R O C Z N IK I FIL O Z O FIC Z N E T o m xxrx, z e sz y t 1 — 1981
A N N A IZ A BELLA BUCZS’K
R O LA AN ALO G II
MIEJDZY SK O ftCZO N O SC IA I NIESKONCZONOSCIA W STAW IAN IU ZAGADNIEN M ATEM ATYCZN YCH *
Zagadnienie nieskonczonosci interesowalo matematykow od najdaw- niejszych czasow. Podejmowane ci%gle proby jego rozstrzygni?cia dzia- laly inspirujqco na um ysly matematykow i filozofow J. Pytanie o spo- soby rozumienia nieskonczonosci, a zwlaszcza pytanie o sposob jej istnie- nia, jest jednak typowym zagadnieniem filozoficznym. Poniewaz zarow- no matematyk, jak i filozof poslugujq si? poj?ciem nieskonczonosci oraz podejmuj^ problematyk? z nim zwiqzan^, pojaw ialy si? na przestrzeni dziejow proby harmonizowania rozwiqzan osi^gni?tych w obu dyscypli- nach. Zauwazone sprzecznosci w operowaniu poj?ciem nieskonczonosci w jednej nauce w yw ieraly w p lyw na proby lepszego zdeterminowania go w drugiej. W filozofii m atem atyki odegraly szczegolnq rol? dwa opo- zycyjne stanowiska dotycz^ce rozumienia nieskonczonosci: arystotelesow- skie i bolzanowskie. Dlatego jesli mamy zastanowic si? nad rol^, jak$
analogia mi?dzy tym, co skonczone, i tym, co nieskonczone, pelni w do- chodzeniu i w stawianiu zagadnien matematycznych, to powinnismy naj- pierw chocby tylko roboczo ustalic, czym jest nieskonczonosc w mate-
* A rtyk u l je st n ieco zm ien ion ym fragm en tem w iqk szej rozpraw y, k t6rej znacz- na cz?S<5 ukazSla si? w „Roc2n ik ach F ilo zo ficzn y ch ” 26:1 9 7 8 z. 1 s. 161 - 253 pt.
R ola an alogii w fo rm u lo w a n iu za g a d n ie n m a te m a ty cz n y ch .
1 J est fa k tem n iem a l bezspornym , iz na przestrzen i d ziej6w zw i^zki m atem a
ty k i i filo zo fii b y ly bardzo Scisle. N ierzadk o in sp iru jgcy w p ly w na k sztaltow an ie si? m y sli filo zo ficzn ej w y w iera la 6w czesn a m atem atyk a. W ystarczy przypom niec napis n ad w e jsc ie m do A k ad em ii P laton sk iej „Kto n ie zna m atem atyk i, n iech tu n ie w ch o d zi” czy zn an e p ow ied zen ie, iz „K artezju sz m atem atyk zrodzil K artezjusza filo z o fa ”. K ant np. u czy n il z geom etrii E uk lid esa sp raw dzian sw oich s^ dow sy n - tety cz n y ch a p rio ri. Z rodel zas filo z o fii B ergsona szuka si? obecnie w srod jego w cze sn iejsz y c h za in tereso w a n m atem atyk^. Por. A. B. S t ? p i e n. W stq p do filo zo fii. L u b lin 1976 s. 15; M. H e l l e r . W obec w s z e c h iw ia ta . K rak6w 1970 s. 33, 35;
R. W a s z k i n e l . O z r d d la c h filo z o fii B ergson a. „R oczniki F ilozoficzn e” 25 :1977 z. 1 s. m i - 140.
5 R o czn ik i F ilo zo flcz n e t. X X IX
66 A N N A IZ A B E L L A B U C Z E K
matyce. Jakie sposoby jej rozumienia sg przyjmowane, jaki jest jej sto- sunek do skonczonosci i wreszcie na czym polega analogia, ktora nas tu interesuje?
Przede wszystkim przedstawimy dwa sposoby pojmowania i rozwig- zywania zagadnienia nieskonczonosci w matematyce, aby w nast^pnym etapie rozwazan podjgc prob? ustalenia, jaki charakter posiada analogia mi^dzy tym, co skonczone, i tym, co nieskonczone, oraz jakg pelni ona funkcj? w stawianiu problemow matematycznych.
1. Poj?cie nieskonczonosci pojawilo si? u samego progu filozofowania.
Poczgtkowo jako blizej nie sprecyzowana nieskonczonosc materialna, z ktorej wszystko si? wywodzi (filozofowie jonscy). Potem, gdy zacz?to rozwazac roznego rodzaju proporcje i harmonie (pitagorejczycy), wystq- pilo, aczkolwiek jeszcze nie calkiem swiadomie, poj?cie nieskonczonosci jako poj?cie lezgce u podstaw wszelkich aproksymacji. Najwyrazniej ujawnila je tzw. metoda wyczerpywania, ktora wowczas miala umozliwic i ulatwic przeprowadzenie kwadratury kola. P rzy okazji zas okazalo si?, ze liczb, ktore mozna przyporzqdkowac kolejnym odcinkom konstruo- wanych figur, jest nieskonczenie wiele. Ogolnie mowigc, proby dostrzeze- nia i postawienia problemu nieskonczonosci, a takze pewne propozycje dotyczgce jego rozwiqzania, ktore pojaw ialy si? na terenie filozofii i ma- tem atyki w starozytnosci, b yly wzajemnie uwarunkowane. Jasno to w i- da6 na przykladzie pierwszej teoretycznie gl?bszej analizy samego poj?- cia nieskonczonosci, jaka pochodzi od A rystotelesa2.
Podejmowal on problematyk? nieskonczonosci w sposob mozliwie pel- ny, i to na uzytek zarowno filozofii, jak i matematyki. Zdawai sobie spraw?, ze rozstrzygni?cia dokonane w tej materii na gruncie jednej teorii mogq okazac si? pomocne dla dobrego poslugiwania si? tym poj?- ciem w drugiej. Rozpoczgl od ustalenia, przynajmniej ogolnie, r6znych znaczen samego terminu. W III ksi?dze Fizyki wyrozndl wlasnie co naj- mniej pi?c znaczen terminu „nieskonczonosc” . Nazywa nieskonczonosci^
to, co — uzywajgc jego j?zyka — z natury swej nie moze by6 przesle- dzone, lub to, co moze bye wprawdzie sledzone, ale proces ten nie da si?
doprowadzic do konca. Moze tez bye to, co z trudem tylko da si? prze- sledzic. Albo wreszcie to, co z natury swej moze bye przedmiotem bada- nia, lecz dokladnie nie da si? przesledzi6 albo nie ma konca. Oprocz tego
2 H istoryczne uj^cie pod staw ow ych poj^c m atem atyk i, zilu strow an e od p ow ied - nirni w yj^tk am i z k lasyczn ych dziiel, pr.zedstawia O. B ecker w pracy: G ru n dlagen d e r M a th e m a tik in g e sch ich tlich er E n tw ick lu n g . 3. A ufl. Freiburg—M iinchen 1975.
O dnosnie do n ieskon czonosci w m atem atyce najbardziej ty p o w e poglq dy u m iesz- czon e na s. 64 - 69, 258 n., 273 - 316.
N
K O L A A N A L O G I I M IEJDZY S K O N C Z O N O S C IA A N IE S K O tffC Z O N O S C IA • 67
moze bye nieskonczone to wszystko, co powstaje przez dodawanie albo przez podzial, albo na skutek obydwu czynnosci razem s.
Nie wdajqc si? w dokladnq eksplikacj? przytoczonych dose schema- tycznie znaczen sprobujmy z filozoficznego podejscia Arystotelesa do nieskonczonosci wydobyc to, co jest szczegolnie interesuj%ce dla naszych rozwazan. Przede wszystkim wazne jest, co z tych dokonanych rozroznien znajduje swoje odniesienie w matematyce, a zatem, co m6w i Arystoteles na temat zbioru nieskonczonego. Wedlug niego nieskonczony jest taki zbior, do ktorego mozna ci^gle dobierac z zewn^trz jakis nowy element.
