest obce zarów no logice w spółczesnej jak i tra dycyjnej.
1.3.6 Szczególnie bliską (ze w zględu na modele syntaktycz- ne) interpretacjom Smitha i Jaśkow skiego jest podana przez P.F. Straw sona w [14], s. 173 (1952 r.) a następnie przez W. A. Smirnowa w [13] (1967 r., z prześw iadczeniem o pierw szeństw ie autorstw a) in terp retacja <p6 ("Aab") = "П (ax->bx) &
x
& 2 a x & 2cv>bx". W yrażenie będące w artością funkcji φ4 („Aab") x x
jest wzbogacone w zględem w artości q?e ("Aab") jedynie 0 składnik ”... ν Π (ax = bx)". Przy tej różnicy obu interpretacji, ze zbioru A L jedynie φ6 ("Aaa") nie jest ele m entem zbioru CnLtA. N atom iast CSn-teorie bez praw A aa 1 Iaa3 zbudow ane na klasycznym rachunku zdaniowym (np. te orie Adama W iegnera w [18] i [19], z aksjom atam i: Oab = счэАаЬ, Eab = Aanb, lab = oo Eab, АаЬ->счэ Eab, Eab = Eba, Amb & Aam->Aab, bądź analogiczne system y A. M ennego z [8], czy A. A. Zinowiewa w [20]) przy in terp retacji φβ posiadają model z pustym zbiorem aksjom atów .
2. Interp retacja zdań kategorycznych w elem entarnej teorii relacji zw rotnych.
2.1 Zauważmy rzecz znam ienną: jedynie in terp retacje zdań kategorycznych rów now ażne transkrypcjom Jaśkow skiego po zw alają logikę trad ycy jn ą CSn w yłożyć jako fragm ent logisty ki, bez w prow adzania aksjom atów pozalogistycznych.
2.1.1 A le in terp retacja ta (i każda jej równoważna) w ypacza trad y cy jn y i potoczny sens zdań kategorycznych. Już chociażby dlatego, że każde zdanie ogólno-tw ierdzące z podmiotem ogól nym i orzecznikiem uniw ersalnym — trady cy jn ie i potocznie praw dziw e — w in terp retacji tej jest fałszywe. Sam zresztą Jaś- kow ski w ykazał, że „w spom niana in terp retacja nie odznacza się naturalnością i jest dość odległa od zw yczajów języka potocz nego" ([5], s. 2). W tej sytuacji, kiedy nie można uzyskać ade kw atnej in terpretacji w samej logice klasycznej, pozostaje już tylko szukać jej w utw orzonych na klasycznym rachunku lo gicznym teoriach z aksjom atam i specjalnym i.
2.1.2 Rzecz oczywista, syntaktyczne in terp retacje w KRP mo gły by znacznie być uproszczone, gdybyśm y — jak to się zw y kło robić — dopuścili w tym rachunku aksjom at: 2ax. Nieste-ty, "Π 2 ax " — jak to zauw ażył już Stanisław Leśniewski4 —
a x
jest zdaniem fałszywym. Je st też ono sprzeczne z uznaw anym w logistyce tw ierdzeniem 5: cv> Π 2ax. U nikanie natom iast
wspo-a X
m nianego fałszu i sprzeczności przez specjalne ograniczenia r e prezentacji i podstaw iania za zm ienne predykatow e do niepu- stych tylko p redykatów — n adaje tej teorii ch arak ter dyscy pliny em pirycznej6.
2.2 Szczególnie prostą in terp retację zdań kategorycznych uzyskam y budując w roli syntaktycznego m odelu pew ną ele m entarną „logikę nazw " (z jednym tylko rodzajem zm iennych logicznych reprezentujących w szelkie nazw y bez ich rozróż niania na nazw y zerow ego i pierw szego rzędu). W rachunku tym form ułą atom ow ą jest każde w yrażenie o postaci: u/w — czytanie: "u jest w" — gdy na m iejscach "u" i "w " w ystępują term y utw orzone ze zm iennych nazwowych: a, b, c, m... i funk- to ra negacji nazwowej: "n". Form uły nieatom ow e otrzym uje my w znany sposób z formuł atom ow ych, spójników logicz nych i kw antyfikatorów . Przyjm ując aksjom at zwrotności:
Tiaja oraz interpretacje: a
Dl. A ab = Π (c/a->c/b),
С
D2. lab = Σ (c/a & c/b),
С D3. Eab = П (с/а->с\эс/Ъ), С D4. O ab = Σ (c/a & co c/b), С D5. c/nb = oo c/b,
otrzym ujem y w oparciu o klasyczny rachunek logiczny: A aa, bo Dl.
