Lista 3 zada« z matematyki. Biotechnologia. Studia in»ynierskie

Lista 3 zada« z matematyki. Biotechnologia. Studia in»ynierskie

1. Obliczy¢:

a) [3, 2, 5] × [1, 1, 5], b) [2, 3, 3] × [2, 1, 2] + [−1, 1, −2] × [2, 1, 2], c) ([1, 2, 5] × [4, 1, 2]) ◦ [1, 2, 1].

2. Dla trójk¡ta ABC o wierzchoªkach A = (3, 1, 4), B = (1, 3, 5), C = (5, 3, 6) wyznaczy¢:

a) pole; b) dªugo±ci boków; c) k¡ty; d) równanie jego pªaszczyzny.

3. Dla czworo±cianu o wierzchoªkach A = (1, 2, 1), B = (3, 2, 2), C = (2, 5, 2), D = (2, 3, 5) wyznaczy¢

obj¦to±¢ i dªugo±¢ jego wysoko±ci opuszczonej z wierzchoªka A.

4. Poda¢ posta¢ parametryczn¡ i kanoniczn¡ prostej speªniaj¡cej dane warunki:

a) przechodz¡cej przez punkty P = (1, 0, 6), Q = (−2, 2, 4);

b) przechodz¡cej przez punkt P = (0, −2, 3) i prostopadªej do pªaszczyzny Π : 3x − y + 2z − 6 = 0;

c) przechodz¡cej przez punkt P = (7, 2, 0) i prostopadªej do wektorów ~a = [2, 0, −3], ~b = [−1, 2, 0];

d) kraw¦dzi pªaszczyzn Π1 : x − 2y + z = −1i Π2 : 2x + y + z = 3.

5. Wyznaczy¢ punkt przebicia pªaszczyzny Π : x − 2y + 3z − 12 = 0 prost¡ l : ^x−1₂ = ^y₃ = ^z−2₃ . 6. Wyznaczy¢ rzut prostok¡tny punktu P = (4, 4, 4) na prost¡ l : x − 1 = ^y−1₂ = z − 1.

7. Wyznaczy¢ rzut prostok¡tny punktu (3, 5, 2) na pªaszczyzn¦ Π : x + 3y − 2z − 6 = 0.

8. Obliczy¢ odlegªo±¢:

a) punktu P = (1, −2, 3) od pªaszczyzny Π : x + y − 3z + 5 = 0;

b) punktu P = (0, 1, −1) od prostej l : ^x₂ = ₋₁^y = ^z₃; c) prostych l1 : ^x−9₄ = ^y−2₋₃ = ^z₁, l2 : ₋₂^x = ^y+7₉ = ^z−2₂ . 9. Wyznaczy¢ k¡t mi¦dzy:

a) prost¡ l : ^x−1₂ = ^y₂ = z − 1 i pªaszczyzn¡ Π : x + 2y − 2z + 5 = 0;

b) pªaszczyznami Π1 : x − 2y + 3z − 5 = 0 i Π2 : 2x + y − z + 3 = 0. 10. Znale¹¢ punty wspólne prostej x − 3 = ^y−6₄ = −z i sfery x²+ y²+ z² = 9.

11. Znale¹¢ punkty wspólne paraboloidy hiperbolicznej z = x²− y² z prostymi l1 : x = −y + 2 = ^z+4₄ i l₂ : x − 1 = −y + 1 = ^z₄.

12. Podwieszona pod sutem paj¦czyna ma ksztaªt trójk¡ta. Jego dwa wierzchoªki znajduj¡ si¦ 2 cm i 6 cm pod sutem w odlegªo±ci 15 cm od kraw¦dzi ±cian, a trzeci 12 cm pod sutem na kraw¦dzi ±cian.

Jaka jest powierzchnia tej paj¦czyny.

13. W kierunku póªnocnym i zachodnim zje»d»amy po pªaskim stoku o staªym nachyleniu pod k¡tem α = arctg¹₂. Pod jakim k¡tem ten stok jest nachylony do poziomu.

14. Obliczy¢ odlegªo±¢ przek¡tnej przestrzennej sze±cianu o boku dªugo±ci 10 cm od rozª¡cznej z ni¡ prze- k¡tnej ±ciany.