To zas, co nie ma juz nic na zewnqtrz, jest skonczone i zupelnie zam- kni?te. Znaczy to, ze dla zbioru nieskonczonego istnieje ciqgle moznosc uzupelniania go przez dolqczanie nowych elementow. A zatem nieskon- czonosc typu matematycznego zostaje potraktowana jako proces nie- wyczerpalnego powi?kszania, jako nigdy nie koncz^ca si? czynnosc w y- liczania elementow zbioru. Nic wi?c dziwnego, ze tak rozumianemu zbio- rowi przypisuje Arystoteles tylko istnienie potencjalne. Istota tego zbio
ru tkw i bowiem w potencjalnosci, nieograniczonosci, nieposiadaniu kresu, w niewykonczonosci, w mozliwosci ci^glego uzupelniania. Jedynie zbio- rom skonczonym {juz niepowi?kszalnym, juz wykonczonym) mozna,.
zdaniem Arystotelesa, przyznac istnienie aktualne.
Proponowane przez Arystotelesa rozwiqzanie jest najlepszym przykla- dem spojnosci, jaka w starozytnosci zachodzila mi?dzy myslq filozoficznq a innymi dziedzinami wiedzy. Jest ono bowiem prost% konsekwencji filozoficznie donioslego odroznienia potencji od aktu. Przez wiele nast?p- nych wiekow 'bylo ono glownym pogl^dem na spraw? nieskonczonosci i zasadniczym zrodlem poslugiwania si? poj?ciem nieskonczonosci. Zde- cydowane odrzucenie aktualnej nieskonczonosci i traktowanie potencjal- nej jako jedynego sposobu istnienia nieskonczonosci, takze i w matema
tyce, stalo si? przyczynq ujawniaj^cych si? w dalszych wiekach tendencji do mistycznego niemal ujmowania tego poj?cia. Dopiero w X V II w., gdy powstawal rachunek nieskonczonosciowy i pojawila si? trudnosc w operowaniu nieskonczeni.e malymi i nieskonczenie duzymi wielkoscia- mi, zacz?to si? interesowac, ale juz od strony czysto rachunkowej, a nie teoretycznej, jak przyporz^dkowac ten nowy rachunek dobrze znanemu rachunkowi operuj^cemu skonczonymi w ielkosciam i4. Akcent przy ta-
8 iFor. A r y s t o t e l e s . F izyk a . Tlum . K. L esn iak . W arszaw a 1968 III 4 202 b - - 8 208 a.
4 P ro stg fo r m s rach unk u nieskonczono^ ciow ego podal w 1635 r. B. C avalieri, opierajgc siq na sch olastyczn ym pojqciu w ie lk o sc i n iep od zieln ej. A le p ierw szym m atem atyk iem , k t6ry rozw ijajgc algebra, u czy n il z niej p raw d ziw q analizy, by!
J. W a llis (1616 -1703). Jego m etod y operow ania procesam i n iesk on czon ym i b y ly czysto n ie scisle, a le u zysk al w ie le n o w y ch w y n ik o w . W prow ad zil szeregi i ilo czy -
6 8 A N N A IZ A B E L L A B U C Z E K
kim podejsciu do zagadnienia polozono znowu na sprecyzowaniu metody paprawnego operowania liczbami nieskonczonymi. Szukano mianowicie takiej metody, aby poslugiwanie sis nieskonczonosci^ nie prowadzilo do paradoksow. Te poszukiwania doprowadzily w koncu do Uscislenia (przez Cauchy’ego) poj^cia granicy. Wprawdzie poslugiwano sis w definicji granicy nadal pojQciem nieskonczonosci potencjalnej, ale niedlugo G. Can
tor (tworca teorii mnogosci — matematycznej teorii zbiorow nieskonczo- nych) zwrocil uwags na mozliwosc poslugiwania sis'W niej takze nie-
skonczonosciq aktualnq.
Na blisko trzydzie&n lat przed Cantorem z propozycjq, aby nieskon- czonosciq nazywac nie tyle proces powiskszania jakiegos zbioru (jak u Arystotelesa), ale wlasnie rezultat tego procesu, wyst^pil B. Bolzano.
Dlatego ztoiorem nieSkonczonym nazwal on takq „wielosc, ktora jest wi^ksza od kazdej wielosci skonczonej, tzn. wielosc nie^konczona jest tego rodzaju, ze kazda skonczona mnogosc przedstawia tylko pewnq jej czssc” 5.
Swe rozwazania przeprowadzal on na terenie logiki i matematyki.
B rom ic takiego rozuimienia nieskonczonosci odrzucal wise filozoficzne podejscie do tej problematyki. A mimo to wprowadzil tzw. relatywne pojscie nieskonczonosci, dziski ktoremu mozna. mowic w matematyce o wielu rozmaitych bytach nieskonczonych.
Zaslugi Bolzano jest nie tyle podanie dokladnego okreslenia nie
skonczonosci czy rozwi^zanie paradoksow zwi^zanych z jej pojawieniem si^ i wyst^powaniem, ile podjscie proby ukazania genezy i natury tych paradoksow. To pozwolilo mu na uzasadnianie tak rozumianych zbiorow nieskonczonych przez wykazanie, ze zaproponowane pojscie jest po- prawne oraz ze nie otrzymuje sis sprzecznosci (paradoksu) w przyjmo- waniu istnienia aktualnego zbiorow nieskonczonych.
W X IX w. na uksztattowanie sis odpowiednich tendencji w rozwiq- zywaniu problemu nieskonczonosci w yw arly w plyw z jednej strony filo
zoficzne poglqdy Kanta, a z drugiej powstanie geometrii nieeuklideso- wych i teorii mnogosci. Kant glosil, ze formy umyslu s3 takie, iz mog^
ujmowac tylko skonczone obiekty. Ten pogl^d mial zadecydowac o poz-
ny nieskonczone oraz u zyw al sym b olu 00 zam iast 1/0. Jednak dopiero odk rycie ra
chunku r6zniczkow ego i calk ow ego przez J. N ew ton a i W. L eibniza otw orzylo dro- g<; do rachunkow ego op an ow an ia popraw nego poslu giw an ia sde nieskonczonosci^.' Por. np.: D. I. S t r u i k. K r6tkd z a r y s h isto rii m a te m a ty k i do kionca X I X w iek u . W yd. 2. W arszaw a 1903 s. 142 n.; H isto ria m a te m a ty k i. Red. A. P. Ju szk iew icz. T.
1: Od cza sd w n a jd a w n ie js zy c h do p o c zq tk u cza sd w iw w o z y tn y c h . W arszaw a 1975 s. 261 n. oraz t. 2: M a te m a ty k a X V II stv le c ia . W arszaw a 1976 s. 142 - 229'.
5 B. B o l z a n o . P a ra d o k sy nieskonczonoSci. P rzekl. L. P akalsk a. W arszaw a 1966 s. 8 n.
R O L A A N A L O G I I M IS D Z Y S K O N C Z O N O S C IA A N IE S K O fJ C Z O N O S C IA 69
niejszym odrzuceniu geometrii nieeuklidesowych, mimo to, ze w mate- m atyce znajdow aly one coraz wi^cej zwolennikow, w brew filozoficz- nym uprzedzeniom. W nowo powstalej teorii mnogosci zas wylonil sis problem dobrego okreslenia pojscia zbioru nieskonczonego tak, aby nie otrzym ywano w niej antynomii. W zwigzku z tymi nastawieniami ujaw nily sis dwie tendencje: empirystyczna, ktora zmierzala do calko- witego eliminowania nieskonczonosci, oraz formalistyczna, ktora dqzyla do znalezienia rozwiqzania gwarantujgcego dobre poslugiwanie sis nie- skonczonoscig bez wprowadzania antynomii. Obydwie tendencje przy- braly pozniej bardziej zdecydowany charakter. Empirystyczna prze- ksztalcila sis w kierunek intuicjonistyczny, zas druga stawala sis w y- razniej aprioryczno-formalistyczng 6.