Iaa, bo D2 i a/a.
Amb & A a m ^ A a b , bo П (c/m-^c/b) & П (с/а-> с/т)-> П (c/a->
с c c
-*-c/b) i Dl.
Eab = A an b , bo Eab = П (c/a->cv>c/b)s П (c/a->c/nb) = Aanb,
С С
D2, D 5ÎD 1.
lab = oo Eab, bo D2 i D3. Oab ξ= oo Aab, bp D4 i Dl.
Ponieważ dowiedzione tezy są aksjom atam i ze zbioru AL, prze to cała trad y cy jn a logika CSn posiada w proponow anym ra chunku syntaktyczny model. A poniew aż poza tym każda upo rządkow ana para złożona z relacji zw rotnej i jej poła je st se m antycznym m odelem dla zbioru w szystkich logicznych kon sekw encji aksjom atu Π a/a, możemy stwierdzić, że trad y cy jn a
a
asertoryczna logika form alna z term inam i negatyw nym i jest fragm entem elem entarnej teorii relacji zw rotnych7.
III. D odajm y w zakończeniu, że przedstaw iona tu elem en tarn a teoria (przy absolutnym rozum ieniu p red y k atu "/") jest istotnie różna od elem entarnej ontologii Stanisław a Leśniew skiego zbudow anej na aksjom acie: Π Π [a/b = 2 с /a & Π Π
a b с c m
(c/a & m/a->c/m) & П (c/a->c/b)]. A ksjom at bowiem П а /а jest
с a
zdaniem dedukcyjnie niezależnym od aksjom atu ontologii, czy li zarów no П a/a jak i zdanie Σ co a/a nie są tw ierdzeniam i
tologii Leśniewskiego. O znaczając aksjom at ontologii przez f'Ls" możemy bowiem w ykazać, że: 1°. Π a;a nie w ynika z Ls, bo np.
a 4
system relacy jn y (N, R ), gdzie N to zbiór liczb n aturalnych oraz xRy = x · y = 1, jest modelem sem antycznym zdania Ls & Σ oc aja, oraz 2°. Σ oo aja nie w ynika z Ls, bo każdy
sy-a a
stem relacy jn y z relacją rów now ażnościow ą jest sem antycz nym modelem dla zdania: Ls & Π aja.
a
IV . W y k a z b ib lio g ra fic z n y
[1] A jd u k ie w ic z Κ.: G łó w n e za s a d y m e to d o lo g ii n a u k i lo g ik i io im a ln e j, W a rs z a w a 1928
[2] B ird О.: S y llo g is tic and Its E x te n sio n , N e w J e r s e y 1964 [3] C zeżow ski T.: Logika, W a rs z a w a 1949
[4] G u m ań sk i L.: L o g ika k la s y c z n a a za ło że n ia e g z y s te n c ja ln e , "Z e sz y ty N a u k o w e U n iw e rsy te tu M ik o ła ja K o p e rn ik a w T o ru n iu " , N a u k i H u-
m a n isty czn o -S p o łeczn e, z. 4, F ilozofia I, T o ru ń 1960
[5] Ja ś k o w s k i St.: O in te rp re ta c ja c h z d a ń k a te g o r y c z n y c h A r y s to te le s a w ra c h u n k u p r e d y k a tó w , "S tu d ia S o cietatis S cien tiaru m T o ru n e n sis", t. 2, n r 3, sectio A, T o ru ń 1950
[6] M c C all S to rrs: C o n n e x iv e Im p lic a tio n and th e S y llo g is m , "M ind", t. 76 (1967), n r 303, 346—356
[7] M e n n e A.: L o g ik u n d E x iste n z, M e ise n h e im -G la n 1954
[8] M en n e A.: E in ig e E rg eb n isse d er S y llo g ism u s-F o rsc h u n g u n d ih re p h i lo s o p h isc h e n K o n se q u e n ze n , w : J . M . B o ch eń sk i, L o g isch -p h ilo so p h i sc h e S tu d ie n , F re ib u rg -M ü n c h e n 1959, 61— 70
