Lista zada« nr 3 dla studentów Biotechnologii In».
1. Rozwi¡za¢ dane równania o zmiennych rozdzielonych:
a) y0= 1 − x
y + 1; b) (y + ey)y0 = ex; c) y0tgx = y ln y; d) y0 = 1 + x + y + xy.
2. Rozwi¡za¢ podane zagadnienia pocz¡tkowe dla równa« ró»niczkowych o zmiennych rozdzielonych:
a) y0tgx = y ln y, y(π2) = e; b) x(y + 1)y0 = y, y(e) = 1; c) y0= y2(1 + x2), y(0) = −2.
3. Rozwi¡za¢ podane równania ró»niczkowe liniowe i zagadnienia pocz¡tkowe:
a) y0− (x + 1)y = 0; b) xy0+ 5y = 0; c) (1 + x2)y0+ 9y = 0 d) y0+ 2y = e3x;
e) xy0+ x2+ xy = y; f) y0cos x − y sin x = 1; g) xy0− 2y = 4x4; h) y0− y = 1, y(3) = 3; i) y + y
x = x, y(−1) = 1; j) y0+ ytgx = 1
cos x, y(0) = 0.
Uwaga: W ka»dym z zada« od 4 do 12 okre±li¢ przestrze« probabilistyczn¡.
4. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Zdarzenie A oznacza nieparzyst¡ sum¦ oczek, a zdarzenie B polega na tym, »e cho¢by na jednej kostce wypadªa jedynka. Opisa¢ zdarzenia A0, B0, A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A i obliczy¢ ich prawdopodobie«stwa.
5. Sze±cian, którego ±ciany byªy pomalowane rozci¦to na 27 sze±cianików jednakowej wielko±ci. Dokªadnie je wymieszano i wylosowano jeden z nich. Okre±li¢ prawdopodobie«stwa wszystkich mo»liwych ilo±ci poma- lowanych ±cian wylosowanego sze±cianika.
6. Z tali 52 kart wylosowano 6 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e b¦d¡ w±ród nich zarówno karty czarne jak i czerwone?
7. Z tali 52 kart wylosowano jedn¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e b¦dzie to kier lub gura (czyli as, król, dama lub walet)?
8. Nocny autobus z trzema przypadkowymi pasa»erami zatrzyma si¦ jeszcze tylko na czterech przystankach.
Jaka jest szansa, »e ka»dy pasa»er wysi¡dzie na innym przystanku.
9. 6 kul rozmieszczono losowo w sze±ciu szu adach. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e dokªadnie jedna szu ada pozostanie pusta?
10. Rzucamy kostk¡ tak dªugo a» wypadnie szóstka. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e ilo±¢ rzutów b¦dzie wi¦ksza ni» 5.
11. abka pªywa sobie swobodnie po idealnie okr¡gªym oczku wodnym. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w przypadkowej chwili zobaczymy j¡ bli»ej ±rodka ni» brzegu?
12. Na niesko«czon¡ szachownic¦ o boku kwadratu 4 cm rzucamy monet¦ o ±rednicy 2 cm. Jakie s¡ praw- dopodobie«stwa zdarze«, A - moneta caªkowicie zmie±ci si¦ w jednym z kwadratów, B - moneta przetnie najwy»ej jeden bok kwadratu?
13. Dana jest funkcja prawdopodobie«stwa zmiennej losowej X: xi −5 −2 0 1 3 8 pi 0, 1 0, 2 0, 1 0, 2 c 0, 1 . Wyznaczy¢: a) staª¡ c, b) dystrybuant¦ i jej wykres, c) prawdopodobie«stwa P (X = 2), P (X < 3), P (X ≥ 0), P (−2 ≤ X < 3), d) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦.
14. Rzucamy trzy razy monet¡. Niech zmienna losowa X b¦dzie liczb¡ wyrzuconych orªów. Sporz¡dzi¢ tabel¦
rozkªadu prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej. Wyznaczy¢ jej dystrybuant¦, warto±¢ oczekiwan¡, wariancj¦ oraz P (1 ≤ X < 3) korzystaj¡c z dystrybuanty.
15. Prawdopodobie«stwo tego, »e statystyczny student nie jest przygotowany do ¢wicze« wynosi 13. Prowadz¡cy
¢wiczenia wybiera przypadkowo 4 osoby. Niech X oznacza ilo±¢ osób spo±ród wybranych, które nie s¡ przy- gotowane do ¢wicze«. Znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej X. Wyznaczy¢ dystrybuant¦, warto±¢ oczekiwan¡
oraz P (X ≥ 2).
16. Zmienna losowa X ma rozkªad o g¦sto±ci: f(x) =
x dla 0 ≤ x ≤ 1 2 − x dla 1 < x ≤ 2 0 dla pozost. x
. a) Naszkicuj wykres g¦sto±ci.
b) Wyznaczy¢ wzór dystrybuanty i narysowa¢ jej wykres. c) Obliczy¢ E(X) i D2(X).