Od czasow Bolzana i Cantora idea nieskonczonosci potencjalnej scho- dzi na plan dalszy. Zaczsto bardziej odrozniac nieskonczonos6 zbioru jako w yniku pewnych operacji od samej operacji nieskonczonej. Zwlaszcza odkrycie w ystspujqcych na terenie teorii mnogosci antynomii narzucilo koniecznos6 ponownego zajscia sis problematykg nieskonczonosci i za-«- proponowania skutecznych rozwigzan. Odzyl stary spor m isdzy logicy- stami i formalistami z jednej strony a intuicjonistami z drugiej.
Zwolennicy aktualnej nieskonczonosci (logicysci i formalisci) uwazali, ze antynomie sg wynikiem intuicyjnego poslugiwania sis pojsciem zbio
ru. Dlatego wprowadzili pewne ograniczenia dla poslugiwania sis termi- nem „zbior” (nieskonczony), ustalajgc apriorycznie przez przyjscie odpo- wiednich postulat6w zarowno samo pojscie, jak i sposob takiego uzy- wania go, aby nie prowadzilo ono do antynomii. Powszechnie przyjsto zbior X nazywa6 skonczonym, jezeli jest on rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych {1, 2... n) dla pewnego n. Tym samym negatywnie zdefiniowano zbior nieskonczony jako taki, k t6ry nie posiada tej wlas
nosci. Oprocz tego wprowadzono rownowazne z nim pojscie zbioru nie- skonceonego w sensie Dedekinda, tzn. pojscie zbioru nieskonczonego, ktory jest rownoliczny ze swoim podzbiorem wlasciwym. Okazalo sis, ze z pewnym i ograniczeniami (np. nie mozna tw orzyc w nieskonczonosc zbiorow, bo juz do sprzecznosci prowadzi pojscie zbioru wszystkich liczb kardynalnych) mozna budowac bogate system y tak rozumianych zbio- r6w. Widac bez trudu, ze nowoczSsne ujscia teorii zbiorow nieskonczo- nych idq po linii rozwazan Bolzana, a nawet w wielu punktach sq z ni-
mi zupelnie zgodne. (/
Zwolennicy zas drugiej tendencji (intuicjonisci) uwazajg, ze anty-
6 K orzystan o w ty m m iejscu z n otatek do w y k la d u ks. prof. dra S. K am in sk ie- g o z filo z o fii m atem atyk i p row ad zon ego w roku akad em ickim 1975/76 na W y d z ia ls F ilo z o fii C hrzeScijaftskiej KUL.
70 A N N A IZ A B E L L A B U C Z E K
nomie swiadcz^ o nieprzydatnosci aktualnej nieskonczonosci. Konstruk- tywisci (pozostajqcy w nurcie intuicjonizmu) rowniez wyst?puj^ przeciw swobodnemu poslugiwaniu si? aktualnq nieskonczonosci^, rodzi bowiem ona antynomie. W konsekwencji odrzucaj^ oni wi?ksz4 cz?s6 kantorow- skiej teorii mnogosci, nie przyjmuj^c istnienia zbiorow nieskonczonych 0 mocy kontinuum (czyli wi?kszej niz moc zbioru liczb naturalnych).
Jako pozytywne kryterium istnienia obiektow matematycznych podaj^
intuicjonisci ich konstruowalnosc; istnieje tylko to, co daje si? skonstruo- wac za pomoc^ pewnych przy j? tych operacji. Dlatego sposrod zbiorow nieskonczonych uwazaj^ intuicjonisci za istniej^ce jedynie zbiory prze- liczalne (zbiory rownoliczne z nieskonczonym zbiorem liczb natural
nych). iZrodel antynomii dopatrujq si? oni m. in. w nieuprawnionym przenoszeniu intuicji zbiorow skonczonych na zbiory nieskohczone 7.
A zatem na gruncie intuicjonistycznie uprawianej matematyki bez- przedmiotowe mog^ si? wydawac rozwazania dotycz^ce roli, jak^ odgry- wa w stawianiu zagadnien matematycznych analogia mi?dzy tym, co skonczone, a tym, co nieskohczone. Negatywna bowiem ocena tej roli tkwi juz w przyj?tych przez intuicjonistow filozoficznych zalozeniach odnosz^cych si? do podstaw matematyki.
Podejmiemy mimo to prob? rozwazenia, jak faktycznie funguje w ma- tematyce wspolczesnej nieskonczonosc i czy dadza si? zauwazy6 jakies typy analogii, wyst?puj^ce mi?dzy tym, co skonczone, i tym, co nieskoh
czone. Zastanowimy si? tez, czy zachodzi istotna roznica mi?dzy innymi typami analogii, ktore s^ wykorzystyw ane przy stawianiu zagadnien ma
tematycznych, a tq, tak bardzo swoistq dla matematyki.
2. W praktyce badawczej matematykow dajq si? zauwazyd rozmaite sposoby korzystania z analogii mi?dzy skonczonosci^ i nieskonczonosci^.
Juz wspomniane siedemnastowieczne pr6by rachunkowego opanowania nieskonczonosci oparte b yly na zalozeniu (mniej lub bardziej uswiado- mionym) o analogii mi?dzy tym, co skonczone, i tym, co nieskohczone.
Analogia ta raczej fungowala nieswiadomie w spontanicznej czynnosci umyslu ludzkiego, ktoremu wlasciwe s% pewne struktury myslowe, niz byla daj^c^ si? scisle uzasadnic analogic struktury. Cz?sto mozna zau- wazyc, iz poslugiwanie si? analogiami, zwlaszcza w celach odkrywczych, jest wyrazem naturalnej sklonnosci do nasladowania, kojarzenia r6z- nych, podobnych przedstawien, traktowania nieznanego na wzor pozna-
7 P ar. np.: E. S k a r z y f i s k i . K U ka u w a g o p ojqciu n ieskoO czorw ici w m a te - m a ty c e. „R u ch F ilo z o ficz n y ” 34 : 1976 s. 69 - 74; M. L u b a n s k i. A r y s to te le s o w s k ie 1 B o lza n o w sk ie pojqcie n iesk o n czo n o ici. „R o c zn ik i F ilo z o ficzn e ” 1 9 : 1 9 7 1 z. 3 s.
77 - 81.
R O L A A N A L O G I I M I ^ D Z Y S K O N C Z O N O S C IA A N L E S K O N C Z O N O S C IA 7 1
n e g o 8. Takie post?powanie moze bye inspirowane istotnym podobien-.
stwem przedmiotow lub ich zbiorow, ale bywa tez cz?sto rezultatem zau- wazonego podobiehstwa przedmiotow pod wzgl?dem szeregu cech nie- istotnych. St^d rozna moze bye wartosc pozijawcza uzyskanych na takiej podstawie wynikow. Jest to jednak sprawa uprawomocnienia rozumo- wania opartego na analogiach rozmaicie ugruntowanych w podobien^
stwach przedmiotow. A le nawet wtedy, gdy trudno analogii (i rozumo- waniu przez analogic) przypisac rol? uzasadniaj^c^ we wnioskowaniach jakiejs dziedziny, to jednak nie nalezy jej tym samym odmawiac roli inwencyjnej, inspiruj^cej do stawiania nowych zagadnien czy wysuwa- nia nowych hipotez.
W ydaje si?, ze taka wlasnie sytuacja byla zrodlem wzrostu proble- m atyki zwi^zanej z wprowadzeniem nieskonczonosci do rozwazan mate
matycznych. Powstawala ona bowiem dzi?ki mniej lub bardziej uzasad- nionej analogii, ktora dostarczala pomysl6w traktowania tego* co nie- znane (wielkosci nieskonczenie male oraz nieskonczenie duze), podobnie do dobrze znanych i rachunkowo dobrze opracowanych liczb skonczo- nych.
Leibniz np. poslugiwal si? nieskonczenie mal^ wielkosci^ Ax tak, jakby mial do czynienia z zerem. Pisal bowiem a + A x = a , ale nie chcial zgodzic si? na utozsamienie Ax z zerem. Przeswiadczenie o poprawnosci liniowego przejscia uogolniaj^cego od tego, co skonczone* do tego, co nieskonczone, towarzyszylo matematykom od czasu, gdy okazalo si?, ze tak dobrze znany. i podstawowy ciqg liczb naturalnych jest nieskonczony.