[9] N ie z n a ń sk i E.: E lem en ta rn a teoria s y s te m ó w p o r z ą d k o w y c h , "S tu d ia P h ilo so p h ia e C h ris tia n a e " , 1973, n r 1
[10] P rio r A. N .: F orm al Logic, sec. ed., O x fo rd 1962
[U ] S h e p h e rd so n J. C.: O n th e In te rp re ta tio n o i A r is to te lia n S y llo g is tic , "T h e J o u r n a l of S ym bolic L ogic", t. 21, J u n e 1956, n r 2, 137— 147 [12] S m iley T.: M r S tra w so n on th e T ra d itio n a l Logic, "M in d ", t. 76, J a n u a r y
1967, n r 301, 118— 120
[13] S m irnow W . A .: P o g ru źe n ije s illo g istik i w is c z is le n ije p re d ik a to w , w: Ł o g ic ze sk a ja se m a n tik a i m o d a ln a ja lo g ik a , M o sk w a 1967, 254— 258 [14] S tra w so n P. F.: In tro d u c tio n to Logical T h e o ry , L ondon-N ew Y o rk 1952 [15] T h o m as Iv o : A N e w D ecision P ro ced u re lo r A r is to tle 's S y llo g is tic ,
"M ind", t. 61 (1952), n r 244, 564—566
[16] T u rq u e tte A. R.: A . M e n n e L o g ik u nd E x iste n z, "T h e J o u r n a l of Sym bo lic L ogic”, t. 21 (1956), n r 4, 389—390
[17] W e d b e rg A.: T h e A r is to te lia n T h e o r y o i C lasses, " A ja tu s" , t. 15 (1948), 299—314
[18] W ie g n e r A .: E le m e n ty lo g ik i fo r m a ln e j, P o z n a ń 1948 [19] W ie g n e r A .: Z a ry s lo g ik i fo rm a ln e j, P o zn ań 1952
[20] Z in o w iew A . A .: O b o b szc ze n ije siłlo g istik i, w : P ro b le m y lo g ik i, M o sk w a 1963, 38—63
V . A S im p lificatio n of th e Ja s k o w s k i's I n te rp re ta tio n of th e C a te g o ric a l P ro p o sitio n s (sum m ary)
I. In tro d u c tio n II. In te rp re ta tio n s of th e c a te g o ric a l p ro p o s itio n s: 1. I n te rp re ta tio n s in th e c a lc u lu s of p re d ic a te s 1.1 L an g u ag es an d th e o rie s of C S n (ca te g o r ic a l sy llo g ism w ith n e g a tiv e term s) an d KRP (calcu lu s of p re d ic a te s ) 1.2 T h e n o tio n of in te rp re ta tio n a n d s y n ta c tic a l m o d el 1.3 S y n o n im o u s n o tio n s w ith r e g a r d to J a s k o w s k i's in te rp re ta tio n : 1.3.1 H. B. S m ith 's fu n c tio n 1.3.2 St. J a s k o w s k i's in te rp re ta tio n 1.3.3 A. R. T u rq u e tte ’s fu n c tio n 1.3.4 A sim p lified fo rm of S m ith -Ja sk o w sk i's in te rp re ta tio n an d sy n a c tic a l m o d el b u ilt on it 1.3.5 M e n n e 's fu n c tio n in c o m p are w ith J a s k o w s k i's in te r p r e ta tio n 1.3.6 S traw so n -S m irn o w 's fu n c tio n 2. A n in te rp re ta tio n of th e c a te g o ri c a l p ro p o s itio n s in th e e le m e n ta ry th e o r y of re fle x iv e re la tio n s 2.1 C ritiq u e th e in te rp re ta tio n s in KRP 2.1.1 C ritiq u e th e J a s k o w s k i's in te rp re ta tio n 2.1.2 C ritiq u e in te rp re ta tio n s in m o d els w ith ax io m a b o u t n o n -em p tin ess o f a ll p re d ic a te s III. E n d in g IV . B ib lio g ra p h ic a l list.