Ujawniajqce si? co jakis czas trudnosci zwi^zane z poslugiwaniem si?
nieskonczonosci^ m odyfikowaly tylko i uscislaly warunki poprawnosci tej operacji, ale nie w ykluczaly wszelkiej mozliwosci przeniesienia dzialan, poj?c oraz pewnych twierdzen, a nawet niekt6rych metod ze skonczo- nego rachunku na nieskonczony9.
8 J. P ia g et w p ro w a d zii terrain abstrak eja reflek ty w n a (franc, a b stra c tio n r e fle - ch issa n te) dla ok reslen ia abstrak eji w yp row ad zan ej z Czynnosci podm iotu i cech ty c h czyn nosci, w p rz ec iw ien stw ie do ab strak eji prostej, zw anej przez autora em - piryczn^, ktora je st w yp row ad zan a z sam ych przed m iotd w i ich w la sc iw o sci. D zi§- ki tem u term in o w i la tw ie j opisu je tw orczq dzialalnosc m atem atyk ow . „M atem aty- cy, k t6rzy dziqki „abstrakcji r eflek ty w n e j” w yp row adzaj^ n ow e operacje z opera
cji juz poznan ych , a tak ze n o w e stru k tu ry z por6w n a n ia struk tur daw n iejszych , w sw y ch w sp61czesnych pracach w zbogacajq najbardziej p od staw ow e pojqcia: n ie przek reslajq ich, lec z je reorganizuj^ w sp os6b n ieo czek iw a n y ” (J. P i a g e t . P s y - ch ologia i e p iste m o lo g ia . W arszaw a 1977 s. 17 ->18).
9 N a p rzyklad D. H ilb ert zb u d ow al teoriq form k w ad ratow ych o n iesk on czen ie w ie lu zm ien n ych w p row adzaj^c do niej pew n e ograniczenia analogiczne do p rzy- p ad k ow sk onczon ych . O graniczyl zakres zm ienn ych przez zqdanie, b y su m a k w a - d ratow zm ien n ych b yla „zbiezna”, tzn. m iala w artosc skonczong. M ozna ten fa k t
72 A N N A IZ A B E L L A B U C Z E K I
Swoistego uprawomocnienia omawianego przejscia dostarcza, jak si?
wydaje, wsporaniana analogia struktur myslowych czy wlasciwych czlo- wiekowi czynnosci analogicznych umyslu. Istotng cechg myslenia mate- matycznego jest dgzenie do coraz smielszych uogolnien. W ydaje si? wi?c, ze operacja ta staje si? pewnego rodzaju racjq uzasadniajqcg mozliwosc przejscia — przynajmniej przy stawianiu nowych problemow i odkry- waniu nowych zagadnien — od tego, co skonczone, do tego, co nieskon- czone. Uogolnienie w matematyce byloby niepelne, gdyby przejawialo si? wylgcznie w przechodzeniu od szczegolowych przypadkow do ogol
nych, ale z istotnym ograniczeniem tylko do skonczonych. Ono w spo
sob naturalny domaga si? pojscia dalej i postawienia pytania: co si? b?- dzie dzialo w nieskonczonosci? C zy okreslone dzialania zachowujq swoje wszystkie czy tylko niekt6re wlasnosci? Kiedy uprawniona jest ekstra- polacja dzialan, wlasnosci, poj?c, twderdzen i metod az do nieskonczo- nosci? A takze czy zbyt smiala albo czysto mechaniczna ekstrapolacja nie prowadzi do bl?dnych wniosk6w, antynomialnych pulapek i nie- przewidzialnych trudnosci?
Zwrocenie uwagi na niebezpieczenstwo zwiqzane z konst rukcjg obiek- tow z nieskonczonymi charakterystykam i i mozliwosc otrzymania roz- m aitych paradoksow przy nieostroznym stosowaniu ekstrapolacji (prze- kraczajqcej czasem prawomocnosc jej zastosowania) rodzi nowe proble- m y i wskazuje na koniecznosc kazdorazowego sprawdzenia podstawy uogolniajgcego przejscia. Te charakterystyczne trudnosci, w ktore obfi- tuje analogia mi?dzy tym, co skonczone, i tym, co nieskonczone, powo-
w yrazi6 za pomoc^ uogolnionego tw ierd zen ia P itagorasa, zqdajqc, aby pu nk t prze- slrzen i H ilberta o n iesk on czen ie w ie lu w ym iarach m ia l skonczonq odlegloSc od pocz^tku uk iadu wspolrz^dnych. Z d efin iow al form ? k w adratow ^ ograniczonq — ja ko podw ojnq sum ? niesk on czon e i nalozyl na n ig w arun ek , aby byla zbiezna w e w szy stk ich punk tach przestrzeni. W takiej p rzestrzen i zachow uje, sen s w ie le poj§6 zw igzan ych z w iasn osciam i plaszczyzn i pow ierzch n i stop nia drugiego w geom etrii sk onczenie w ym iarow ej. Np. kazda form a k w ad ratow a nalezqca do tej k la sy m oze b y f sprow adzona do postaci norm alnej za pom ocg obrotu uk iadu wsp61rz?dnych.
Przez analogie z przypadkiem sk onczenie w y m iarow ym H ilbert n a zw a l zbi6r w ar- tosci wsp61czynnik6w w yst^puj^cych w tej postaci norm alnej „sp ek tru m ” form y kw adratow ej. Inni uogoln ili teori^ sp ek tralng D. H ilberta przez p rzejscie od przy- padku szczeg61nego operator6w lin io w y ch „ograniczonych” do operator6w lin io w y ch
„nieograniczonych”. Zarzucili oni hilbertow skq koncepcjQ form y kw ad ratow ej jako ezegoS, co m ozna w yrazi6 kon kretn ie w p ostaci n ieskon czonego w yrazen ia algeb ra- icznego i sform u iow ali zam iast niego poj^cie abstrak cyjn e, un ikajgc dzi^ki tem u poprzednich ograniczen. O trzym ano przez to rozszerzong teori? sp ek tralng, k t6ra zn alazla zastosow an ie w fizyce w sp6lczesnej. Por. R. C o u r a n t. M a te m a ty k a w H oiecie w sp d lc ze sn y m . W: M a te m a ty k a w iw ie c ie w sp d lc ze sn y m . Zb id r a r ty k u ldij>
z „S c ien tific A m erica n ”. W arszaw a 1967 s. 21 n.
R O L A A N A L O G I I M IfJD Z Y S K O N C Z O N O S C IA A N IE S K O flC Z O N O S C IA 7 3
duj^, ze staje sis ona szczegolnie interesujqcym oraz najbardziej zlozo- nym przypadkiem analogii daj^cej pods taws do uogolniania10.
A naliza analogii m isdzy tym, co szczegolowe, i tym, co ogolne, ujaw- nila, iz podstawy do uogolniajqcego przejscia w tym przypadku dostar- cza podobienstwo glownie jakosciowe, dotycz^ce jesli nie wszystkich wlasnosci, to przynajm niej ich wiskszosci. W kazdym razie jest to na ogol istotne podobienstwo zestawionych przedmiotow (w szerokim sensie), roznice zas dotycz^ glownie zmian ilosciowych (ilosc rozpatrywanych przedmiotow w zbiorze, liczby wymiarow, dopuszczenie do rozwazan wiskszej liczby przedmiotow przez zniesienie ograniczajqcego warunku itp.). Dlatego p rzy formulowaniu zagadnien na podstawie tej analogii rols stymuluj^c^ spelnia przede wszystkim podobienstwo przedmiotow, i to na ogol podobienstwo, ktore mozna dose latwo zauwazyc, uchwycic, opisac i uzasadnic.
W przypadku analogii m isdzy tym, co skonczone, a tym, co nieskon- czone, ma miejsce nieco inna sytuacja. Nie mozna generalnie powie- dziec, ze jej zasad^ jest istotne podobienstwo m isdzy porownywanymi przedmiotami. W kazdym konkretnym zastosowaniu tego przejscia na
lezy uzasadnic i wskazac jego podstaws, jesli chce sis uniknqc ewen- tualnych blsdow czy paradoksow.. Dzieje sis tak dlatego, ze przejscie od skonczonosci do nieskonczonosci charakteryzuje sis niejednokrotnie jasno uchwytnymi skokami jakosciowymi. Przewaznie s^ one bardziej istotny- mi roznicami niz podobienstwami porownywanych obiektow. Widac to juz chocby w okresleniu nieskonczonosci, ktor^ wprowadza sis defini- cyjnie jako zaprzeczenie tego, co stanowi o skonczonosci. O ile jednak uswiadomienie sobie pewnej ograniczonosci analogii m isdzy tym, co skonczone, a tym, co nieskohczone, nakazuje koniecznosc zachowania ostroznosci w przypisywaniu jej roli uzasadniaj^cej stosowanie wszel- kich metod znanych z rachunku skonczonego oraz przestrzega przed w y- prowadzaniem pochopnych i zbyt pospiesznych wnioskow czy daleko idqcych twierdzen, o ty le udzial tej analogii w odkrywaniu, stawianiu i formulowaniu zagadnien typowo matematycznych jest doniosly. Bo
wiem w e wzroscie i rozwoju problematyki mog^ odgrywac (i faktycznie odgrywajg) w cale niebanaln^ rols nie tylko podobienstwa, ale i roznice, zwlaszcza oparte na przeciwstawieniach, ujste za pomocq analogii. Warto przypomniec, iz przy og61nej charakterystyce analogii wskazalismy na) koniecznosc jednoczesnego ujmowania zarowno podobienstw por6w ny-
wanych przedmiotow, jak i wystspujqcych m isdzy nimi rozn icu . Ze
10 O u ogoln ian iu i an alogii dostarczajgcej p od staw y do przeprow adzania uog61- n ien zob.: B u c z e k , jw . s. 1 9 3 -1 9 4 , 2 0 3 -2 1 3 .
11 P or. dyskusjQ w sp ra w ie przyjqeia okreslonej kon cepcji analogii oraz prdbQ krytyczn ej ocen y p ew n y ch sta n o w isk przeprow adzonq tam ze (s. 172 -174).
74 A N N A IZ A B E L L A B U C Z E K
wzgl?du na inwencyjn^ rol? analogii w mysleniu matematycznyra (nie tylko rozwazanej tu analogii mi?dzy tym, co skonczone, i tym, co nie- skonczone) wydaje si? to sprawq wazn^ i godnq uwagi. Roznice bowiem rowniez mog^ naprowadzic na nowe zagadnienia dotyczqce nieznanego obiektu czy nowej badanej dziedziny. Zw ykle zostaj^ one sformulowane w postaci pytan o wlasnosci badanego obiektu w stosunku do tego, co juz jest znane. Czy wlasnosci porownywanych obiektow sq podobne?
Czy mi?dzy tymi wlasnosciami zachodz^ jakies relacje? C zy zalozona po- cz^tkowo analogia moze bye w jakis sposob uprawomocniona? C zy jest ona zrodlem istotnego rozwoju danej dziedziny wiedzy? C zy moze bye podstaw^ innych uogolnien?
Pytania te wyrastajq wprawdzie w zwi^zku i przy okazji uswiadamia- nia sobie niebezpieczenstw i pulapek, jakie mogq wystqpic przy wpro- wadzaniu analogii mi?dzy tym, co skonczone, i tym, co nieskonczone.
Ukazujq mimo to w lasciw y kierunek tworczej dzialalnosci badawczej matematykow. To, co nieskonczone ,{i to zarowno obiekty, jak i operacje), bowiem wyraza si?, a nawet i formuluje na podstawie tego, co skonczone.
Czyni si? zas to w rozny sposob. B^dz dzi?ki utozsamieniu w tym czy in- nym sensie odpowiednich ukladow wlasnosci, bqdz przez zanegowanie, przeciwstawienie luib odrzucenie pewnych wlasnosci, jako istotnie roznych lub prowadz^cych do paradoksow, b^dz wreszcie przez ustano- wienie albo odfcrycie zupelnie nowych wlasnosci, ktore nie wyst?powaly w skonczonych obiektach. Mozna to, jak si? w ydaje, dose latwo zaob- serwowac, analizuj^c zarowno rozwoj historyczny pewnych dziedzin ma- tematycznych, a zwlaszcza proces wprowadzania do nich problematyki nieskonczonosci, jak rowniez sledzqc caly kontekst odkrywania w twor
czej pracy m atem atyka12. I jedno i drugie mogloby okazac si? ibardzo in- teresujqee z uwagi na mozliwosc ujawnienia poszczegolnych faz i etapow przebiegu rozumowania (mniej lub bardziej swiadomego) przez analogi?, jak rowniez pokazania rozmaitych rodzajow analogii ze wzgl?du na sto- pien zawartego w nich podobienstwa zestawianych obiektow. Mozna by- loby tez przesledzic dokladniej te analogie, ktore tylko na zasadzie smia-
12 N ieodosob niony jest poglgd, w ed lu g ktorego an alogia jest jed n ym z m ech a- n izm ow in telek tu aln ych w arunkuj^cych rozwdj nauki. N a w et w i^cej, m6w i si§, ze nauka je st procesem , kt6ry charakteryzuje jednosc i ci^gloSc w czasie i przestrze- ni. G w arantujg jg wsp61ne p od staw y logiczne w szy stk ich dyscyp lin oraz pow roty daw nych id ei w n ow ej, zm odyfikow an ej form ie. D latego znajom osc dziej6w ten d en - cji w n au ce m oze m iec w ie lk g w ar lo se heurystycznq. N iektorzy w id zq t^ spraw q jeszcze ostrzej, w yrazajgc przekonanie, ze historia rozw oju m y sli n au k ow ej jest zasadniczo h istoric w n iosk ow an ia przez an alogic o odp ow ied nich relacjach. Zob.
np.: G. S a r t o n . T h e L ife o f Scien ce. N ew Y ork 1948; A. A r b e r . A n a lo g y in th e H is to r y o f Scien ce. W: S tu d ie s and E ssays in th e H isto ry o f S cien ce and L earn in g.
Ed. A. M ontagu. N e w Y ork 19.69 s. 2 19-235.
R O L A A N A L O G I I M IS D Z Y S K O f lC Z O N O S C I A A N L E S K O ftC Z O N O S C IA 75
lych skojarzen, a nie narzucajgcych sis podobienstw odegraly pewng rols w postspie i rozwoju okreslonych dziedzin matematycznyoh. W y- daje sis, iz takze zludnosc niektorych analogii hipotetycznie wprowadzo- aych moglaby bye blizej ujasniona, gdyby analizg objqc takze paradoksy, do ktorych doprowadzilo nieuprawnione stosowanie rozumowania przez analogis 13.
Dla uzyskania bardziej zasadnej opinii w sprawie analogii m isdzy tym, co skonczone, a tym, co nieskonczone, poprzestaniemy jednak na analizie i odpowiednim uporzqdkowaniu przykladow tych rodzajow oma- wianej analogii, ktore mogg bye zaliczane do tzw. jasnych (oczywistych) albo w yraznych analogii. Majg one juz ugruntowanq pozyejs w mate- matyce. Rezultaty otrzymane na zasadzie rozumowan przeprowadzo- nych dzis'ki stwierdzonym wczesniej analogiom zostaly wlgczone do ma- tem atyki jako wartosciowe i nie prowadzqee do antynomii. Sqdzimy wise, ze rozwazenie takich przypadkow pozwoli lepiej wnikngc w naturs analogii m isdzy tym, co skonczone, i tym, co nieskonczone, w jej naj- mocniejszej i zarazem najcenniejszej wersji.
Stawianie zagadnien na podstawie przejscia od tego, co Skonczone, do tego, co nieskonczone, znajduje swojg najbardziej wyrazng postac w uogolnianiu roznych operacji i dzialan oraz w uogolniajgcym przeno- szeniu (czasem tworzeniu) pojsc, dotyczqcych obiektow nieskonczonych.