In th is p a p e r a re a c h ie v e d tw o sim p lificatio n s of th e J a s k o w s k i's in te r p re ta tio n of th e c a te g o ric a l p ro p o sitio n s. T h e first of th e s e is a tta in e d b y d e te rm in a tio n th e fu n c tio n <p4 in c la s ic a l c a lc u lu s of p re d ic a te s (the v a lu e s of th e fu n c tio n cp4 h a v e le s s sy m b o ls th a n in J a s k o w s k i's one). A lso seco n d in te rp re ta tio n is g iv e d — b e c a u se J a s k o w s k i's in te rp re ta tio n is n o t a d e q u a te — n o t in c la s ic a l lo g ic b u t in th e e le m e n ta ry th e o r y of re f le x iv e r e la tio n s .
1 ”C Sn" — to sy m b o l w p ro w a d z o n y p rzez Iv o T h o m asa w [15] n a o zn a czen ie tr a d y c y jn e j a s e rto ry c z n e j lo g ik i fo rm a ln e j z a w ie ra ją c e j w sw ym ję z y k u ró w n ie ż fu n k to r n e g a c ji n a z w o tw ó rc z e j. D a le j b ę d ę ta k ż e u ż y w a ł sk ró tu : "K RP” n a o z n aczen ie k la sy c z n e g o ra c h u n k u p re d y k a tó w (jedno- arg u m e n to w y c h ) i "KRZ" — d la k la sy c z n e g o ra c h u n k u zd ań .
W y s tę p u ją c e w te k ś c ie c y fry w k w a d ra to w y c h n a w ia s a c h są n u m e ra m i p u b lik a c ji o p is a n y c h w w y k a z ie b ib lio g ra fic z n y m n a k o ń c u a rty k u łu .
2 K a ż d y z re s z tą sp o ś ró d 24 tr a d y c y jn ie u z n a w a n y c h tr y b ó w sy lo g isty cz- n y c h je s t o d rz u c o n y p rz y te j in te rp re ta c ji w T 5 z p u sty m zb io rem a k s jo m ató w .
3 P o n iew aż ф 6(,Даа") еС пь Д i <рб(„Ааа") n ie n a le ż y do C nL>A w o b ec teg o zarzut, k tó r y in te rp re ta c ji φ 6 S tra w so n a p o s ta w ił w [12] S m iley T im o th y : "... th e in fe re n c e from Ia a to A a a h o ld s go o d u n d e r his in te rp re ta tio n , y e t it c a n n o t be p a r t of th e tr a d itio n a l sy stem ..." (s. 118)-nie m a p o d staw .
4 Zob. p rzy p is n a s. 22 w [1]. 5 Zob. np. [3], s. 92.
6 S to rrs M e C all w [6] p isze w te j sp ra w ie : "In fa c t th e w h o le q u e stio n of w h a t in fe re n c e s a re lo g ic a lly v a lid o u g h t to b e e n tire ly in d e p e n d e n t of w h a t th in g s m a y o r m a y n o t e x is t — it w o u ld be re d ic u lo u s to th in k th a t th e d is c o v e ry of u n ic o rn s in th e m o u n ta in s of th e m o o n w ould affect th e v a lid ity of a n in fe re n c e ".
7 T ra d y c y jn a a se rto ry c z n a lo g ik a fo rm a ln a bez te rm in ó w n e g a ty w n y c h je s t n a to m ia s t — ja k to p o k a z a łe m w [9] — fra g m e n te m e le m e n ta rn e j te o rii re la c ji s ła b o -p o rz ą d k u ją c y c h (czyli z w ro tn o - a n ty s y m e try c z n o -p rz e - chodnich).