Prostg juz konsekwencjg jest podawanie coraz ogolniejszych hipotez, ktore ujm ujg i blizej charakteryzujg wlasnosci wprowadzonych pojsc (i obiektow). Osobnymi zagadnieniami sq problemy zwigzane ze stoso- waniem odpowiednich metod oraz tzw. problemy graniczne. Sprobujmy kolejno zaprezentowac odnosne przyklady.
Najprostszg operacjg w matematyce (nawet elementarnej) jest ope- racja liczenia elementow jakiegos zbioru. Gdy jest on skonczony, sprawa nie przedstawia zadnej trudnosci. Nieco bardziej kom plikuje sis, gdy idzie o liczenie elementow zbioru nieskonczonego. iZawodzi bowiem w tym przypadku intuicja wigzana z pojsciem liczenia. Nie tylko trudno wSka->
zac metods liczenia, ale trudno tez oprzec sis przypuszczeniu, ze kazdy zbior nieskonczony sklada sis z tej samej liczby elementow. A przeciez tak nie jest. Istnieje zbiory roznych mocy, tzn. nieskonczone, ale nie za- wierajqee tej samej nieskonczonej liczby elementow. W ystarczy porow- nac zbior liczb naturalnych i zbior liczb rzeczywistych. Obydwa sg nie-
13 S u gerow an e zagad n ien ia m oglyby okazac si? in teresu jq eym tpm atem sam ym dla sieb ie, w y m a g a iy b y d ok ladniejszych analiz historyczn ych zw igzan ych z rozw o- jem i k o le jn y m i etapam i propon ow an ych rozw iq zan w za k resie tej problem atyki M u sialyb y tez z kon ieczn osci odw olyw afi siQ cz^sto do przypuszczen i odk ryw ania n ie u ja w n io n y c h su pozyeji. N alezalob y tez zastosow ac innq, bardziej adekw atnq , jak np. psycholo’gicznq, metodQ do tego typ u analiz.
76 A N N A IZ A B E L L A B U C Z E K
skonczone, ale zbior liczb rzeczywistych zawiera istotnie w iscej elemen
tow niz zbior liczb naturalnych. Latwo jest stwierdzic, ze nie mozna skonstruowac przeksztalcenia, ktore by pozwolilo wszystkim elementom zbioru liczb naturalnych przyporzqdkowac wszystkich elementow zbioru liczb rzeczywistych. Podczas gdy zostanq wyczerpane wszystkie liczby naturalne, pozostanq jeszcze ciqgle nie w ykorzystane liczby rzeczywiste.
Nasuwa sis wise przypuszczenie, ze skoro dla zbiorow skonczonych ist- n ie ji liczby naturalne wyrazaj^ce ilosc ich elementow, to takze i zbio- rom nieskonczonym mozna przyporz^dkowac jakies liczby (liczby kardy- nalne), ktore podobnie jak tamte w yrazac bsd^ w jakims sensie ilosc ich elementow.
Istotnie, kazdemu zbiorowi mozna przyporz^dkowac jego moc, ktor^
nazywa sis takze liczby kardynalnq tego zbioru. Jedna i ta sama liczba kardynalna jest przyporzqdkowana dwom roznym zbiorom A i B wte
dy i tylko wtedy, gdy te zbiory s$ rownej mocy albo — jak sis mowi zamiennie — rownoliczne. O dwoch zbiorach A i B mowi sis, ze s%
rownoliczne, gdy istnieje przeksztalcenie roznowartosciowe zbioru A na zbior B, tzii. takie, ktore roznym elementom zbioru A przyporzqdko- wuje rozne elementy zbioru B. Latwo jest stwierdzic, ze relacja rowno- licznosci jest re la cji rownowaznosciowq, dlatego zbiory m isdzy sobq rownoliczne mozna zaliczyc do jednej klasy, ktorq charakteryzuje odpo- wiednia liczba kardynalna. Najmniejszq liczby kardynalnq nieskonczonq jest liczba alef-zero przyporz%dkowana wszystkim zbiorom rownolicznym ze zbiorem liczb naturalnych. Zatem okresla ona nieskonczonosc typu przeliczalnego. Liczba kardynalna odpowiadaj^ca zbiorowi liczb rzeczy
wistych jest wisksza od alef-zero. Zbiory rownoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywa sis zbiorami mocy continuum 14. .
Nie trudno jest zauwazyc, ze pojscie rownolicznosci zbiorow stanowi dose precyzyjne uogolnienie pojscia liczenia elementow jakiegos zbioru.
Konstrukcja zas przeksztalcenia ustalaj^cego rownolicznosc (o ktorym mowa jest w definicji) zbiorow jest uogolnieniem samej operacji licze
nia elementow jakiegos zbioru bez koniecznosci odwolywania sis do ja- kichs liczb charakteryzujqcych ts ilosc. Wreszcie liczba elementow ja
kiegos zbioru skonczonego ma swoje uogolnienie w zbiorze nieskonczo- nym jako odpowiadajqca jej moc zbioru. W m ysl bowiem przedstawionej tu bardzo szkicowo teorii mocy zbiorow mozna w szczegolnosci zbiorom skonczonym przyporz^dkowac odpowiednie liczby kardynalne. Na przy- klad zbiorowi pustemu przyporz^dkowuje sis liczbs zero, natomiast zbio-
14 Zob. np.: K. K u r a t o w s k i . W stq p d o te o r ii m nogoSci i to pologii. W yd. 5.
W arszawa 1972 s. 58 - 59; H. R a s i o w a . W stqp do m a te m a ty k i w sp o lc ze sn e j. W yd.
,3. W arszaw a 1971 s. 28.
R O L A A N A L O G I I M IBJDZY S K O ttC Z O N O S C I A A N IE S K O S T C Z O N O S C IA 77
row i zlozonemu z n elementow (dla n = 1, 2, 3 ,...) liczb? n jako jego liczb? kardynalnq. Zas rownosc mocy jest uogolnieniem rownej liczeb- nosci zbiorow. W arto odnotowac, ze uogolnione poj?cia daj^ si? stosowac zarowno do zbiorow skonczonych, jak i nieskonczonych.
A zatem takie poj?cia jak wspomniana tu „moc zbioru” sq po- j?ciami analogicznymi, ktore zostaj^ wprowadzone na podstawie pew- nej ogolnej analogii mi?dzy zbiorami skonczonymi i nieskonczonymi. Od- noszq si? zarowno do jednych, jak i do drugich, choc nie w jednakowym stopniu scisle charakteryzuj^ obydwa rodzaje zbiorow. Moc zbiorow skonczonych jest konkretnq liczb^ naturalnq wyrazaj^cq liczb? elemen
tow rozwazanego zbioru, zas moc zbioru nieskonczonego ustala „typ nie- skonczonosci” ze w zgl?du na liczb? elementow w porownaniu z podsta- wowym zbiorem liczb natu raln ych **.
Dzialania przeprowadzane na liczbach znajdujq tu takze swoje uogol- nienie. Tworzenie sum albo iloczynow- (liczbowych) moze bye ,,roz- ciqgni?te” do nieskonczonosci, tzn. moze bye dopuszczona nieskonczona liczba skladnikow lub czynnikow — mowi si? w tedy o tworzeniu sum czy iloczynow nieskonczonych; albo moze bye „rozciqgni?te” takze na zbiory nieskonczone jako obiekty, na ktorych tez mozna te dzialania w y- konywac, i to bez wzgl?du na to, czym sq elementy tych zbiorow (liczby, punkty czy jeszcze jakies inne obiekty matematyczne). I z jednym, i z drugim sposobem swoistej ekstrapolacji mozna niemal na kazdym kro- ku spotkac si? w matematyce. Odroznienie ich od siebie jest konieczne z uwagi na mozliwosc pojawienia si? nowych lub co najmniej zmian?
starych wlasnosci dzialan uogolnianych. Pytania bowiem o wlasnosci nie- skonczonych (ze wzgl?du na liczb? elementow) dzialan oraz dzialan w y- konywanych na obiektach i(w szczegolnosci zbiorach) nieskonczonych (podstawq wyrozniajqcg jest tu aspekt jakosciowy), a takze dzialan nie- skonczonych przeprowadzonych na zbiorach nieskonczonych {uwzgl?d- nione tu sg obydwa aspekty) s^ naturalnymi zagadnieniami, rodz^cymi si? w zwiqzku z dokonanymi rozszerzeniami. Jeszcze innymi s$ pytania
15 P od ob n ie je st np. z pojqciem m iary zbioru, k t6re p o w sta je w w y n ik u u ogol- nien ia ta k ic h poj^fi, jak: „dlugosc lin ii k r zy w ej”, „pole pew n ej p o w ierzch n i” oraz
„objqtosc p ew n ej b r y ly ”. Z am iast m o w ic dlugosc, pole, obj^tosc m o w i s is ogolnie m iara jed n o w y m ia ro w a , d w u w ym iarow a, trojw ym iarow a. Z n ow a term inologia zw i^zane sa p ew n eg o rodzaju u ogoln ien ia, b o w iem pojQCie m iary m oze b ye stoso- w a n e do zbior6w polozonych w przestrzen iach eu k lid eso w y c h d ow oln ego w ym iaru (takze i n iesk o n cz en ie w ym iarow ych ) oraz m oze b ye odn oszone do szerszej k la sy zbiorow , a n izeli to da si§ uczynic w przypadku zw y k ly c h poj^c dlugosci, pola, ob- jetoSci. N p. n ie m ozna m o w ic o dlu gosci zbioru liczb w y m ie m y c h przed zialu <0,1), n a to m ia st m ozna m ow ic o jego m ierze. I znow u, m ozna w yrozn ic zbiory sk onczo
n e oraz n iesk on czon e z p u nk tu w id zen ia m iary. -Takim poj^ciem je st tez np. typ porzq d k ow y i odp ow iadajaca m u liczba porz^dkowa.
78 A N N A IZ A B E L L A B U C Z E K
dotyczqce wlasnosci dzialan wykonywanych na liczbach kardynalnych i liczbach porz^d'kowych przyporzqdkowanych odpowiednim zbiorom nie- skonczonym. Odpowiedzi na te i im podobne pytania mog^ stanowic da- lej punkt wyjscia do nast?pnych zagadnien, ktore z nimi \vi3z3 si? nie- mal bezposrednio. Dla uogolnionych dzialan nie^konczonych ib?dq to np.
tzw. problemy graniczne obejmujgce badanie wartosci i procesow gra- niczn ych 16. Dla jednych i drugich zas wystqpi to wyraznie w zagadnie- niu metod zastosowanych do nieskonczonosci. Czy mogq one bye prosto przeniesione z obiektow skonczonych? C zy sq podobne tylko pod pewnymi wzgl?dami do metod stosowanych? C zy moze obiekty nieskon- czone, do ktorych majq bye zastosowane, wywierajq w plyw na pewnq modyfikacj? tych metod znanych z rachunkow skonczonych?
Pewien przyklad, ktory przytacza G. Polya dobrze, jak si? wydaje, ilustruje obie sprawy, a takze dostarcza pewnych argumentow na rzecz naszego stanowi^ka. Szwajcarski matematyk L. Euler sprqbowal zasto- sowac metod? rozkladania na czynniki liniowe wielomianow, ktora w row- naniach algebraicznych pozwala ustalic pewne zwi^zki mi?dzy pierwia- stkami a wspolczynnikami rownania do rownan niealgebraicznych. To post?powanie bylo jedynie dopuszczalne na podstawie analogii, ktorq on sam potem nazwal analogic nieskonczonosci. Tak jak inni matematycy przed Eulerem przechodzili od skonczonych roznic do nieskonczonych.
18 W ystarczy zw r6ci6 u w ag? np. na sposdb w p row ad zen ia ca lk i fu n k eji f(x) jako su m y algebraicznej pol ograniczonych przez w y k res te j fu n k eji i os Ox, kt6- ra w granicy daje w artosc calk i. In nym je st np. zagad n ien ie zbieznoSci szeregow (sum ) m ieskonezonych, iloczyn ow n ieskon czonych czy po prostu rozm aitych cd^gow uogolnionych. N ieskon czone szeregi sg analogiczne do sk onczon ych sum , kt6re s%
dla n ich w artosciam i granicznym i. P odobn ie calk i n ie w la sc iw e s^ analogiczne do calek oznaczonych, k t6re stan ow iq ich graniczne w artosci. Innq egzem plifik acjq jest w p row adzen ie np. punk tu nieskoriczenie odleglego na prostej albo tzw . punktu n iew la sc iw eg o prostej. Upraszcza to znaczn ie struktur? g eom etrii i przydaje si? do jed n olitego jej uj?cia. J e st to podobna sytu acja do tej, ktora su gerow ala rozszerze- n ie poj?cia liczb y dla usun i?cia ograniczen w od ejm ow an iu i dzieleniu. Mysl^
przewodnijj i tutaj jest p ragn ien ie zach ow ania w dzied zinie rozszerzonej tych praw , kt6re fu n g o w a ly w dziedzinie p ierw otn ej. Zgodnie z p rzyj?tym i um ow am i pu nkt w n iesk on czon osci jest okreslony albo p rzed sta w io n y za pom oc^ rodziny prostych row noleglych, kt6re w n im si? przecinaj^. U m o w y te, S3 tak dobrane, ze praw a rzqdz^ce relacjq koin cyd en cji pom i?dzy zw y k ly m i pu n k tam i i prostym i pozostajq w dalszym ciqgu praw d ziw e, n atom iast w y zn aczen ie pu n k tu przeci?cia dw och prostych, ktore poprzednio b ylo m o zliw e ty lk o w przypadku p rostych n ie - row noleglych, teraz n ie nap otyka ograniczenia. M ozna udow odnic, ze m i?d zy pu n
ktam i i prostym i zachodzi p ew ien rodzaj dw oistosci. W geom etrii rzu tow ej, w od- r6znien iu od m etryczn ej, w la sn ie dzi?ki tem u w p row adzonem u p u n k tow i w n ie sk onczon osci i dualnej w zgl?dem n iego prostej w nieskon czonosci m ozna zesta w ia c tw ierd zenia dw oiste, k t6re s$ p raw d ziw e zarow no w odn iesieniu do pu n k t6w , jak i do prostych.
R O L A A N A L O G I I M IS D Z Y S K O N C Z O N O S C I A A N IE S K O N C Z O N O S C I A 79
od sum dkonczonych do sum nieskonczonych, od Skonczonych iloczynow do iloczynow o nieskonczenie wielu wyrazach, tak Euler od rownania algebraicznego skonczonego rzsdu przeszedl do rownania rzsdu nieskon- czonego, stosujqc do nich metody znane dla przypadku skonczonego.
Euler rozpatrywal rownanie sin x = 0, ktore w rozwinistej postaci mozna zapisac nastspujqco:
X x 3 x 5 x 1
1 F 2 7 3 + l - 2 - 3 - 4 - 5 ~ l - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 ' " _
Poniewaz lewa strona jest „nieskonczonego stopnia” i posiada nieskon
czenie w iele wyrazow, wise rownanie ma nieskonczenie wiele pierwia
stkow: 0, ji, — at, 2it, — 2ji, 3ji, — 3ji, . . .
W yklucza sis pierwiastek 0 i dzieli sis lewq strons rownania przez od- powiadajqcy temu pierwiastkowi czynnik liniowy x, stqd otrzym uje sis rownanie:
x2 x4 x6
1 --- 1--- :--- ---h ... =0 2- 3 2 - 3 - 4 - 5 2 i 3 - 4 - 5 - 6 , 7
z pierwiastkami: it, — n, 2k, — 2n, 3 it, — 3ji, . . .
Dla rownania algebraicznego stopnia 2n mozna otrzymac analogiczny uklad pierwiastkow, ktory pozwala na odpowiednie rozlozenie w ielo- mianu na czynniki lin io w e17. Na podstawie zauwazonej analogii Euler
17 R6wnamie Ji-tego stopnia a0+ a 1x-f-a2x + . . .+ a nxn= o ma n roznych pier- w ia stk6w oij, a ,, a3...a n i daje s is przedstaw ifi w postaci iloczyn u n czyn n ik6w lin iow ych
a„(,x—a i ) ( x —«2)...(jc — an) = a « + a i x + a ^ x 1 + ... + a»x"
P rzez porow n an ie w sp o lczy n n ik o w przy ty ch sam ych pot^gach x otrzym uje s is np. an_1= - a n .(a1+ a 2+ . . .+ « „ )•
In ny sp os6b rozk lad u na czyn n ik i otrzym uje s is przy zalozeniu, ze zaden z p ie r- wiiastk6w a 1( a2, . . . , an n ie je st ro w n y zero, lu b przy zalozen iu, ze a ^ O
a0 + aiX + a2 x 2+ ... + a . x n = a0 / l ---j ^1 — Y . . ^ l --- ^ •
G dy r6w n a n ie je st stop n ia 2n i przybiera postac bo — b iX 1 + b2 x * —... + ( — 1)"6„x2" = 0 ,
m a 2n rozn ych p ie rw ia stk o w Pj, — Px, P2, — P2, • •. Pn, — Pn, w te d y rozk lad w y - glqda inaczej
b o - b lX 2 + b2 x * ~ . .. + ( - l ) " b n X 2" = bo h - f i } i np.
5 { ji+k + - +h ) '
Zob. G. P 6 1 y a . M a th e m a tik un d p la u sib les S ch liessen . T. 1: In d u k tio n u n d A n a lo g ic in d e r M a th em a tik . B asel 1962 s. 41 - 47.
80 A N N A IZ A B E L L A B U C Z E K
zastosowal i tutaj podobne rozlozenie na czynniki i otrzymal:
Przez porownanie wyrazow z rownym i pot?gami x 'po obu stronach row- nosci — — 5 + ~^3 + ••• otrzymal sumy wielu godnych uwagi szere-
2 • 3 n 4n 9 n gow:
1 1 1 n2
1 + —
4 9 16 6
1 1 1 n*
1 + ? + 3*-t4*+ - = W
Rezultaty te, jakkolwiek budzily zastrzezenia w ielu wspolczesnych ma- tematykow, poniewaz b yly osiggni?te metodami dotychczas nie uzywa- nymi do takich celow, zgadzaly si? ze znanymi skgdingd wartosciami liczbowymi rozwazanych szeregow. A le dopiero wtedy zostaly one uzna- ne za uprawnione, gdy znaleziono scisly dowod (a nie tylko liczbowe potwierdzenie) dla wartosci jednego z rozpatrywanych szeregow.
Nie zawsze jednak tak prosto da si? przeniesc metody z rachunkow skonczonych na nieskonczone. Widac to jasno na innym przykladzie. Sze- reg X --- jest zbiezny, jego suma k moze bye wi?c oszacowana przez
„=o n + 1
dwa pierwsze w yrazy szeregu ^ < k< \. Jezeli utworzy si? szereg 2k= \—\+
+ § —f + f —!+•..» latwo mozna zauwazyc, ze w yst?puje w nim zawsze jeden w yraz z parzystym mianownikiem oraz po dwa w yrazy z takim samym mianownikiem nieparzystym. Po zestawieniu w yrazow z tymi samymi mianownikami otrzyma si?:
Ale przy zalozeniu k 0, 2k jest zawsze rozne od k.
Blgd polega tu qa tym, iz metod? obliczania skonczonej sumy przenosi si? bez zadnych ograniczen na sum? nieskohczonego szeregu. Przyj?to bowiem, ze suma nieskonczonej liczby czlonkow (podobnie jak skonczona) jest zawsze rowna, bez wzgl?du na kolejnosc sumowania poszczegolnych wyrazow. Przytoczony przyklad pokazal, ze bylo to bl?dem. Suma nie
skohczonego szeregu jest — wedlug definicji — granicg ciggu sum cz?- sciowych i jesli zmienimy kolejnosc nieskonczonej liczby wyrazow, zmie- nimy istotnie ten ciqg. A zatem niebezpieczenstwo bl?du przy korzysta- niu z niesprawdzonej analogii moze rowniez zrodzic nowe pytania np.
o zakres ograniczenia nalozonego na stosowanie tej analogii. Gkazuje si?,
K O L A A N A L O G I I M IIJD ZY S K O ftC Z O N O S C IA A N IE S K O N C Z O N O S C I A . 81
iz nie zawsze przemieszczenie wyrazow nieskonczonego szeregu zmie- nia jego sum?. Znaleziono odpowiednie twierdzenia orzekaj^ce, ze dla szeregow bezwzgl?dnie zbieznych ograniczajqcy warunek nie jest po- trzebny; suma takich szeregow jest zawsze rowna i nie zalezy od ko- lejnosci suxnowania poszczegolnych wyrazow.
W ydaje si? wi?c, ze uogolnianie odnosnie do metod :(czy lepiej aria- logia dajqca podstaw? do uogolniania w zakresie stosowanych metod), zwlaszcza w stawianiu zagadnien dotyczqcych nieskonczonosci, moze miec miejsce tylko w tedy, gdy sprawdzona wczesniej zostanie analogia zachodz^ca mi?dzy obiektami skoriczonymi i ich nieskonczonymi uogol- nieniami. G dy trudno jest stwierdzic, czy taka analogia jest dostatecznie uprawomocniona, proste przeniesienie metod moze prowadzic do bl?d- nych wnioskow. A nawet w tedy, gdy otrzymane na tej drodze rezultaty wykazujq duzy stopien prawdopodobienstwa, nalezy poszukac dowodu usprawiedliwiajqcego zastosowanie narzucaj^cej si? analogicznej metody.
W ydaje si?, ze bez wzgl?du na to, do jd'kich rozwi^zan i wynikow pro- wadzi analogia m i?dzy tym, co skonczone, a tym, co nieskonczone, jej rola w odkrywaniu, poszukiwaniu i ustalaniu nowych obszarow proble- mowych w matematyce jest nieodzowna, a zarazem niezw ykle typowa dla myslenia abstrakcyjnego typu matematycznego.
Wypada jeszcze przynajm niej wspomniec o tym rodzaju analogii mi?dzy skonczonosci^ a nieskonczonosci^, ktory wyst?puje przy wszel- kich problemach granicznych. Dokladne przeanalizowanie odpowiednich przykladow charakteryzuj^cych i natur? i funkcj?, jak3 pelni ona we wszystkich niemal dziedzinach matematyki, wym agaloby osobnych roz- wazan. Dla naszego tematu w ystarczy wi?c, jak si? zdaje, zauwazyc, ze samo poj?cie granicy jest poj?ciem analogicznym i wsz?dzie, gdzie ono wyst?puje, mozna dostrzec mniej lub bardziej wyrazn^ analogi?. „Zbiez- nosc” (posiadanie granicy) jest tego typowym przykladem . Moze bowiem odnosic si? do ^i^gu liczbowego, ei^gu funkcyjnego, szeregu nieskonczo- nego, caiki niewlasciwej, zbioru punktow przestrzeni itp.; moze bye zbie- znosc zw ykla, jednostajna, przeci?tna z kwadratem, w sensie normy itp.
A to swiadczyloby 0 tym, ze zarowno mi?dzy obiektami matematyczny- mi, dla ktorych ma sens mowienie o zbieznosci, jak i mi?dzy rozmaitymi odmianami zbieznosci (na 00 w sk azu ji j?zykowe sformulowania) zachodzi pewtna analogia. M atematycy, wprowadzajqc poj?cie granicy dla jakiegos typu ci^gu (uogolnionego), czyniq to najcz?sciej na podstawie dobrze sformulowanej definicji, kt6ra nie musi ulatwiac dostrzezenia analogii b?d^cych zrodlem plodnych i wartosciowych skojarzen. A le tez porow- nanie w szystkich definicji dotyczqcych np. zbieznosci mogloby bye inte- resuj^cym zabiegiem poznawczym. Mozna przypuszczac, iz pokazaloby jasniej podobienstwo (kt6re jest podstawq wspomnianych analogii) za-
6 R oczn ik i F ilo zo ficz n e t. X X IX
